Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 18.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.
Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 185/70 R14.
Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.
1Задание 11 балл
Шины какой наибольшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 15 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 225.
Ответ: 225
2Задание 21 балл
Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 185/65 R15?
Решение
В маркировке 185/65 R15 ширина шины равна 185 мм, а высота боковины составляет 65% от ширины. H = 185 · 65 / 100 = 120.25 мм. Ответ: 120.25.
Ответ: 120.25
3Задание 31 балл
На сколько миллиметров увеличится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 215/50 R16?
Решение
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 185/70 R14 и нового колеса 215/50 R16. Ответ: 6.8.
Ответ: 6.8
4Задание 41 балл
Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 185/70 R14 получаем диаметр 614.6 мм. Ответ: 614.6.
Ответ: 614.6
5Задание 51 балл
На сколько процентов уменьшится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 205/55 R15? Результат округлите до десятых.
Решение
Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 185/70 R14 и колеса 205/55 R15, затем находим процентное изменение. Ответ: 1.3.
Ответ: 1.3
6Числа и вычисления1 балл
Найдите значение выражения $$0,8 : \frac{1}{20}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(0,8 : \frac{1}{20}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((0,8) : \frac{1}{20} = 16\).
Получили результат \(16\).
Ответ: \(16\).
Ответ: 16
7Числовые неравенства, координатная прямая1 балл
На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1
-a < -5
2
a - 4 < 0
3
\(\frac{1}{a} < 0\)
4
a > 4
Решение
По чертежу видно, что 4 < a < 5.
Проверим варианты ответа:
1) -a < -5 ⇔ a > 5 — неверно.
2) a - 4 < 0 ⇔ a < 4 — неверно.
3) \(\frac{1}{a} < 0\) ⇔ a < 0 — неверно.
4) a > 4 ⇔ a > 4 — верно.
Правильный ответ: 4.
Ответ: 4
8Числа, вычисления и алгебраические выражения1 балл
Найдите значение выражения $$6\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{4}$$
Найдите корни уравнения:
x2 + 11x + 18 = 0
Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.
Решение
Решим уравнение: x2 + 11x + 18 = 0
Коэффициенты: a = 1, b = 11, c = 18.
Найдём дискриминант:
D = b² - 4ac = 11² - 4·1·18 = 49.
Так как D > 0, уравнение имеет два корня.
x₁ = (-11 - √49) / 2 = -9
x₂ = (-11 + √49) / 2 = -2
Ответ: -9;-2
Ответ: -9;-2
10Статистика, вероятности1 балл
У бабушки 40 чашек: 9 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.
Решение
Всего равновозможных исходов: 40.
Благоприятных исходов: 31 (чашка с синими цветами).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{31}{40}\) = 0,775.
Ответ: 0,775.
Ответ: 0,775
11Графики функций1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между знаками коэффициентов k и b и графиками функций.
Коэффициенты
А) k > 0, b < 0
Б) k > 0, b > 0
В) k < 0, b < 0
Графики
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А
Б
В
Решение
Смотрим на наклон прямой и точку пересечения с осью Oy. Возрастание даёт знак k, положение пересечения с осью Oy даёт знак b. Ответ: 321.
Ответ: 321
12Расчёты по формулам1 балл
Сила Архимеда, выталкивающая на поверхность погружённое в воду тело, вычисляется по формуле F = ρgV, где ρ = 1000 кг/м3 – плотность воды, g = 9,8 м/с2 – ускорение свободного падения, а V – объём тела в кубических метрах. Сила F измеряется в ньютонах. Найдите силу Архимеда, действующую на погружённое в воду тело объёмом 0,6 куб. м. Ответ дайте в ньютонах.
Идея: числитель \(-14<0\), дробь \(\ge0\) только при отрицательном знаменателе.
Шаг 1. Условие: \((x-5)^2-2<0\).
Шаг 2. \((x-5)^2<2\).
Шаг 3. \(-\sqrt{2}<x-5<\sqrt{2}\).
Шаг 4. Прибавляем 5: \(5-\sqrt{2}<x<5+\sqrt{2}\).
Ответ: \((5-\sqrt{2};\; 5+\sqrt{2})\).
Правильный ответ: (5-√2;5+√2)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21Текстовые задачи2 балла
Проценты и сухое вещество
Свежие фрукты содержат 78% воды, а высушенные — 17%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 44 кг высушенных фруктов?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: масса сухого вещества при сушке не меняется.
Шаг 1. Высушенные фрукты содержат 17% воды, значит сухого вещества 83%.
Шаг 2. Масса сухого вещества в 44 кг сухих фруктов:
44 · 83/100 = 36,52 кг.
Шаг 3. Свежие фрукты содержат 78% воды, значит сухого вещества 22%.
Шаг 4. Пусть масса свежих фруктов = x кг. Тогда 0,22·x = 36,52.
x = 36,52 / 0,22 = 166 кг.
Ответ: 166.
Правильный ответ: 166
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22Функции и их свойства. Графики функций2 балла
Постройте график функции \( y=1-\dfrac{x+5}{x^2+5x} \). Определите, при каких значениях m прямая \( y=m \) не имеет с графиком общих точек.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Сократим одинаковый множитель в числителе и знаменателе.
Получаем график функции \( y=1-\frac1x \), но с выколотой точкой при \( x=-5 \).
У функции \( y=1-\frac1x \) нет значений \( y=1 \).
Из-за выколотой точки также отсутствует значение \( y=1,2 \).
Следовательно, прямая \( y=m \) не имеет общих точек с графиком при \( m=1; 1,2 \).
Ответ: 1; 1,2.
Правильный ответ: 1; 1,2
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23Геометрические задачи на вычисление2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники
Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD = 36, BC = 20, CF : DF = 3 : 1.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: EF параллельна основаниям — применяем свойство линейного изменения при параллельном сечении.
Шаг 1. Точка F делит боковую сторону CD в отношении CF:DF = 3:1 (от C).
Точка E делит AB в том же отношении AE:EB = 3:1 (из подобия трапеций).
Шаг 2. Длина EF определяется взвешенным средним оснований:
Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники
В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы DAC и DBC равны. Докажите, что углы CDB и CAB также равны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: из равенства вписанных углов вывести цикличность четырёхугольника.
Шаг 1. Углы DAC и DBC опираются на хорду DC и равны по условию.
По обратной теореме точки A, B, C, D лежат на одной окружности.
Шаг 2. Углы CDB и CAB опираются на хорду CB.
Как вписанные углы на одну дугу, они равны. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25Геометрические задачи повышенной сложности2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
Окружности радиусов 12 и 20 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: точки касания общих касательных и центры окружностей образуют прямоугольники.
Шаг 1. Пусть O₁ и O₂ — центры окружностей радиусов r=12 и R=20.
O₁O₂ = r + R = 32 (внешнее касание).
Шаг 2. AC — общая внешняя касательная. O₁A ⊥ AC и O₂C ⊥ AC.
Точки A и C — основания перпендикуляров из центров на касательную.
Шаг 3. AB — хорда первой окружности, перпендикулярная AC (AB ⊥ O₁O₂).
Аналогично CD ⊥ O₁O₂.
Шаг 4. Расстояние между AB и CD = проекция O₁O₂ на перпендикулярное направление.
По теореме Пифагора в трапеции: dist = 2√(Rr) = 2√(20·12) = 2√240 = 8√15.
