Загрузка заданий...

Вариант 2496 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 18.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

На рисунке изображён план двухкомнатной квартиры в многоэтажном жилом доме. Сторона одной клетки на плане соответствует 0,4 м, а условные обозначения двери и окна приведены в правой части рисунка. Вход в квартиру находится в коридоре. Слева от входа в квартиру находится санузел, а в противоположном конце коридора — дверь в кладовую. Рядом с кладовой находится спальня, из которой можно пройти на одну из застеклённых лоджий. Самое большое по площади помещение — гостиная, откуда можно попасть в коридор и на кухню. Из кухни также можно попасть на застеклённую лоджию.

1 Задание 1 1 балл

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Объекты	коридор	спальня	кухня	гостиная
Цифры

Решение

Сопоставляем описание помещений с планом квартиры.

Получаем соответствие: коридор — 1, спальня — 2, кухня — 3, гостиная — 8.

В таблице объекты стоят в порядке: коридор, спальня, кухня, гостиная.

Следовательно, ответ: 1238.

Ответ: 1238

2 Задание 2 1 балл

Паркетная доска размером 15 см на 60 см продаётся в упаковках по 14 штук. Сколько упаковок паркетной доски понадобилось, чтобы выложить пол в санузле?

Решение

По плану площадь покрытия санузла составляет 36 клеток.

Площадь одной клетки: 0,4 · 0,4 = 0,16 кв. м, поэтому площадь равна 36 · 0,16 = 5,76 кв. м.

Площадь одной доски: 0,15 · 0,6 = 0,09 кв. м.

Нужно элементов: 5,76 / 0,09 = 64.

В одной упаковке 14 штук, значит понадобится 5 упаковок.

Ответ: 5.

Ответ: 5

3 Задание 3 1 балл

Найдите площадь меньшей лоджии. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение

По плану площадь нужного помещения составляет 27 клеток.

Площадь одной клетки: 0,4 · 0,4 = 0,16 кв. м.

Значит, площадь равна 27 · 0,16 = 4,32 кв. м.

Ответ: 4,32.

Ответ: 4,32

4 Задание 4 1 балл

На сколько процентов площадь кухни больше площади кладовой?

Решение

Площадь помещений пропорциональна числу клеток на плане.

Первое помещение: 72 клетки, второе: 24 клетки.

На сколько процентов первое больше второго: ((72 − 24) / 24) · 100% = 200%.

Ответ: 200.

Ответ: 200

5 Задание 5 1 балл

Тарифный план	Абонентская плата	Плата за трафик
План «800»	900 руб. за 800 Мб трафика в месяц	2 руб. за 1 Мб сверх 800 Мб
План «1000»	1 050 руб. за 1000 Мб трафика в месяц	1,5 руб. за 1 Мб сверх 1000 Мб
План «Безлимитный»	1 100 руб. за неограниченное количество Мб трафика	—

В квартире планируется подключить интернет. Предполагается, что трафик составит 850 Мб в месяц, и исходя из этого выбирается наиболее дешёвый вариант. Интернет-провайдер предлагает три тарифных плана. Сколько рублей нужно будет заплатить за интернет за месяц, если трафик действительно будет равен 850 Мб?

Решение

Считаем стоимость интернета при трафике 850 Мб:

План «800»: 900 + 50 · 2 = 1 000 руб.

План «1000»: 1 050 руб.

План «Безлимитный»: 1 100 руб.

Самым дешёвым оказывается План «800»: 1 000 руб.

Ответ: 1 000.

Ответ: 1000

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$0,5 : \frac{1}{10} \cdot 0,08$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $0,5 : \frac{1}{10} \cdot 0,08$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(0,5) : \frac{1}{10} = 5$.

Шаг 2: $(5) \cdot 0,08 = 0,4$.

Получили результат $0,4$.

Ответ: $0,4$.

Ответ: 0,4

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Укажите число, которое больше $\frac{1}{5}$, но меньше $\frac{47}{20}$.
В ответе укажите номер правильного варианта.

-3,56

1,125

$-\frac{15}{8}$

$-\frac{23}{5}$

Решение

Сравним числа $\frac{1}{5}$ и $\frac{47}{20}$. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.

Проверяем варианты и получаем, что только вариант 2 (1,125) лежит между этими числами.

Ответ: 2

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$4\sqrt{10} \cdot 4\sqrt{11} \cdot \sqrt{110}$$

Решение

Вычислим выражение: 4√10 · 4√11 · √110.

Перемножим коэффициенты: 4 · 4 = 16.

Подкоренные выражения дают: √10 · √11 · √110 = √(10·11·110) = √(12100) = 110.

Тогда всё выражение равно 16 · 110 = 1760.

Ответ: 1760.

Ответ: 1760

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Найдите корни уравнения: x² + 3x = 0 Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.

Решение

Решим уравнение: x² + 3x = 0

Коэффициенты: a = 1, b = 3, c = 0.

Найдём дискриминант:

D = b² - 4ac = 3² - 4·1·0 = 9.

Так как D > 0, уравнение имеет два корня.

x₁ = (-3 - √9) / 2 = -3

x₂ = (-3 + √9) / 2 = 0

Ответ: -3;0

10 Статистика, вероятности 1 балл

В среднем из 100 карманных фонариков, поступивших в продажу, 27 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.

Решение

Всего равновозможных исходов: 100.

Благоприятных исходов: 73 (исправный фонарик).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = 73/100 = 0,73.

Ответ: 0,73.

Ответ: 0,73

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.

Коэффициенты

А) a > 0, c < 0

Б) a > 0, c > 0

В) a < 0, c > 0

Графики

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Знак a определяется направлением ветвей параболы, знак c — значением функции при x = 0, то есть точкой пересечения с осью Oy. Ответ: 312.

Ответ: 312

12 Расчёты по формулам 1 балл

Центростремительное ускорение при движении по окружности (в м/с²) можно вычислить по формуле a = ω²R, где ω – угловая скорость (в с^-1), а R – радиус окружности (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите радиус R, если угловая скорость равна 5,5 с^-1, а центростремительное ускорение равно 181,5 м/с². Ответ дайте в метрах.

Решение

Из формулы a = ω²R выразим радиус: R = a/ω².

R = 181,5/(5,5²) = 6.

Ответ: 6.

Ответ: 6

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства

(x + 2)(x - 8) < 0

[-2;+∞)

(-2;8)

(-∞;-2)

(-∞;-2) ∪ (8;+∞)

Решение

Нули выражения: x = -2 и x = 8. На числовой прямой отмечаем точки -2 и 8 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 2)(x - 8) < 0 получаем решение (-2;8). Это вариант 2.

Ответ: 2

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 9 мг. За каждые 30 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 90 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение

Масса колонии образует геометрическую прогрессию: b₁ = 9, q = 3.

За 90 минут пройдёт 3 промежутков по 30 минут.

Получаем массу 9·3^3 = 243 мг.

Ответ: 243.

Ответ: 243

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 76°. Найдите его другой острый угол. Ответ дайте в градусах.

Решение

В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°.

Другой острый угол равен 90° - 76° = 14°.

Ответ: 14.

Ответ: 14

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Диагональ AC ромба ABCD равна 12, а tg ∠BCA = 0,75. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Решение

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делят углы пополам.

Поэтому в прямоугольном треугольнике с катетами AC/2 и BD/2:

tg ∠BCA = BD / AC, значит BD = AC · tg ∠BCA = 12 · 0,75 = 9.

Площадь ромба S = AC · BD / 2 = 12 · 9 / 2 = 54.

Сторона ромба a = √(($\frac{12}{2}$)² + ($\frac{9}{2}$)²) = 7,5.

Для ромба с вписанной окружностью S = r·p, где p — полупериметр, равный 2a.

r = S / (2a) = 54 / (2·7,5) = 3,6.

Ответ: 3,6.

Ответ: 3,6

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Диагональ AC ромба ABCD равна 40, а tg ∠BCA = 0,8. Найдите площадь ромба.

Решение

В ромбе диагонали перпендикулярны и делят углы пополам.

Поэтому tg ∠BCA = BO / CO = BD / AC.

Следовательно, BD = AC · tg ∠BCA = 40 · 0,8 = 32.

S = AC · BD / 2 = 40 · 32 / 2 = 640.

Ответ: 640.

Ответ: 640

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Во сколько раз отрезок MC длиннее отрезка AM?

Решение

Точка M лежит на стороне треугольника. Определяем соотношение по клеткам.

M лежит на AC. По клеткам: AM=2, MC=8. MC=4·AM.

Ответ: 4.

Ответ: 4

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей.

Сумма углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.

Биссектрисы треугольника пересекаются в точке, которая является центром окружности, вписанной в треугольник.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Неверно.

2) Неверно: сумма всех углов 180°.

3) Верно.

Ответ: 3.

Ответ: 3

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите уравнение: $x^2-2x+\sqrt{3-x}=\sqrt{3-x}+8$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: в обеих частях стоит одно и то же слагаемое $\sqrt{3-x}$ — его можно сократить.

Шаг 1. Вычитаем $\sqrt{3-x}$ из обеих частей:

$x^2-2x=8$.

Шаг 2. Решаем квадратное уравнение:

$x^2-2x-8=0\Rightarrow(x-4)(x+2)=0$.

Корни: $x=4$ и $x=-2$.

Шаг 3. Проверяем ОДЗ. Под корнем $3-x\ge0$, значит $x\le3$.

Значение $x=4>3$ не подходит. Остаётся $x=-2$.

Ответ: $-2$.

Правильный ответ: -2

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Первый рабочий за час делает на 9 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 216 деталей, на 4 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает второй рабочий?

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: составить уравнение на время выполнения заказа, используя формулу t = N/p.

Шаг 1. Пусть второй рабочий делает x дет/ч, тогда первый — (x + 9) дет/ч.

Шаг 2. Время выполнения: вторым — 216/x ч, первым — 216/(x+9) ч.

Шаг 3. Второй тратит на 4 ч больше:

216/x − 216/(x+9) = 4.

Шаг 4. Умножаем на x(x+9):

216·(x+9) − 216·x = 4·x·(x+9).

1944 = 4·x² + 36·x.

4x² + 36x − 1944 = 0.

Шаг 5. Дискриминант: D = 36² + 4·4·1944 = 1296 + 31104 = 32400, √D = 180.

x = (−36 + 180) / (2·4) = 18 (отрицательный корень не подходит по смыслу).

Шаг 6. Проверка: второй — 216/18 = 12 ч, первый — 216/27 = 8 ч.

12 − 8 = 4 = 4. ✓

Ответ: 18.

Правильный ответ: 18

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $\; y=\begin{cases}x-4,& x<3,\\-1{,}5x+4{,}5,& 3\le x\le 4,\\1{,}5x-7{,}5,& x>4.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком две общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.

Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.

По анализу графика получаем: {-1,5}∪[-1;0].

Ответ: {-1,5}∪[-1;0].

Правильный ответ: {-1,5}∪[-1;0]

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Треугольники

Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 45 и 51. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: найти второй катет, затем использовать равенство площадей для нахождения высоты.

Шаг 1. Второй катет: √(51² − 45²) = √576 = 24.

Шаг 2. Площадь треугольника через два катета: S = 45·$\frac{24}{2}$ = 540.

Шаг 3. Площадь через гипотенузу 51 и высоту h к ней: S = 51·h/2.

Шаг 4. Из равенства площадей: h = 45·$\frac{24}{51}$ = 360/17.

Ответ: 360/17.

Правильный ответ: 360/17

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Треугольники

В треугольнике ABC с тупым углом C проведены высоты AA₁ и BB₁. Докажите, что треугольники A₁CB₁ и ACB подобны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: подобие через два прямоугольных треугольника.

Шаг 1. AA₁ ⊥ BC ⟹ ∠CA₁A = 90°; BB₁ ⊥ AC ⟹ ∠CB₁B = 90°.

Шаг 2. Угол C тупой, поэтому основания A₁ и B₁ лежат на продолжениях сторон CB и CA за вершину C. Значит ∠A₁CB₁ = ∠ACB как вертикальные углы.

Шаг 3. Прямоугольные △CAA₁ и △CBB₁ имеют равные острые углы при C, поэтому подобны. Отсюда CA₁ : CA = CB₁ : CB.

Шаг 4. У △A₁CB₁ и △ACB угол при C равен (∠A₁CB₁ = ∠ACB), а прилежащие стороны пропорциональны. По второму признаку подобия △A₁CB₁ ∼ △ACB. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

Углы при одном из оснований трапеции равны 50° и 40°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 19 и 13. Найдите основания трапеции.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: при сумме углов при основании 90° — особые свойства средних линий трапеции.

Шаг 1. Углы 50° + 40° = 90° при одном основании.

При таком условии диагонали трапеции перпендикулярны.

Шаг 2. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции:

• Отрезок, соединяющий середины оснований = средняя линия = (a+b)/2.

• Отрезок, соединяющий середины боковых сторон зависит от (b-a)/2.

Для данного случая: отрезки равны 19 и 13.

Шаг 3. Решаем: (a+b)/2 = 19 и (b-a)/2 = 13 (или наоборот).

a+b = 38, b-a = 26.

b = 32, a = 6.

Ответ: 6; 32.

Правильный ответ: 6; 32

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.