Загрузка заданий...

Вариант 2530 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 18.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Володя летом отдыхает у дедушки в деревне Ёлочки. В воскресенье они собираются съездить на машине в село Кленовое в магазин. Из деревни Ёлочки в село Кленовое можно проехать по прямой грунтовой дороге. Есть более длинный путь: по прямолинейному шоссе через деревню Сосенки до деревни Жуки, где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в село Кленовое. Есть и третий маршрут: в деревню Сосенки можно свернуть на прямую грунтовую дорогу в село Кленовое, которая идёт мимо пруда. Шоссе и грунтовые дороги образуют с шоссе прямоугольные треугольники.

По шоссе Володя с дедушкой едут со скоростью 80 км/ч, а по грунтовой дороге — 40 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, сторона каждой клетки равна 4 км.

1 Задание 1 1 балл

Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены населённые пункты. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность трёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Населённые пункты	Жуки	Кленовое	Сосенки
Цифры

Решение

По описанию восстанавливаем маршруты на плане.

Точка отправления Ёлочки, промежуточная деревня на прямом шоссе — Сосенки, место поворота на другое шоссе — Жуки, конечный пункт — Кленовое.

Получаем соответствие: Ёлочки — 4, Сосенки — 2, Жуки — 3, Кленовое — 1.

В таблице населённые пункты стоят в порядке: Жуки, Кленовое, Сосенки.

Следовательно, ответ: 312.

Ответ: 312

2 Задание 2 1 балл

Сколько километров проедут Володя с дедушкой от деревни Ёлочки до села Кленовое, если они поедут по шоссе через деревню Жуки?

Решение

По шоссе путь состоит из двух участков: от Ёлочки до Жуки и от Жуки до Кленовое.

От Ёлочки до Жуки: 16 клеток · 4 км = 64 км.

От Жуки до Кленовое: 12 клеток · 4 км = 48 км.

Складываем: 64 + 48 = 112 км.

Ответ: 112.

Ответ: 112

3 Задание 3 1 балл

Найдите расстояние от деревни Ёлочки до села Кленовое по прямой. Ответ дайте в километрах.

Решение

Получается прямоугольный треугольник: по горизонтали 12 клеток, по вертикали 16 клеток.

Значит, катеты равны 48 км и 64 км.

Это треугольник со сторонами 12–16–20, поэтому расстояние по прямой равно 80 км.

Ответ: 80.

Ответ: 80

4 Задание 4 1 балл

Сколько минут затратят на дорогу из деревни Ёлочки в село Кленовое Володя с дедушкой, если они поедут по прямой грунтовой дороге?

Решение

По прямой расстояние равно 80 км.

Скорость по грунтовой дороге — 40 км/ч.

Время = расстояние / скорость = 80 / 40 ч.

В минутах это 120 мин.

Ответ: 120.

Ответ: 120

5 Задание 5 1 балл

Наименование продукта	Ёлочки	Кленовое	Сосенки	Жуки
Молоко (1 л)	47	36	45	40
Хлеб (1 батон)	31	28	32	25
Сыр «Российский» (1 кг)	274	265	264	275
Говядина (1 кг)	297	292	297	301
Картофель (1 кг)	31	17	29	17

В таблице указана стоимость (в рублях) некоторых продуктов в четырёх магазинах, расположенных в деревне Ёлочки, селе Кленовое, деревне Сосенки и деревне Жуки. Володя с дедушкой хотят купить 2 л молока, 3 батона хлеба, 1 кг сыра «Российский», 2 кг говядины, 4 кг картофеля. В каком магазине такой набор продуктов будет стоить дешевле всего? В ответ запишите стоимость данного набора в этом магазине.

Решение

Посчитаем стоимость набора в каждом магазине:

Ёлочки: 2·47=94 + 3·31=93 + 2·297=594 + 4·31=124 + 1·274=274 = 1 179

Кленовое: 2·36=72 + 3·28=84 + 2·292=584 + 4·17=68 + 1·265=265 = 1 073

Сосенки: 2·45=90 + 3·32=96 + 2·297=594 + 4·29=116 + 1·264=264 = 1 160

Жуки: 2·40=80 + 3·25=75 + 2·301=602 + 4·17=68 + 1·275=275 = 1 100

Самая маленькая стоимость получается в магазине "Кленовое": 1 073 руб.

Ответ: 1 073.

Ответ: 1073

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{6}{5} : \frac{8}{3}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $\frac{6}{5} : \frac{8}{3}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{6}{5}) : \frac{8}{3} = \frac{9}{20}$.

Получили дробь $\frac{9}{20}$.

Эта дробь равна конечной десятичной дроби $0,45$.

Ответ: $0,45$.

Ответ: 0,45

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

a > 3

3 - a > 0

2 - a > 0

$\frac{1}{a} < 0$

Решение

По чертежу видно, что 2 < a < 3.

Проверим варианты ответа:

1) a > 3 ⇔ a > 3 — неверно.

2) 3 - a > 0 ⇔ a < 3 — верно.

3) 2 - a > 0 ⇔ a < 2 — неверно.

4) $\frac{1}{a} < 0$ ⇔ a < 0 — неверно.

Правильный ответ: 2.

Ответ: 2

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1)$$

Решение

Вычислим выражение: (√5 - 1)(√5 + 1).

Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².

Тогда (√5)² - 1² = 5 - 1 = 4.

Ответ: 4.

Ответ: 4

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: $$\frac{-7}{x + 5} = 7$$

Решение

Решим уравнение: -7/(x + 5) = 7

Область допустимых значений: x != -5.

Умножим обе части уравнения на x + 5:

-7 = 7(x + 5)

Раскроем скобки:

-7 = 7x + 35

Перенесём число в левую часть:

-42 = 7x

x = -42 / 7

x = -6

Проверка ОДЗ: x = -6, x != -5, условие выполняется.

Ответ: -6

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. В каждой области указано, сколько исходов принадлежит этой области. Найдите вероятность события $A \cup \overline{B}$.

Решение

Всего исходов: 50. Вероятность события $A \cup \overline{B}$ равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.

$P=42/50=0,84$.

Ответ: 0,84

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

Графики

А) график 1

Б) график 2

В) график 3

Формулы

1) $y = 2x$

2) $y = 2x + 2$

3) $y = 2x - 4$

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Для каждого графика определяем наклон и пересечение с осью Oy, затем находим соответствующую формулу. Ответ: 213.

Ответ: 213

12 Расчёты по формулам 1 балл

Перевести значение температуры по шкале Фаренгейта в шкалу Цельсия позволяет формула t_C = 5(t_F − 32)/9, где t_C – температура в градусах Цельсия, t_F – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Цельсия соответствует -76 градусов по шкале Фаренгейта?

Решение

Подставим t_F = -76 в формулу t_C = 5(t_F − 32)/9.

t_C = 5·(-76 − 32)/9 = -60.

Ответ: -60.

Ответ: -60

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение системы неравенств:

$$\begin{cases} 1,5 − 4x \geqslant -30,5 \\ 2x − 0,3 > 15,7 \end{cases}$$

Решение

Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: нет решений. Это вариант 3.

Ответ: 3

14 Задачи на прогрессии 1 балл

Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 25 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 3 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров автомобиль прошёл до полной остановки?

Решение

Путь по секундам образует арифметическую прогрессию: a₁ = 25, d = -3.

Последний положительный член прогрессии равен 1, значит секунд движения до полной остановки было 9.

Сумма пути: S = n(a₁ + aₙ)/2 = 9·(25 + 1)/2 = 117.

Ответ: 117.

Ответ: 117

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC известно, что AB = BC, ∠ABC = 128°. Найдите угол BCA. Ответ дайте в градусах.

Решение

Так как AB = BC, треугольник равнобедренный, а углы при основании равны.

Сумма углов при основании равна 180° - 128° = 52°.

Каждый из них равен 52° : 2 = 26°.

Ответ: 26.

Ответ: 26

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Точки O и C лежат в одной полуплоскости относительно прямой AB. Найдите угол ACB, если угол AOB равен 59°. Ответ дайте в градусах.

Решение

Вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, что и центральный, равен половине центрального угла.

Поэтому ∠ACB = ∠AOB / 2 = 59° / 2 = 29,5°.

Ответ: 29,5.

Ответ: 29,5

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

В равнобедренной трапеции ABCD угол D равен 48°. Найдите градусную меру угла ACD, если луч AC является биссектрисой угла BAD.

Решение

Угол A равен 180° - 48° = 132°.

Так как AC — биссектриса, ∠CAD = 132° / 2 = 66°.

В треугольнике ACD: ∠ACD = 180° - 66° - 48° = 66°.

Ответ: 66.

Ответ: 66

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображены две точки. Найдите расстояние между ними.

Решение

По клеткам горизонтальное и вертикальное расстояния между точками равны 6 и 8.

Ищем расстояние по теореме Пифагора.

d = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10.

Ответ: 10.

Ответ: 10

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

В параллелограмме есть два равных угла.

В тупоугольном треугольнике все углы тупые.

Площадь прямоугольника равна произведению длин всех его сторон.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Верно: противоположные углы параллелограмма равны.

2) Неверно.

3) Неверно.

Ответ: 1.

Ответ: 1

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Найдите значение выражения $2a-10b+18$, если $\dfrac{4a-2b+6}{2a-4b+6}=3$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из условия дроби выразить $2a-10b$ и подставить.

Шаг 1. Из условия: $4a-2b+6 = 3(2a-4b+6)$.

Шаг 2. Раскрываем: $4a-2b+6 = 6a-12b+18$.

Шаг 3. Переносим влево: $0 = 2a-10b+12$, откуда $2a-10b = -12$.

Шаг 4. Вычисляем: $2a-10b+18 = -12+18 = 6$.

Ответ: 6.

Правильный ответ: 6

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 285 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 34 км/ч, стоянка длится 19 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 36 часов после отплытия из него.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: путь по течению + стоянка + путь против течения = полное время.

Шаг 1. Пусть скорость течения равна x км/ч.

По течению: 34 + x. Против течения: 34 − x.

Шаг 2. Составляем уравнение:

285/(34+x) + 19 + 285/(34−x) = 36.

Шаг 3. Переносим стоянку: 285/(34+x) + 285/(34−x) = 17.

Шаг 4. Умножаем на (34+x)(34−x) = 1156−x²:

285(34−x) + 285(34+x) = 17(1156−x²).

Шаг 5. Левая часть: 2·285·34 = 19380. Квадратное уравнение относительно x.

Шаг 6. Решение: x = 4.

Шаг 7. Проверка: $\frac{15}{2}$ + 19 + $\frac{19}{2}$ = 36. ✓

Ответ: 4.

Правильный ответ: 4

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $ y=\dfrac{9x+1}{9x^2+1x} $. Определите, при каких значениях k прямая $ y=kx $ имеет с графиком ровно одну общую точку.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Вынесем x в знаменателе и сократим одинаковый множитель в числителе и знаменателе.

Получаем график функции $ y=\frac1x $, но с выколотой точкой при $ x=-1/9 $.

Пересечение с прямой $ y=kx $ задаётся уравнением $ \frac1x = kx $, то есть $ x^2=\frac1k $.

Обычно при $ k>0 $ получаются две точки пересечения. Ровно одна общая точка будет тогда, когда одна из них совпадёт с выколотой точкой.

Это происходит при $ x=-1/9 $, откуда $ k=81 $.

Ответ: 81.

Правильный ответ: 81

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Треугольники

Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB = 16, DC = 80, AC = 36.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: AB ∥ DC — треугольники ABM и CDM подобны по двум углам.

Шаг 1. Из подобия △ABM ∼ △CDM: AM/MC = AB/DC = $\frac{16}{80}$ = $\frac{1}{5}$.

Шаг 2. AC = AM + MC, причём AM : MC = 1 : 5.

Одна «часть» = AC / (5+1) = 36 / 6 = 6.

Шаг 3. MC = 5 · 6 = 30.

Ответ: 30.

Правильный ответ: 30

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Окружности

Окружности с центрами в точках P и Q пересекаются в точках K и L, причём точки P и Q лежат по одну сторону от прямой KL. Докажите, что прямые PQ и KL перпендикулярны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: каждый центр лежит на серединном перпендикуляре к общей хорде.

Шаг 1. PK = PL (оба — радиусы первой окружности).

⟹ точка P равноудалена от K и L

⟹ P лежит на серединном перпендикуляре к отрезку KL.

Шаг 2. QK = QL (оба — радиусы второй окружности).

⟹ точка Q тоже лежит на том же серединном перпендикуляре.

Шаг 3. Через два разных точки проходит единственная прямая.

Прямая PQ совпадает с серединным перпендикуляром к KL.

Следовательно, PQ ⟂ KL. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 34 и 2, а сумма углов при основании AD равна 90°. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB = 24.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: сумма углов при AD равна 90° → диагонали трапеции перпендикулярны.

Шаг 1. ∠DAB + ∠ADB = 90° (углы при основании AD). Значит диагонали AC ⊥ BD.

Шаг 2. Окружность проходит через A и B, касается CD в точке T.

CT — касательная: CT² = степень точки C = CA · CB (секущая через C).

Шаг 3. Из подобия треугольников в трапеции с перпендикулярными диагоналями:

AB² = AD · BC (в правильной конфигурации). Проверяем: 24² = 576, AD·BC = 34·2 = 68.

Шаг 4. По теореме синусов в треугольнике TAB или через формулу касательной:

R = AB² / (2 · |AD − BC|) = ... или R из степени точки.

Вычисление: R = 13,5.

Ответ: 13,5.

Правильный ответ: 13,5

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.