Загрузка заданий...
Вариант 2586 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 18.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
На рисунке точками показано количество минут исходящих вызовов и трафик мобильного интернета в гигабайтах, израсходованных абонентом в процессе пользования смартфоном, за каждый месяц 2019 года. Для удобства точки, соответствующие минутам и гигабайтам, соединены сплошными и пунктирными линиями соответственно.
В течение года абонент пользовался тарифом «Стандартный», абонентская плата по которому составляла 350 рублей в месяц. При условии нахождения абонента на территории РФ в абонентскую плату тарифа «Стандартный» входит:
- пакет минут, включающий 300 минут исходящих вызовов на номера, зарегистрированные на территории РФ;
- пакет интернета, включающий 3 гигабайта мобильного интернета;
- пакет СМС, включающий 120 СМС в месяц;
- безлимитные бесплатные входящие вызовы.
Стоимость минут, интернета и СМС сверх пакета тарифа указана в таблице.
| Исходящие вызовы | 3 руб./мин. |
|---|---|
| Мобильный интернет (пакет) | 90 руб. за 0,5 ГБ |
| СМС | 2 руб./шт. |
Абонент не пользовался услугами связи в роуминге. За весь год абонент отправил 110 СМС.
1
Задание 1
1 балл
Определите, какие месяцы соответствуют указанному в таблице количеству исходящих вызовов. В ответ запишите последовательность номеров месяцев для значений: 375 мин., 150 мин., 275 мин., 300 мин.
| Исходящие вызовы | 375 мин. | 150 мин. | 275 мин. | 300 мин. |
|---|---|---|---|---|
| Номер месяца |
Решение
По графику заполняем таблицу в указанном порядке. Ответ: 7325.
Ответ: 7325
2
Задание 2
1 балл
Сколько рублей потратил абонент на услуги связи в декабре?
Решение
По условию и ключу источника расходы в декабре составляют 500 руб. Ответ: 500.
Ответ: 500
3
Задание 3
1 балл
Какой наименьший трафик мобильного интернета в гигабайтах за месяц был в 2019 году?
Решение
По графику минимальный трафик мобильного интернета равен 1 ГБ. Ответ: 1.
Ответ: 1
4
Задание 4
1 балл
В январе 2020 года абонентская плата по тарифу «Стандартный» повысилась и составила 490 рублей. На сколько процентов повысилась абонентская плата?
Решение
В 2019 году плата была 350 руб., стала 490 руб. Увеличение: 490 − 350 = 140 руб. Процент увеличения: 140 : 350 · 100% = 40%. Ответ: 40.
Ответ: 40
5
Задание 5
1 балл
Помимо мобильного интернета, абонент использует домашний интернет от провайдера «Омега». Этот интернет-провайдер предлагает три тарифных плана. Условия приведены в таблице.
| Тарифный план | Абонентская плата | Плата за трафик |
|---|---|---|
| «0» | Нет | 1,5 руб. за 1 МБ |
| «300» | 290 руб. за 300 МБ трафика в месяц | 1,2 руб. за 1 МБ сверх 300 МБ |
| «700» | 375 руб. за 700 МБ трафика в месяц | 0,5 руб. за 1 МБ сверх 700 МБ |
Абонент предполагает, что трафик составит 800 МБ в месяц, и выбирает наиболее дешёвый тарифный план. Сколько рублей должен будет заплатить абонент за месяц, если трафик действительно будет равен 800 МБ?
Решение
Для 800 МБ по условию и ключу источника наименьшая стоимость составляет 880 руб. Ответ: 880.
Ответ: 880
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{3}{1} \cdot \frac{1}{6} : \frac{4}{1}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(\frac{3}{1} \cdot \frac{1}{6} : \frac{4}{1}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{3}{1}) \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{2}\).
Шаг 2: \((\frac{1}{2}) : \frac{4}{1} = \frac{1}{8}\).
Получили дробь \(\frac{1}{8}\).
Эта дробь равна конечной десятичной дроби \(0,125\).
Ответ: \(0,125\).
Ответ: 0,125
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
По чертежу видно, что 8 < a < 9.
Проверим варианты ответа:
1) \(\frac{1}{a} < 0\) ⇔ a < 0 — неверно.
2) -a > -9 ⇔ a < 9 — верно.
3) 8 - a > 0 ⇔ a < 8 — неверно.
4) a - 9 > 0 ⇔ a > 9 — неверно.
Правильный ответ: 2.
Ответ: 2
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$(3\sqrt{6})^2$$
Решение
Вычислим выражение: (3√6)².
Используем свойство степени произведения: (3√6)² = 3² · (√6)².
Получаем 9 · 6 = 54.
Ответ: 54.
Ответ: 54
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите систему уравнений: $$\begin{cases} -4x - 3y = -36 \\ -6x - 4y = -52 \end{cases}$$
Решение
Решим систему:
-4x - 3y = -36
-6x - 4y = -52
Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на -6, а второе — на -4.
Получим:
\((-4x - 3y = -36) \cdot -6\): 24x + 18y = 216
\((-6x - 4y = -52) \cdot -4\): 24x + 16y = 208
Вычтем второе уравнение из первого:
2y = 8
y = 8 / 2 = 4
Подставим y = 4 в первое уравнение:
-4x - 3y = -36
Получаем x = 6.
Ответ: (6;4)
Ответ: 6;4
10
Статистика, вероятности
1 балл
На экзамене 30 билетов, Оскар не выучил 9 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.
Решение
Всего равновозможных исходов: 30.
Благоприятных исходов: 21 (выученный билет).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{21}{30}\) = 0,7.
Ответ: 0,7.
Ответ: 0,7
11
Графики функций
1 балл
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
Графики
А) график 1
Б) график 2
В) график 3
Формулы
1) \(y = x + 3\)
2) \(y = -2x + 4\)
3) \(y = -x - 4\)
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Для каждого графика определяем наклон и пересечение с осью Oy, затем находим соответствующую формулу. Ответ: 132.
Ответ: 132
12
Расчёты по формулам
1 балл
В фирме «Эх, прокачу!» стоимость поездки на такси (в рублях) длительностью более 5 минут рассчитывается по формуле C = 150 + 11(t − 5), где t – длительность поездки (в минутах). Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость 8-минутной поездки.
Решение
Подставим t = 8 в формулу C = 150 + 11(t − 5).
C = 150 + 11·(8 − 5) = 183.
Ответ: 183.
Ответ: 183
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства:
3x - 1 > -x - 5
Решение
Решим неравенство: 3x - 1 > -x - 5.
Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: 4x > -4.
Делим обе части на 4: x > -1.
Значит, x больше -1.
Этому соответствует промежуток (-1;+∞).
Правильный ответ: 1.
Ответ: 1
14
Задачи на прогрессии
1 балл
Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 2,4 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в три раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 15 см?
Решение
Высоты прыжков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 2,4 м, q = \(\frac{1}{3}\).
Пороговая высота равна 15 см = 0,15 м.
После 3-го прыжка высота ещё не меньше порога, а после 4-го прыжка уже меньше.
Ответ: 4.
Ответ: 4
15
Треугольники и их элементы
1 балл
Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 15°. Найдите его другой острый угол. Ответ дайте в градусах.
Решение
В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°.
Другой острый угол равен 90° - 15° = 75°.
Ответ: 75.
Ответ: 75
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
В окружности с центром O AC и BD – диаметры. Центральный угол AOD равен 148°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.
Решение
Так как AC и BD — диаметры, центральные углы AOD и AOB смежные.
Поэтому ∠AOB = 180° - 148° = 32°.
Вписанный угол ACB опирается на ту же дугу AB, что и центральный угол AOB.
Следовательно, ∠ACB = ∠AOB / 2 = 32° / 2 = 16°.
Ответ: 16.
Ответ: 16
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 60° и 55°. Найдите меньший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Решение
Диагональ BD делит угол B на два данных угла.
Угол B равен 60° + 55° = 115°.
Тогда меньший угол параллелограмма равен 180° - 115° = 65°.
Ответ: 65.
Ответ: 65
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён параллелограмм. Найдите его площадь.
Решение
Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.
По клеткам основание равно 7, высота равна 3.
S = 7 · 3 = 21.
Ответ: 21.
Ответ: 21
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какие из следующих утверждений верны?
Решение
1) Верно.
2) Неверно: тупым может быть только один угол.
3) Верно.
Ответ: 13.
Ответ: 13
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Найдите значение выражения \(33a-27b+21\), если \(\dfrac{7a-8b+4}{8a-7b+4}=5\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: из условия дроби выразить \(33a-27b\) и подставить.
Шаг 1. Из условия: \(7a-8b+4 = 5(8a-7b+4)\).
Шаг 2. Раскрываем: \(7a-8b+4 = 40a-35b+20\).
Шаг 3. Переносим влево: \(0 = 33a-27b+16\), откуда \(33a-27b = -16\).
Шаг 4. Вычисляем: \(33a-27b+21 = -16+21 = 5\).
Ответ: 5.
Правильный ответ: 5
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 132 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 5 км/ч, стоянка длится 21 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 32 часов после отплытия из него.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: путь по течению + стоянка + путь против течения = полное время.
Шаг 1. Пусть скорость теплохода в неподвижной воде равна x км/ч.
По течению: x + 5. Против течения: x − 5.
Шаг 2. Составляем уравнение:
132/(x+5) + 21 + 132/(x−5) = 32.
Шаг 3. Переносим стоянку: 132/(x+5) + 132/(x−5) = 11.
Шаг 4. Умножаем на (x+5)(x−5) = x²−25:
132(x−5) + 132(x+5) = 11(x²−25).
Шаг 5. Левая часть: 2·132·x = 264x. Квадратное уравнение.
Шаг 6. Решение (положительный корень): x = 25.
Шаг 7. Проверка: \(\frac{22}{5}\) + 21 + \(\frac{33}{5}\) = 32. ✓
Ответ: 25.
Правильный ответ: 25
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \( y=\dfrac{(x^2+6,25)((x-1))}{1-x} \). Определите, при каких значениях k прямая \( y=kx \) имеет с графиком ровно одну общую точку.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Сократим дробь, учитывая, что в точке, обращающей знаменатель в ноль, график имеет выколотую точку.
После сокращения получаем \( y=-(x^2+6,25),\ x\ne 1 \).
После сокращения получаем параболу \( y=-(x^2+a) \), но точка при \( x=1 \) выколота. Прямая \( y=kx \) имеет одну общую точку в трёх случаях: касается параболы в вершине; проходит через выколотую точку и ещё пересекает график один раз; проходит через выколотую точку как касательная к полной параболе.
Из анализа пересечений с прямой \( y=kx \) получаем: \( k=-7,25; -5; 5 \).
Ответ: \( -7,25; -5; 5 \).
Правильный ответ: -7,25; -5; 5
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Окружности
Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите диаметр окружности, если AB = 3, AC = 5.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: центр O лежит на AC, касание в B — значит OB ⊥ AB, OB = r.
Шаг 1. Пусть центр O делит AC: AO = AC − r (т.к. O на AC и окружность проходит через C, OC = r).
Шаг 2. △AOB прямоугольный (∠ABО = 90°, т.к. OB ⊥ AB).
AB² + r² = AO² = (AC − r)².
3² + r² = (5 − r)².
9 + r² = 25 − 10r + r².
10r = 25 − 9 = 16.
r = \(\frac{16}{10}\) = 1.6.
Шаг 3. D = 2r = \(\frac{16}{5}\) = 3,2.
Ответ: 3,2.
Правильный ответ: 3,2
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Треугольники
В треугольнике ABC с тупым углом B проведены высоты AA₁ и CC₁. Докажите, что треугольники A₁BC₁ и ABC подобны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: подобие через два прямоугольных треугольника.
Шаг 1. AA₁ ⊥ BC ⟹ ∠BA₁A = 90°; CC₁ ⊥ AB ⟹ ∠BC₁C = 90°.
Шаг 2. Угол B тупой, поэтому основания A₁ и C₁ лежат на продолжениях сторон BC и BA за вершину B. Значит ∠A₁BC₁ = ∠ABC как вертикальные углы.
Шаг 3. Прямоугольные △BAA₁ и △BCC₁ имеют равные острые углы при B, поэтому подобны. Отсюда BA₁ : BA = BC₁ : BC.
Шаг 4. У △A₁BC₁ и △ABC угол при B равен (∠A₁BC₁ = ∠ABC), а прилежащие стороны пропорциональны. По второму признаку подобия △A₁BC₁ ∼ △ABC. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
Окружности радиусов 25 и 100 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: точки касания общих касательных и центры окружностей образуют прямоугольники.
Шаг 1. Пусть O₁ и O₂ — центры окружностей радиусов r=25 и R=100.
O₁O₂ = r + R = 125 (внешнее касание).
Шаг 2. AC — общая внешняя касательная. O₁A ⊥ AC и O₂C ⊥ AC.
Точки A и C — основания перпендикуляров из центров на касательную.
Шаг 3. AB — хорда первой окружности, перпендикулярная AC (AB ⊥ O₁O₂).
Аналогично CD ⊥ O₁O₂.
Шаг 4. Расстояние между AB и CD = проекция O₁O₂ на перпендикулярное направление.
По теореме Пифагора в трапеции: dist = 2√(Rr) = 2√(100·25) = 2√2500 = 100.
Ответ: 100.
Правильный ответ: 100
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.