Загрузка заданий...

Вариант 2609 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 18.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Хозяин дачного участка строит баню с парным отделением. Парное отделение имеет размеры: длина 3,5 м, ширина 2,2 м, высота 2 м. Окон в парном отделении нет, для доступа внутрь планируется дверь шириной 60 см, высота дверного проёма 1,8 м. Для прогрева парного отделения можно использовать электрическую или дровяную печь. В таблице представлены характеристики трёх печей.

Номер печи	Тип	Объём помещения (куб. м)	Масса (кг)	Стоимость (руб.)
1	дровяная	8—12	40	18 000
2	дровяная	10—16	48	19 500
3	электрическая	9—15,5	15	15 000

Для установки дровяной печи дополнительных затрат не потребуется. Установка электрической печи потребует подведения специального кабеля, что обойдётся в 6500 руб.

1 Задание 1 1 балл

Установите соответствие между стоимостями и номерами печей. В ответ запишите последовательность трёх цифр для стоимостей 15 000, 19 500 и 18 000 руб.

Стоимость (руб.)	15 000	19 500	18 000
Номер печи

Решение

По таблице: №1 — 40 кг и 18 000 руб.; №2 — 48 кг и 19 500 руб.; №3 — 15 кг и 15 000 руб. Ответ: 321.

Ответ: 321

2 Задание 2 1 балл

Найдите площадь пола парного отделения строящейся бани. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение

Площадь пола: 3,5 · 2,2 = 7,7 кв. м. Ответ: 7,7.

Ответ: 7.7

3 Задание 3 1 балл

На сколько рублей покупка дровяной печи, подходящей по объёму парного отделения, обойдётся дороже электрической без учёта установки?

Решение

Объём парной 15,4 куб. м. Подходит дровяная печь №2 за 19 500 руб. Электрическая печь стоит 15 000 руб. Без установки разница: 19 500 − 15 000 = 4 500 руб. Ответ: 4500.

Ответ: 4500

4 Задание 4 1 балл

На дровяную печь, масса которой 48 кг, сделали скидку 10%. Сколько рублей стала стоить печь?

Решение

Печь массой 48 кг — №2, стоит 19 500 руб. Скидка 10% равна 1 950 руб. Новая цена: 19 500 − 1 950 = 17 550 руб. Ответ: 17550.

Ответ: 17550

5 Задание 5 1 балл

Хозяин выбрал дровяную печь (рис. 1). Чертёж передней панели печи показан на рисунке 2. Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке печки по дуге окружности с центром в середине нижней части кожуха (рис. 2). Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления арки R. Размеры кожуха в сантиметрах показаны на рисунке. Найдите радиус закругления арки в сантиметрах.

Решение

Центр окружности — середина нижней части кожуха, а радиус проведён в точку, где арка сходится с боковой стенкой.

Получается прямоугольный треугольник. Первый катет — половина ширины кожуха: 60 : 2 = 30 см. Второй катет — высота боковой стенки: 40 см.

По теореме Пифагора: R = √(30² + 40²) = √(900 + 1600) = √2500 = 50 см.

Частая ошибка — взять всю ширину 60 вместо половины: тогда выходит √(60² + 40²) ≈ 72, но это не радиус.

Ответ: 50.

Ответ: 50

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$0,035 + \frac{1}{40}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $0,035 + \frac{1}{40}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(0,035) + \frac{1}{40} = 0,06$.

Получили результат $0,06$.

Ответ: $0,06$.

Ответ: 0,06

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какое из чисел отмечено на координатной прямой точкой A?

В ответе укажите номер правильного варианта.

$\frac{-3}{2}$

1,42

$\frac{8}{3}$

$\sqrt{10}$

Решение

По чертежу видно, что точка A имеет координату между 2 и 3.

Сравним варианты по приближённым значениям:

1) $\frac{-3}{2}$ ≈ -1,5

2) 1,42 ≈ 1,42

3) $\frac{8}{3}$ ≈ 2,6667

4) $\sqrt{10}$ ≈ 3,1623

Точке A соответствует вариант 3.

Правильный ответ: 3.

Ответ: 3

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{80} + \sqrt{125})\sqrt{5}$$

Решение

Вычислим выражение: (√80 + √125)·√5.

Вынесем полные квадраты из-под корня: √80 = 4√5, √125 = 5√5.

Тогда получаем (4√5 + 5√5)·√5 = 9√5·√5.

Так как √5·√5 = 5, имеем 9·5 = 45.

Ответ: 45.

Ответ: 45

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: $$\frac{(-6x + 6)}{4} - \frac{(9x - 9)}{6} + 6x = -12$$

Решение

Решим уравнение: (-6x + 6)/4 - (9x - 9)/6 + 6x = -12

Домножим обе части на НОК знаменателей 4 и 6, то есть на 12.

Получим:

(-18x + 18) - (18x - 18) + 72x = -144

Приведём подобные слагаемые:

36x + 36 = -144

Перенесём число в правую часть:

36x = -180

Разделим обе части на 36:

x = -180 / 36

x = -5

Ответ: -5

10 Статистика, вероятности 1 балл

В среднем из 50 карманных фонариков, поступивших в продажу, 28 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.

Решение

Всего равновозможных исходов: 50.

Благоприятных исходов: 22 (исправный фонарик).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = $\frac{22}{50}$ = 0,44.

Ответ: 0,44.

Ответ: 0,44

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между знаками коэффициентов k и b и графиками функций.

Коэффициенты

А) k > 0, b > 0

Б) k < 0, b < 0

В) k < 0, b > 0

Графики

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Смотрим на наклон прямой и точку пересечения с осью Oy. Возрастание даёт знак k, положение пересечения с осью Oy даёт знак b. Ответ: 132.

Ответ: 132

12 Расчёты по формулам 1 балл

В фирме «Эх, прокачу!» стоимость поездки на такси (в рублях) длительностью более 5 минут рассчитывается по формуле C = 150 + 11(t − 5), где t – длительность поездки (в минутах). Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость 16-минутной поездки.

Решение

Подставим t = 16 в формулу C = 150 + 11(t − 5).

C = 150 + 11·(16 − 5) = 271.

Ответ: 271.

Ответ: 271

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства

2x - x² ≤ 0

Решение

Разложим: 2x - x² = x(2 - x). Нули: 0 и 2. Верное решение: (-∞;0] ∪ [2;+∞). Это вариант 4.

Ответ: 4

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В амфитеатре 10 рядов. В первом ряду 24 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в восьмом ряду амфитеатра?

Решение

Это арифметическая прогрессия: a₁ = 24, d = 2.

Найдём 8-й член: a8 = a₁ + (8 - 1)·d = 24 + 7·2 = 38.

Ответ: 38.

Ответ: 38

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC известно, что ∠BAC = 48°, AD — биссектриса. Найдите угол BAD. Ответ дайте в градусах.

Решение

Биссектриса делит угол пополам.

Поэтому ∠BAD = 48° : 2 = 24°.

Ответ: 24.

Ответ: 24

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 25°, угол CAD равен 54°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

Решение

Углы ABD и ACD опираются на одну и ту же дугу AD, значит ∠ACD = ∠ABD.

Следовательно, ∠ACD = 25°.

Угол ABC опирается на дугу AC, состоящую из дуг AD и DC, поэтому

∠ABC = ∠ABD + ∠DBC, а здесь эквивалентно удобно взять в треугольнике ACD:

угол между AC и CD равен сумме углов, опирающихся на соответствующие дуги.

Получаем ∠ABC = 25° + 54° = 79°.

Ответ: 79.

Ответ: 79

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

В равнобедренной трапеции основания равны 2 и 8, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь этой трапеции.

Решение

При угле 45° высота равна половине разности оснований.

h = (8 - 2) / 2 = 3.

S = (2 + 8) / 2 · 3 = 15.

Ответ: 15.

Ответ: 15

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.

Решение

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.

По клеткам основания равны 5 и 9.

m = (5 + 9) / 2 = 7.

Ответ: 7.

Ответ: 7

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника.

Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению гипотенузы к прилежащему к этому углу катету.

Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Неверно.

2) Неверно: cos α = прилежащий катет / гипотенуза.

3) Верно.

Ответ: 3.

Ответ: 3

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите систему уравнений: $\begin{cases}2x^2-x=y,\\2x-1=y.\end{cases}$

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: приравниваем правые части.

Шаг 1. $2x^2-x=2x-1$.

Шаг 2. Переносим влево: $2x^2-3x+1=0$.

Шаг 3. Разложим: $(2x-1)(x-1)=0$.

Корни: $x=\dfrac{1}{2}$ или $x=1$.

Шаг 4. Находим $y$:

При $x=\dfrac{1}{2}$: $y=2\cdot\dfrac{1}{2}-1=0$.

При $x=1$: $y=2-1=1$.

Ответ: $\left(\dfrac{1}{2};\,0\right);\ (1;\,1)$.

Правильный ответ: (1/2;0);(1;1)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 57 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего по платформе параллельно путям со скоростью 3 км/ч навстречу поезду, за 36 секунд. Найдите длину поезда в метрах.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: длина поезда = относительная скорость × время наблюдения (в метрах и секундах).

Шаг 1. Поезд и пешеход движутся навстречу. Относительная скорость:

57 + 3 = 60 км/ч.

Шаг 2. Переводим в м/с: 60 × 1000 / 3600 = $\frac{50}{3}$ м/с.

Шаг 3. Поезд полностью минует пешехода за 36 с, значит его длина:

$\frac{50}{3}$ × 36 = 600 м.

Ответ: 600.

Правильный ответ: 600

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $ y=\dfrac{(x^2+4)((x+1))}{-1-x} $. Определите, при каких значениях k прямая $ y=kx $ имеет с графиком ровно одну общую точку.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Сократим дробь, учитывая, что в точке, обращающей знаменатель в ноль, график имеет выколотую точку.

После сокращения получаем $ y=x^2+4,\ x\ne -1 $.

После преобразования получаем параболу $ y=x^2+a $ с выколотой точкой при $ x=-1 $.

Из анализа пересечений с прямой $ y=kx $ получаем: $ k=-4; 4; 5 $.

Ответ: $ -4; 4; 5 $.

Правильный ответ: -4; 4; 5

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники

Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 10, CK = 12.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектриса угла A параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник ABK.

Шаг 1. AB ∥ CD, значит биссектриса AK образует с AB угол ∠BAK = ∠A/2.

Угол ∠ABK = ∠A/2 (AB ∥ CD, накрест лежащие).

Значит △ABK равнобедренный: BK = AB.

Шаг 2. AB = BK = 10.

Шаг 3. BC = BK + CK = 10 + 12 = 22.

Шаг 4. Периметр = 2·(AB + BC) = 2·(10 + 22) = 64.

Ответ: 64.

Правильный ответ: 64

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Треугольники

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и BB₁. Докажите, что ∠AA₁B₁ = ∠ABB₁.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: показать, что точки A, B, A₁, B₁ лежат на одной окружности.

Шаг 1. AA₁ — высота, поэтому ∠AA₁B = 90°. Значит из точки A₁ отрезок AB виден под прямым углом, и A₁ лежит на окружности с диаметром AB.

Шаг 2. BB₁ — высота, поэтому ∠AB₁B = 90°. Значит и точка B₁ лежит на окружности с диаметром AB.

Шаг 3. Итак, точки A, B, A₁, B₁ лежат на одной окружности.

Шаг 4. Вписанные углы ∠AA₁B₁ и ∠ABB₁ опираются на одну и ту же дугу AB₁, поэтому равны. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD = 8, BC = 4.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: степень точки B относительно окружности связывает касательную и хорду.

Шаг 1. AB ⊥ BC (прямоугольная трапеция), окружность касается AB в точке E.

BE — касательная: BE² = степень точки B.

Шаг 2. Прямая через B пересекает окружность в C и D (хорда CD).

Степень точки B: BE² = BC · BD.

Шаг 3. BD = BC + CD_проекция. По свойству трапеции BD = AD = 8 (вертикальная хорда).

BE² = BC · BD = 4 · 8 = 32.

BE = √32 = 4√2.

Шаг 4. E лежит на AB, BE ⊥ CD (по симметрии окружности), поэтому dist(E, CD) = BE = 4√2.

Ответ: 4√2.

Правильный ответ: 4√2

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.