Загрузка заданий...

Вариант 2642 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 25.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой A и цифрой: A0, A1, A2 и так далее. Лист формата A0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 кв. м. Если лист формата A0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получается два равных листа формата A1. Если лист A1 разрезать так же пополам, получается два листа формата A2. И так далее.

Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это сделано специально для того, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при уменьшении или увеличении шрифта при изменении формата листа.

1 Задание 1 1 балл

Установите соответствие между форматами и номерами листов. В ответ запишите последовательность четырёх цифр для форматов A2, A3, A4 и A6.

В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы A2, A3, A4, A6.

Номер листа	Длина (мм)	Ширина (мм)
1	594	420
2	420	297
3	148	105
4	297	210

Решение

A2 — 594 × 420 мм, это №1. A3 — 420 × 297 мм, это №2. A4 — 297 × 210 мм, это №4. A6 — 148 × 105 мм, это №3. Ответ: 1243.

Ответ: 1243

2 Задание 2 1 балл

Сколько листов формата A5 получится из одного листа формата A3?

Решение

Из A3 получают два листа A4, а из каждого A4 — два листа A5. Значит всего 2 · 2 = 4 листа A5. Ответ: 4.

Ответ: 4

3 Задание 3 1 балл

Найдите площадь листа формата A5. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение

Площадь A0 равна 1 м². A5 получается после пяти делений пополам, значит площадь A5 равна $\frac{1}{32}$ м² = 10000 : 32 = 312,5 см². Ответ: 312,5.

Ответ: 312.5

4 Задание 4 1 балл

Найдите длину листа бумаги формата A6. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.

Решение

Формат A6 имеет размеры примерно 148 × 105 мм. Длина листа равна 148 мм. Округляем до ближайшего числа, кратного 10: 150. Ответ: 150.

Ответ: 150

5 Задание 5 1 балл

Бумагу формата A1 упаковали в пачки по 80 листов. Найдите массу пачки, если масса бумаги площади 1 кв. м равна 120 г. Ответ дайте в граммах.

Решение

Площадь листа A1 равна половине площади A0: $\frac{1}{2}$ м². Масса одного листа: 120 · $\frac{1}{2}$ = 60 г. Масса 80 листов: 60 · 80 = 4800 г. Ответ: 4800.

Ответ: 4800

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{3}{10} : 0,8$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $\frac{3}{10} : 0,8$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{3}{10}) : 0,8 = 0,375$.

Получили результат $0,375$.

Ответ: $0,375$.

Ответ: 0,375

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какое из данных чисел принадлежит промежутку от -3,2 до -2,8?
В ответе укажите номер правильного варианта.

-2,16

-2,92

-2

0,3

Решение

Сравним числа -3,2 и -2,8. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.

Проверяем варианты и получаем, что только вариант 2 (-2,92) лежит между этими числами.

Ответ: 2

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(5\sqrt{10})^2$$

Решение

Вычислим выражение: (5√10)².

Используем свойство степени произведения: (5√10)² = 5² · (√10)².

Получаем 25 · 10 = 250.

Ответ: 250.

Ответ: 250

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите систему уравнений: $$\begin{cases} 6x - 4y = 44 \\ -7x - 3y = -59 \end{cases}$$

Решение

Решим систему:

6x - 4y = 44

-7x - 3y = -59

Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на -7, а второе — на 6.

Получим:

$(6x - 4y = 44) \cdot -7$: -42x + 28y = -308

$(-7x - 3y = -59) \cdot 6$: -42x - 18y = -354

Вычтем второе уравнение из первого:

46y = 46

y = 46 / 46 = 1

Подставим y = 1 в первое уравнение:

6x - 4y = 44

Получаем x = 8.

Ответ: (8;1)

Ответ: 8;1

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображено дерево случайного опыта. Найдите вероятность события $B$.

Решение

Читаем дерево слева направо.

Из точки S выходят две ветки — это событие A и противоположное ему. На них написано 0.15 и 0.85: вероятности того, что опыт пойдёт по верхнему или по нижнему пути.

От каждой из них идут ещё две ветки — к B и к «не B». Число на ветке — вероятность B при условии, что до неё дошли: по верхнему пути 0.35, по нижнему 0.75.

Событие B наступает двумя способами, поэтому проходим оба пути и складываем. Вероятность пути — произведение чисел на его ветках.

Верхний путь: 0.15 · 0.35 = 0.0525.

Нижний путь: 0.85 · 0.75 = 0.6375.

Складываем: 0.0525 + 0.6375 = 0.69.

Ответ: 0,69

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.

Графики

А) график 1

Б) график 2

В) график 3

Коэффициенты

1) a > 0, c < 0

2) a > 0, c > 0

3) a < 0, c > 0

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Определяем знак a по направлению ветвей и знак c по пересечению с осью Oy, затем сопоставляем с вариантами. Ответ: 312.

Ответ: 312

12 Расчёты по формулам 1 балл

Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле P = I²R, где I – сила тока (в амперах), R – сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите сопротивление R, если мощность составляет 121,5 Вт, а сила тока равна 4,5 А. Ответ дайте в омах.

Решение

Из формулы P = I²R выразим сопротивление: R = P/I².

R = 121,5/(4,5²) = 6.

Ответ: 6.

Ответ: 6

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства

x² - 25 ≤ 0

[-5;5]

(-∞;-5) ∪ (5;+∞)

(-∞;-5] ∪ [5;+∞)

(-5;5)

Решение

Решаем x² - 25 <= 0. Нули: x = -5 и x = 5. Верное решение: [-5;5]. Это вариант 1.

Ответ: 1

14 Задачи на прогрессии 1 балл

Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 2,4 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в три раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 5 см?

Решение

Высоты прыжков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 2,4 м, q = $\frac{1}{3}$.

Пороговая высота равна 5 см = 0,05 м.

После 4-го прыжка высота ещё не меньше порога, а после 5-го прыжка уже меньше.

Ответ: 5.

Ответ: 5

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC известно, что AB = BC, ∠ABC = 128°. Найдите угол BCA. Ответ дайте в градусах.

Решение

Так как AB = BC, треугольник равнобедренный, а углы при основании равны.

Сумма углов при основании равна 180° - 128° = 52°.

Каждый из них равен 52° : 2 = 26°.

Ответ: 26.

Ответ: 26

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 54°, угол CAD равен 60°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Решение

Углы CAD и CBD опираются на одну и ту же дугу CD, значит ∠CBD = ∠CAD.

Следовательно, ∠CBD = 60°.

Луч BD делит угол ABC на углы ABD и DBC.

Поэтому ∠ABD = ∠ABC - ∠CBD = 54° - 60° = -6°.

Ответ: -6.

Ответ: -6

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Основания трапеции равны 4 и 14, а высота равна 5. Найдите площадь этой трапеции.

Решение

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

S = (4 + 14) / 2 · 5 = 45.

Ответ: 45.

Ответ: 45

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник. Найдите его площадь.

Решение

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.

По клеткам основание равно 5, высота равна 8.

S = 5 · 8 / 2 = 20.

Ответ: 20.

Ответ: 20

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Все углы ромба равны.

Площадь квадрата равна произведению двух его смежных сторон.

Любые два равносторонних треугольника подобны.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

1) Неверно.

2) Верно.

3) Верно.

Ответ: 23.

Ответ: 23

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите систему уравнений: $\begin{cases}3x^2+y=4,\\2x^2-y=1.\end{cases}$

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: складываем уравнения, чтобы сократить $y$.

Шаг 1. Складываем:

$(3x^2+y)+(2x^2-y)=4+1\Rightarrow 5x^2=5$.

Шаг 2. $x^2=1\Rightarrow x=\pm1$.

Шаг 3. Находим $y$:

$y=4-3x^2=4-3=1$.

Ответ: $(-1;\,1);\ (1;\,1)$.

Правильный ответ: (-1;1);(1;1)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Моторная лодка прошла против течения реки 210 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 4 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: скорость против течения = v − u, по течению = v + u; время обратного пути меньше.

Шаг 1. Пусть собственная скорость лодки равна x км/ч.

Скорость против течения: x − 3. По течению: x + 3.

Шаг 2. Составляем уравнение (путь против течения занял на 4 ч больше):

210/(x − 3) − 210/(x + 3) = 4.

Шаг 3. Умножаем на (x−3)(x+3) = x²−9:

210(x+3) − 210(x−3) = 4(x²−9).

Шаг 4. Левая часть: 210·2·3 = 1260. Получаем квадратное уравнение:

4x² − 1260 − 36 = 0.

Шаг 5. Решение (берём положительный корень): x = 18.

Шаг 6. Проверка: 210/15 = 14 ч, 210/21 = 10 ч, разность 4 ч. ✓

Ответ: 18.

Правильный ответ: 18

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $\; y=\begin{cases}x^2+4x+4,& x\ge -5,\\-\dfrac{45}{x},& x<-5.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком одну или две общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.

Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.

По анализу графика получаем: {0}∪[9;+∞).

Ответ: {0}∪[9;+∞).

Правильный ответ: {0}∪[9;+∞)

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Треугольники

Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN = 7, AC = 21, NC = 20.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: MN ∥ AC — треугольники BMN и BAC подобны, коэффициент подобия = MN/AC.

Шаг 1. Коэффициент подобия: k = MN/AC = $\frac{7}{21}$ = $\frac{1}{3}$.

Шаг 2. Из подобия: BN/BC = $\frac{1}{3}$, то есть BN = 1·BC/3.

Шаг 3. BC = BN + NC = BN + 20.

Подставляем: BN = 1·(BN + 20)/3.

3·BN = 1·BN + 1·20.

(3−1)·BN = 20 ⟹ BN = 20/(3−1) = 10.

Ответ: 10.

Правильный ответ: 10

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Окружности

Окружности с центрами в точках M и N пересекаются в точках S и T, причём точки M и N лежат по одну сторону от прямой ST. Докажите, что прямые MN и ST перпендикулярны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: каждый центр лежит на серединном перпендикуляре к общей хорде.

Шаг 1. MS = MT (оба — радиусы первой окружности).

⟹ точка M равноудалена от S и T

⟹ M лежит на серединном перпендикуляре к отрезку ST.

Шаг 2. NS = NT (оба — радиусы второй окружности).

⟹ точка N тоже лежит на том же серединном перпендикуляре.

Шаг 3. Через два разных точки проходит единственная прямая.

Прямая MN совпадает с серединным перпендикуляром к ST.

Следовательно, MN ⟂ ST. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

Середина M стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если BC = 12, а углы B и C четырёхугольника равны соответственно 115° и 95°.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: если середина стороны равноудалена от всех вершин, она — центр описанной окружности, а сторона — диаметр.

Шаг 1. M — середина AD и MA = MB = MC = MD, значит M — центр описанной окружности.

Тогда AD = 2R (диаметр).

Шаг 2. ∠ABD = 90° (вписанный угол, опирающийся на диаметр AD).

∠DBC = ∠B − 90° = 115° − 90° = 25°.

Шаг 3. ∠ACD = 90° (аналогично). ∠ACB = ∠C − 90° = 95° − 90° = 5°.

Шаг 4. ∠CAD = ∠CBD = 25° (вписанные углы на одну дугу CD).

∠ADB = ∠ACB = 5° (вписанные углы на одну дугу AB).

∠DAB = 90° − ∠ADB = 90° − 5° = 85°.

Шаг 5. ∠BAC = ∠DAB − ∠CAD = 85° − 25° = 60°.

Шаг 6. По теореме синусов: BC = AD · sin(∠BAC).

AD = BC / sin(60°) = 12 / sin(60°) = 8√3.

Ответ: 8√3.

Правильный ответ: 8√3

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.