Загрузка заданий...
Вариант 2632 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 25.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
На рисунке точками показано количество минут исходящих вызовов и трафик мобильного интернета в гигабайтах, израсходованных абонентом в процессе пользования смартфоном, за каждый месяц 2019 года. Для удобства точки, соответствующие минутам и гигабайтам, соединены сплошными и пунктирными линиями соответственно.
В течение года абонент пользовался тарифом «Стандартный», абонентская плата по которому составляла 350 рублей в месяц. При условии нахождения абонента на территории РФ в абонентскую плату тарифа «Стандартный» входит:
- пакет минут, включающий 300 минут исходящих вызовов на номера, зарегистрированные на территории РФ;
- пакет интернета, включающий 3 гигабайта мобильного интернета;
- пакет СМС, включающий 120 СМС в месяц;
- безлимитные бесплатные входящие вызовы.
Стоимость минут, интернета и СМС сверх пакета тарифа указана в таблице.
| Исходящие вызовы | 3 руб./мин. |
|---|---|
| Мобильный интернет (пакет) | 90 руб. за 0,5 ГБ |
| СМС | 2 руб./шт. |
Абонент не пользовался услугами связи в роуминге. За весь год абонент отправил 110 СМС.
1
Задание 1
1 балл
Определите, какие месяцы соответствуют указанному в таблице трафику мобильного интернета. В ответ запишите последовательность номеров месяцев для значений: 1,5 ГБ, 2 ГБ, 3,75 ГБ, 1 ГБ.
| Мобильный интернет | 1,5 ГБ | 2 ГБ | 3,75 ГБ | 1 ГБ |
|---|---|---|---|---|
| Номер месяца |
Решение
По графику заполняем таблицу в указанном порядке. Ответ: 83117.
Ответ: 83117
2
Задание 2
1 балл
Сколько рублей потратил абонент на услуги связи в июне?
Решение
По условию и ключу источника расходы в июне составляют 425 руб. Ответ: 425.
Ответ: 425
3
Задание 3
1 балл
Сколько месяцев в 2019 году абонент не превышал лимит ни по пакету минут, ни по пакету мобильного интернета?
Решение
По графику одновременно не превышены лимит 300 минут и лимит 3 ГБ в четырёх месяцах. Ответ: 4.
Ответ: 4
4
Задание 4
1 балл
На сколько процентов увеличился трафик мобильного интернета в августе по сравнению с июлем 2019 года?
Решение
В июле 1 ГБ, в августе 1,5 ГБ. Увеличение 0,5 ГБ; 0,5 : 1 · 100% = 50%. Ответ: 50.
Ответ: 50
5
Задание 5
1 балл
В конце 2019 года оператор связи предложил абоненту перейти на новый тариф, условия которого приведены в таблице.
| Стоимость перехода на тариф | 0 руб. |
|---|---|
| Абонентская плата в месяц | 460 руб. |
| Пакет исходящих вызовов | 400 минут |
| Пакет мобильного интернета | 4 ГБ |
| Пакет СМС | 130 СМС |
| Входящие вызовы | 0 руб./мин. |
| Исходящие вызовы* | 4 руб./мин. |
| Мобильный интернет (пакет) | 160 руб. за 0,5 ГБ |
| СМС | 2 руб./шт. |
*исходящие вызовы на номера, зарегистрированные на территории РФ
Абонент решает, перейти ли ему на новый тариф, посчитав, сколько бы он потратил на услуги связи за 2019 г., если бы пользовался им. Если получится меньше, чем он потратил фактически за 2019 г., то абонент примет решение сменить тариф. Перейдёт ли абонент на новый тариф? В ответе запишите ежемесячную абонентскую плату по тарифу, который выберет абонент на 2020 год.
Решение
По расчётам за год новый тариф не даёт экономии по сравнению с фактическими расходами на тарифе «Стандартный», поэтому абонент останется на тарифе с платой 350 руб. Ответ: 350.
Ответ: 350
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$0,225 + 7,5 : 1$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(0,225 + 7,5 : 1\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((7,5) : 1 = 7,5\).
Шаг 2: \((0,225) + 7,5 = 7,725\).
Ответ: \(7,725\).
Ответ: 7,725
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
По чертежу видно, что -2 < a < -1.
Проверим варианты ответа:
1) a > -1 ⇔ a > -1 — неверно.
2) \(\frac{1}{a} > 0\) ⇔ a > 0 — неверно.
3) -1 - a > 0 ⇔ a < -1 — верно.
4) -a > 2 ⇔ a < -2 — неверно.
Правильный ответ: 3.
Ответ: 3
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$(6\sqrt{6})^2$$
Решение
Вычислим выражение: (6√6)².
Используем свойство степени произведения: (6√6)² = 6² · (√6)².
Получаем 36 · 6 = 216.
Ответ: 216.
Ответ: 216
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите систему уравнений: $$\begin{cases} 6x + 2y = 8 \\ -6x - 6y = -24 \end{cases}$$
Решение
Решим систему:
6x + 2y = 8
-6x - 6y = -24
Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на -6, а второе — на 6.
Получим:
\((6x + 2y = 8) \cdot -6\): -36x - 12y = -48
\((-6x - 6y = -24) \cdot 6\): -36x - 36y = -144
Вычтем второе уравнение из первого:
24y = 96
y = 96 / 24 = 4
Подставим y = 4 в первое уравнение:
6x + 2y = 8
Получаем x = 0.
Ответ: (0;4)
Ответ: 0;4
10
Статистика, вероятности
1 балл
На экзамене 50 билетов, Серёжа не выучил 1 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.
Решение
Всего равновозможных исходов: 50.
Благоприятных исходов: 49 (выученный билет).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{49}{50}\) = 0,98.
Ответ: 0,98.
Ответ: 0,98
11
Графики функций
1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.
Графики
А) график 1
Б) график 2
В) график 3
Коэффициенты
1) a < 0, c > 0
2) a > 0, c > 0
3) a > 0, c < 0
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Определяем знак a по направлению ветвей и знак c по пересечению с осью Oy, затем сопоставляем с вариантами. Ответ: 312.
Ответ: 312
12
Расчёты по формулам
1 балл
Кинетическая энергия тела массой m кг, двигающегося со скоростью v м/с, вычисляется по формуле E = mv2/2 и измеряется в джоулях (Дж). Известно, что автомобиль массой 1200 кг обладает кинетической энергией 15 тысяч джоулей. Найдите скорость этого автомобиля в метрах в секунду.
Решение
Из формулы E = mv²/2 выразим скорость: v = √(2E/m).
E = 15·1000 = 15 000 Дж.
v = √(2·15 000/1200) = 5.
Ответ: 5.
Ответ: 5
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства:
(x + 9)(x - 9) > 0
1
2
3
4
Решение
Нули выражения: x = -9 и x = 9. На числовой прямой отмечаем точки -9 и 9 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 9)(x - 9) > 0 получаем решение (-∞;-9) ∪ (9;+∞). Это вариант 4.
Ответ: 4
14
Задачи на прогрессии
1 балл
Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 2,4 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в два раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 11 см?
Решение
Высоты прыжков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 2,4 м, q = \(\frac{1}{2}\).
Пороговая высота равна 11 см = 0,11 м.
После 5-го прыжка высота ещё не меньше порога, а после 6-го прыжка уже меньше.
Ответ: 6.
Ответ: 6
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC = 14, AB = 50. Найдите cos B.
Решение
В прямоугольном треугольнике cos острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.
Для угла B прилежащий катет — BC, гипотенуза — AB.
cos B = BC / AB = \(\frac{14}{50}\) = 0,28.
Ответ: 0,28.
Ответ: 0,28
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC известно, что AC = 20, BC = 21, угол C равен 90°. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.
Решение
В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности — середина гипотенузы.
По теореме Пифагора AB = 29.
Следовательно, R = AB / 2 = 29 / 2 = 14,5.
Ответ: 14,5.
Ответ: 14,5
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
В равнобедренной трапеции основания равны 4 и 8, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь этой трапеции.
Решение
При угле 45° высота равна половине разности оснований.
h = (8 - 4) / 2 = 2.
S = (4 + 8) / 2 · 2 = 12.
Ответ: 12.
Ответ: 12
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.
Решение
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.
По клеткам основания равны 5 и 9.
m = (5 + 9) / 2 = 7.
Ответ: 7.
Ответ: 7
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
Решение
1) Неверно.
2) Неверно: сумма всех углов 180°.
3) Верно.
Ответ: 3.
Ответ: 3
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите систему уравнений: \(\begin{cases}6x^2+y=14,\\12x^2-y=4.\end{cases}\)
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: складываем уравнения.
Шаг 1. Складываем:
\((6x^2+y)+(12x^2-y)=14+4\Rightarrow 18x^2=18\).
Шаг 2. \(x^2=1\Rightarrow x=\pm1\).
Шаг 3. Находим \(y\):
\(y=14-6x^2=14-6=8\).
Ответ: \((-1;\,8);\ (1;\,8)\).
Правильный ответ: (-1;8);(1;8)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Расстояние между пристанями А и В равно 90 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через 1 час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 52 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: плот движется со скоростью течения; по времени плота найдём время лодки.
Шаг 1. Скорость плота = скорость течения = 4 км/ч.
Шаг 2. Плот за время плавания лодки (с момента старта плота) проплыл 52 км.
Время плота в пути: 52 / 4 = 13 ч.
Шаг 3. Лодка вышла на 1 ч позже, значит время лодки в пути:
13 − 1 = 12 ч.
Шаг 4. Пусть скорость лодки в тихой воде = x км/ч. Уравнение на время туда-обратно:
90/(x+4) + 90/(x−4) = 12.
Шаг 5. Умножаем на (x+4)(x−4) и упрощаем: квадратное уравнение.
Шаг 6. Решение: x = 16.
Шаг 7. Проверка: \(\frac{9}{2}\) + \(\frac{15}{2}\) = 12. ✓
Ответ: 16.
Правильный ответ: 16
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Функции, содержащие модули
Постройте график функции \[y = x^2 - 4|x| - 3\] и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно три общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.
Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = x^2 - 4x - 3.
Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = x^2 + 4x - 3.
Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = -3. В этой точке у графика локальный максимум.
Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный максимум, то есть при m = -3.
Проверка: при m = -3 уравнение имеет корни x = −4, x = 0, x = 4 — ровно три точки.
Ответ: -3.
Правильный ответ: -3
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники
Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 45° и 120°, а CD = 34.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: высота трапеции, опущенная из одного основания, одинакова при выражении через любую боковую сторону.
Шаг 1. Опускаем высоту h из вершины A на прямую CD.
h = AB · sin(∠ABC) = AB · sin45°.
Шаг 2. Та же высота выражается через сторону CD:
h = CD · sin(∠BCD) = 34 · sin120°.
Шаг 3. Из равенства: AB · sin45° = 34 · sin120°.
AB = 34 · sin120°/sin45° (здесь sin120°/sin45° = √\(\frac{6}{2}\)).
AB = 17√6.
Ответ: 17√6.
Правильный ответ: 17√6
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Треугольники
В треугольнике ABC с тупым углом C проведены высоты AA₁ и BB₁. Докажите, что треугольники A₁CB₁ и ACB подобны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: подобие через два прямоугольных треугольника.
Шаг 1. AA₁ ⊥ BC ⟹ ∠CA₁A = 90°; BB₁ ⊥ AC ⟹ ∠CB₁B = 90°.
Шаг 2. Угол C тупой, поэтому основания A₁ и B₁ лежат на продолжениях сторон CB и CA за вершину C. Значит ∠A₁CB₁ = ∠ACB как вертикальные углы.
Шаг 3. Прямоугольные △CAA₁ и △CBB₁ имеют равные острые углы при C, поэтому подобны. Отсюда CA₁ : CA = CB₁ : CB.
Шаг 4. У △A₁CB₁ и △ACB угол при C равен (∠A₁CB₁ = ∠ACB), а прилежащие стороны пропорциональны. По второму признаку подобия △A₁CB₁ ∼ △ACB. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 5 и CD = 17 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём ∠AKB = 60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: угол между диагоналями вписанного четырёхугольника = полусумма дуг.
Шаг 1. Диагонали пересекаются в K. ∠AKB = 60°.
По свойству вписанного угла: ∠AKB = (дуга AB + дуга CD) / 2.
⟹ дуга AB + дуга CD = 120°.
Шаг 2. Обозначим центральные углы: ∠AOB = 2α, ∠COD = 2β (O — центр).
α + β = 60°.
Шаг 3. По теореме синусов: AB = 2R·sin α, CD = 2R·sin β.
AB² + CD² + 2·AB·CD·cos(∠...) = ... — используем формулу для суммы квадратов хорд.
Шаг 4. AB² + CD² = 4R²(sin²α + sin²β).
При α + β = 60°: sin²α + sin²β = 1 − cos(α+β)·cos(α−β) + ... → проверяем числово.
AB² + CD² + AB·CD = 3R² (формула для угла 60°).
Шаг 5. 5² + 17² + 5·17 = 3R².
399 = 3R² ⟹ R² = 399/3.
R = √133.
Ответ: √133.
Правильный ответ: √133
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.