Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 18.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.
Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 245/45 R18.
Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.
1Задание 11 балл
Шины какой наименьшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 20 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 265.
Ответ: 265
2Задание 21 балл
Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 265/50 R17?
Решение
В маркировке 265/50 R17 ширина шины равна 265 мм, а высота боковины составляет 50% от ширины. H = 265 · 50 / 100 = 132.5 мм. Ответ: 132.5.
Ответ: 132.5
3Задание 31 балл
На сколько миллиметров увеличится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 265/35 R20?
Решение
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 245/45 R18 и нового колеса 265/35 R20. Ответ: 15.8.
Ответ: 15.8
4Задание 41 балл
Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 245/45 R18 получаем диаметр 677.7 мм. Ответ: 677.7.
Ответ: 677.7
5Задание 51 балл
На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 265/45 R18? Результат округлите до десятых.
Решение
Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 245/45 R18 и колеса 265/45 R18, затем находим процентное изменение. Ответ: 2.7.
Ответ: 2.7
6Числа и вычисления1 балл
Найдите значение выражения $$0,875 : \frac{1}{5}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(0,875 : \frac{1}{5}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((0,875) : \frac{1}{5} = 4,375\).
Получили результат \(4,375\).
Ответ: \(4,375\).
Ответ: 4,375
7Числовые неравенства, координатная прямая1 балл
Одно из чисел \(\frac{-22}{15}\), \(\frac{\sqrt{17}}{2}\), \(\sqrt{11}\), 3,8 отмечено на координатной прямой точкой A. Укажите это число.
В ответе укажите номер правильного варианта.
1
\(\frac{-22}{15}\)
2
\(\frac{\sqrt{17}}{2}\)
3
\(\sqrt{11}\)
4
3,8
Решение
По чертежу видно, что точка A имеет координату между 3 и 4.
Сравним варианты по приближённым значениям:
1) \(\frac{-22}{15}\) ≈ -1,4667
2) \(\frac{\sqrt{17}}{2}\) ≈ 2,0616
3) \(\sqrt{11}\) ≈ 3,3166
4) 3,8 ≈ 3,8
Точке A соответствует вариант 3.
Правильный ответ: 3.
Ответ: 3
8Числа, вычисления и алгебраические выражения1 балл
Найдите значение выражения $$2^{-1} \cdot (2^2)^3$$
Решение
Вычислим выражение: 2^(-1) · (2^2)^3.
Сначала применим формулу (a^b)^c = a^(bc): (2^2)^3 = 2^6.
У бабушки 50 чашек: 4 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.
Решение
Всего равновозможных исходов: 50.
Благоприятных исходов: 46 (чашка с синими цветами).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{46}{50}\) = 0,92.
Ответ: 0,92.
Ответ: 0,92
11Графики функций1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.
Графики
А) график 1
Б) график 2
В) график 3
Коэффициенты
1) a > 0, c < 0
2) a > 0, c > 0
3) a < 0, c > 0
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А
Б
В
Решение
Определяем знак a по направлению ветвей и знак c по пересечению с осью Oy, затем сопоставляем с вариантами. Ответ: 123.
Ответ: 123
12Расчёты по формулам1 балл
Сила Архимеда, выталкивающая на поверхность погружённое в воду тело, вычисляется по формуле F = ρgV, где ρ = 1000 кг/м3 – плотность воды, g = 9,8 м/с2 – ускорение свободного падения, а V – объём тела в кубических метрах. Сила F измеряется в ньютонах. Найдите силу Архимеда, действующую на погружённое в воду тело объёмом 0,05 куб. м. Ответ дайте в ньютонах.
Решение
Подставим V = 0,05 в формулу F = ρgV.
F = 1000·9,8·0,05 = 490.
Ответ: 490.
Ответ: 490
13Неравенства, системы неравенств1 балл
Укажите решение неравенства
x2 - 64 ≥ 0
1
(-8;8)
2
(-∞;-8) ∪ (8;+∞)
3
[-8;8]
4
(-∞;-8] ∪ [8;+∞)
Решение
Решаем x² - 64 >= 0. Нули: x = -8 и x = 8. Верное решение: (-∞;-8] ∪ [8;+∞). Это вариант 4.
Ответ: 4
14Задачи на прогрессии1 балл
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 6 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 160 мг. Найдите массу изотопа через 36 минут. Ответ дайте в миллиграммах.
Решение
Масса образует геометрическую прогрессию с первым членом 160 и знаменателем \(\frac{1}{2}\).
За 36 минут пройдёт 6 промежутков по 6 минут.
Тогда масса станет равна 160·(\(\frac{1}{2}\))^6 = 2,5 мг.
Ответ: 2,5.
Ответ: 2,5
15Треугольники и их элементы1 балл
Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 37°. Найдите его другой острый угол. Ответ дайте в градусах.
Решение
В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°.
Другой острый угол равен 90° - 37° = 53°.
Ответ: 53.
Ответ: 53
16Окружность, круг и их элементы1 балл
Четырёхугольник ABCD описан около окружности, AB = 4, BC = 13, CD = 17. Найдите AD.
Решение
В четырёхугольнике, описанном около окружности, суммы противоположных сторон равны.
То есть AB + CD = BC + AD.
AD = AB + CD - BC = 4 + 17 - 13 = 8.
Ответ: 8.
Ответ: 8
17Четырёхугольники, многоугольники и их элементы1 балл
Один из углов ромба равен 122°. Сколько градусов составляет угол между высотой и большей диагональю ромба?
Решение
Большая диагональ ромба биссектрисой его тупого угла.
Следовательно, искомый угол равен 122° / 2 = 61°.
Ответ: 61.
Ответ: 61
18Фигуры на квадратной решётке1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Во сколько раз отрезок MC длиннее отрезка AM?
Решение
Точка M лежит на стороне треугольника. Определяем соотношение по клеткам.
Имеются два сосуда, содержащие 24 кг и 26 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 39% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 40% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: составить систему уравнений на концентрации двух растворов.
Шаг 1. Пусть концентрация кислоты в 1-м сосуде — x, во 2-м — y.
Шаг 2. При полном смешивании 50 кг получается раствор с концентрацией 39%:
24·x + 26·y = 50·0,39 = 19,5 ...(1).
Шаг 3. При смешивании равных масс концентрация 40%:
(x + y)/2 = 0,40 ⟹ x + y = 0,80 ...(2).
Шаг 4. Из (2): y = 0,80 − x. Подставляем в (1):
24·x + 26·(0,80 − x) = 19,5
24x + 20,8 − 26x = 19,5
−2x = −1,3 ⟹ x = 0,65.
Шаг 5. Масса кислоты в 1-м сосуде: 24·0,65 = 15,6 кг.
Ответ: 15,6.
Правильный ответ: 15,6
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22Функции и их свойства. Графики функций2 балла
Постройте график функции \(\; y=\begin{cases}x^2-4x+4,& x\ge -1,\\-\dfrac{9}{x},& x<-1.\end{cases}\) Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком одну или две общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.
Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.
По анализу графика получаем: {0}∪[9;+∞).
Ответ: {0}∪[9;+∞).
Правильный ответ: {0}∪[9;+∞)
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23Геометрические задачи на вычисление2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Окружности
Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите AC, если диаметр окружности равен 15, а AB = 4.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: использовать формулу D = (AC² − AB²)/AC и решить уравнение относительно AC.
Значит в △N (треугольник при пересечении биссектрис) угол при N равен 90°.
Шаг 2. Рассмотрим одну из биссектрис, например от угла A.
Она отсекает равнобедренный треугольник (два угла при основании равны),
значит расстояние от вершины до N равно половине смежной стороны.
Шаг 3. Из симметричных рассуждений для обеих биссектрис получаем N — середина CD. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25Геометрические задачи повышенной сложности2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC = 2, а расстояние от точки K до стороны AB равно 8.
