Загрузка заданий...

Вариант 2533 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 18.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

На плане изображён дачный участок по адресу: п. Сосновка, ул. Зелёная, д. 19.

Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота. При входе на участок слева от ворот находится гараж. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв. м, а чуть подальше — жилой дом.

Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки. Также на участке есть баня, к которой ведёт дорожка, выложенная плиткой, и огород с теплицей внутри. Огород отмечен на плане цифрой 6. Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1 м × 1 м. Между гаражом и сараем находится площадка, вымощенная такой же плиткой. К участку подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.

1 Задание 1 1 балл

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без дополнительных символов.

Объекты	жилой дом	баня	гараж	теплица
Цифры

Решение

Сопоставляем описание объектов и их расположение на плане: жилой дом — 7, баня — 4, гараж — 2, теплица — 5.

В таблице объекты стоят в порядке: жилой дом, баня, гараж, теплица.

Получаем последовательность: 7425.

Ответ: 7425

2 Задание 2 1 балл

Плитки для садовых дорожек продаются в упаковках по 10 штук. Сколько упаковок плиток понадобилось, чтобы выложить все дорожки и площадку между сараем и гаражом?

Решение

На все дорожки уходит 25 плиток, на площадку между сараем и гаражом — 40 плиток. Всего нужно 65 плиток.

В одной упаковке 10 плиток, поэтому потребуется ⌈65 / 10⌉ = 7 упаковок.

Ответ: 7.

Ответ: 7

3 Задание 3 1 балл

Найдите периметр фундамента жилого дома. Ответ дайте в метрах.

Решение

По плану у жилого дома длины сторон в сумме дают 18 клеточных отрезков. Одна сторона клетки равна 2 м, значит периметр равен 18 · 2 = 36 м.

Ответ: 36.

Ответ: 36

4 Задание 4 1 балл

Сколько процентов от площади всего участка занимают строения (жилой дом, гараж, сарай, баня)? Ответ округлите до целого.

Решение

Площадь строений: 60 + 48 + 24 + 36 = 168 кв. м. Площадь участка равна 576 кв. м. Тогда 168 / 576 · 100% ≈ 29,167%. После округления получаем 29%.

Ответ: 29.

Ответ: 29

5 Задание 5 1 балл

Хозяин участка планирует установить в жилом доме систему отопления. Он рассматривает два варианта: электрическое или газовое отопление. Цены на оборудование и стоимость его установки, данные о расходе газа, электроэнергии и их стоимости даны в таблице. Обдумав оба варианта, хозяин решил установить газовое отопление. Через сколько часов непрерывной работы отопления экономия от использования газа вместо электричества компенсирует разницу в стоимости покупки и установки газового и электрического оборудования?

	Нагреватель (котёл)	Прочее оборудование и монтаж	Средн. расход газа / средн. мощность	Стоимость газа / электроэнергии
Газовое отопление	20 000 руб.	15 370 руб.	1,6 куб. м/ч	4,9 руб./куб. м
Электр. отопление	15 000 руб.	14 000 руб.	4,9 кВт	4,2 руб./(кВт·ч)

Решение

Начальные расходы на газовое отопление: 35370 руб.

Начальные расходы на электрическое отопление: 29000 руб.

Разница в начальных расходах: 35370 - 29000 = 6370 руб.

Почасовая стоимость газового отопления: 1,6 · 4,9 = 7,84 руб./ч.

Почасовая стоимость электрического отопления: 4,9 · 4,2 = 20,58 руб./ч.

Экономия за час: 20,58 - 7,84 = 12,74 руб./ч.

Ищем время окупаемости: 6370 / 12,74 = 500.

Ответ: 500.

Ответ: 500

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{5}{2} + 4,5$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $\frac{5}{2} + 4,5$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{5}{2}) + 4,5 = 7$.

Получили результат $7$.

Ответ: $7$.

Ответ: 7

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Одно из чисел $\frac{-74}{15}$, -2,87, $\frac{\sqrt{8}}{2}$, $\frac{10}{3}$ отмечено на координатной прямой точкой A. Укажите это число.

В ответе укажите номер правильного варианта.

$\frac{-74}{15}$

-2,87

$\frac{\sqrt{8}}{2}$

$\frac{10}{3}$

Решение

По чертежу видно, что точка A имеет координату между -3 и -2.

Сравним варианты по приближённым значениям:

1) $\frac{-74}{15}$ ≈ -4,9333

2) -2,87 ≈ -2,87

3) $\frac{\sqrt{8}}{2}$ ≈ 1,4142

4) $\frac{10}{3}$ ≈ 3,3333

Точке A соответствует вариант 2.

Правильный ответ: 2.

Ответ: 2

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{12} + \sqrt{48})\sqrt{3}$$

Решение

Вычислим выражение: (√12 + √48)·√3.

Вынесем полные квадраты из-под корня: √12 = 2√3, √48 = 4√3.

Тогда получаем (2√3 + 4√3)·√3 = 6√3·√3.

Так как √3·√3 = 3, имеем 6·3 = 18.

Ответ: 18.

Ответ: 18

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Найдите корни уравнения: x² + 9x + 8 = 0 Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.

Решение

Решим уравнение: x² + 9x + 8 = 0

Коэффициенты: a = 1, b = 9, c = 8.

Найдём дискриминант:

D = b² - 4ac = 9² - 4·1·8 = 49.

Так как D > 0, уравнение имеет два корня.

x₁ = (-9 - √49) / 2 = -8

x₂ = (-9 + √49) / 2 = -1

Ответ: -8;-1

10 Статистика, вероятности 1 балл

На экзамене 35 билетов, Стас не выучил 21 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

Решение

Всего равновозможных исходов: 35.

Благоприятных исходов: 14 (выученный билет).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = $\frac{14}{35}$ = 0,4.

Ответ: 0,4.

Ответ: 0,4

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

Графики

А) график 1

Б) график 2

В) график 3

Формулы

1) $y = 3x + 3$

2) $y = -\dfrac{1}{2}x - 4$

3) $y = -2x - 2$

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Для каждого графика определяем наклон и пересечение с осью Oy, затем находим соответствующую формулу. Ответ: 123.

Ответ: 123

12 Расчёты по формулам 1 балл

Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой t_F = 1,8t_C + 32, где t_C – температура в градусах Цельсия, t_F – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Фаренгейта соответствует -45 градусов по шкале Цельсия?

Решение

Подставим t_C = -45 в формулу t_F = 1,8t_C + 32.

t_F = 1,8·(-45) + 32 = -49.

Ответ: -49.

Ответ: -49

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства:

-x - 7 ≥ -6x - 10

(-∞;-3,4]

[0;+∞)

(-∞;0,6]

[-0,6;+∞)

Решение

Решим неравенство: -x - 7 >= -6x - 10.

Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: 5x >= -3.

Делим обе части на 5: x >= -0,6.

Значит, x больше или равно -0,6.

Этому соответствует промежуток [-0,6;+∞).

Правильный ответ: 4.

Ответ: 4

14 Задачи на прогрессии 1 балл

При проведении опыта вещество равномерно охлаждали в течение 10 минут. При этом каждую минуту температура вещества уменьшалась на 6° C. Найдите температуру вещества (в градусах Цельсия) через 4 минут после начала проведения опыта, если его начальная температура составляла -6° C.

Решение

Температура уменьшается равномерно на 6° C в минуту.

Через 4 минут изменение составит 6·4 = 24° C.

Итоговая температура: -6 - 24 = -30.

Ответ: -30.

Ответ: -30

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 15 и 17 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.

Решение

По теореме Пифагора квадрат неизвестного катета равен разности квадрата гипотенузы и квадрата известного катета.

x² = 17² - 15² = 289 - 225 = 64.

Значит, x = 8.

Ответ: 8.

Ответ: 8

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Сторона квадрата равна 38√2. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

Решение

Диагональ квадрата равна a√2.

Если a = 38√2, то d = 38√2 · √2 = 76.

Радиус описанной окружности равен половине диагонали.

R = d / 2 = 76 / 2 = 38.

Ответ: 38.

Ответ: 38

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Диагональ AC ромба ABCD равна 40, а tg ∠BCA = 0,6. Найдите площадь ромба.

Решение

В ромбе диагонали перпендикулярны и делят углы пополам.

Поэтому tg ∠BCA = BO / CO = BD / AC.

Следовательно, BD = AC · tg ∠BCA = 40 · 0,6 = 24.

S = AC · BD / 2 = 40 · 24 / 2 = 480.

Ответ: 480.

Ответ: 480

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён параллелограмм. Найдите его площадь.

Решение

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.

По клеткам основание равно 5, высота равна 4.

S = 5 · 4 = 20.

Ответ: 20.

Ответ: 20

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника.

Через заданную точку плоскости можно провести только одну прямую.

Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Неверно.

2) Неверно.

3) Верно.

Ответ: 3.

Ответ: 3

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите уравнение: $\frac{1}{(x-1)^2}+\frac{2}{x-1}-3=0$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: замена $t=\frac{1}{x-1}$.

Шаг 1. После замены:

$t^2+2t-3=0$.

Шаг 2. Разложим: $(t+3)(t-1)=0$.

Корни: $t_1=-3$, $t_2=1$.

Шаг 3. Обратная замена:

Если $t=-3$: $x-1=-\dfrac{1}{3}\Rightarrow x=\dfrac{2}{3}$.

Если $t=1$: $x-1=1\Rightarrow x=2$.

Шаг 4. ОДЗ: $x\ne1$ — оба корня удовлетворяют.

Ответ: $\dfrac{2}{3};\quad 2$.

Правильный ответ: 2/3;2

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 36 км/ч, а вторую — со скоростью 99 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: половины пути одинаковые, поэтому применяем формулу гармонического среднего.

Шаг 1. Пусть весь путь равен 2S. Время на первой половине: S/36 ч.

Шаг 2. Время на второй половине: S/99 ч.

Шаг 3. Средняя скорость = 2S / (S/36 + S/99) = 2 / ($\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{99}$).

Шаг 4. По формуле: v_ср = 2·36·99 / (36 + 99) = 7128 / 135 = 52,8 км/ч.

Ответ: 52,8.

Правильный ответ: 52,8

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $\; y=\begin{cases}x^2+2x+1,& x\ge -2,\\-\dfrac{2}{x},& x<-2.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком одну или две общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.

Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.

По анализу графика получаем: {0}∪[1;+∞).

Ответ: {0}∪[1;+∞).

Правильный ответ: {0}∪[1;+∞)

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники

Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 8 и CH = 2. Найдите высоту ромба.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из прямоугольного треугольника ADH найти высоту AH по теореме Пифагора.

Шаг 1. Находим сторону ромба: AD = CD = DH + CH = 8 + 2 = 10.

Шаг 2. AH ⊥ CD, значит △ADH — прямоугольный с гипотенузой AD = 10 и катетом DH = 8.

Шаг 3. AH = √(AD² − DH²) = √(10² − 8²) = √(36) = 6.

Ответ: 6.

Правильный ответ: 6

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Треугольники

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и CC₁. Докажите, что ∠AA₁C₁ = ∠ACC₁.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: показать, что точки A, C, A₁, C₁ лежат на одной окружности.

Шаг 1. AA₁ — высота, поэтому ∠AA₁C = 90°. Значит из точки A₁ отрезок AC виден под прямым углом, и A₁ лежит на окружности с диаметром AC.

Шаг 2. CC₁ — высота, поэтому ∠AC₁C = 90°. Значит и точка C₁ лежит на окружности с диаметром AC.

Шаг 3. Итак, точки A, C, A₁, C₁ лежат на одной окружности.

Шаг 4. Вписанные углы ∠AA₁C₁ и ∠ACC₁ опираются на одну и ту же дугу AC₁, поэтому равны. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 20. Найдите стороны треугольника ABC.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектриса BE оказывается высотой во вспомогательном треугольнике ABD.

Шаг 1. Точка D лежит на BC, поэтому BE делит угол ABD пополам; по условию BE ⊥ AD.

Биссектриса треугольника ABD, перпендикулярная стороне AD, является в нём также высотой и медианой ⟹ △ABD равнобедренный: BA = BD.

Так как D — середина BC, то BD = BC/2, поэтому BC = 2·AB.

Шаг 2. Пусть O = AD ∩ BE. Возьмём O = (0, 0), ось x — вдоль AD: A = (−10, 0), D = (10, 0) (|AD| = 20).

В равнобедренном △ABD высота BO попадает в середину AD, поэтому B = (0, −h), где h = BO.

Шаг 3. D — середина BC ⟹ C = 2D − B = (20, h). На прямой BE точка E = (0, 20 − h), так как BE = 20.

Шаг 4. Условие «E лежит на AC» даёт h = 3·$\frac{20}{4}$ = 15.

Шаг 5. AB = √(h² + (10)²) = √(225 + 100) = 5√13;

BC = 2·AB = 10√13; CA = 15√5.

Ответ: 5√13; 10√13; 15√5.

Правильный ответ: 5√13; 10√13; 15√5

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.