Загрузка заданий...

Вариант 2654 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 25.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой A и цифрой: A0, A1, A2 и так далее. Лист формата A0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 кв. м. Если лист формата A0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получается два равных листа формата A1. Если лист A1 разрезать так же пополам, получается два листа формата A2. И так далее.

Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это сделано специально для того, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при уменьшении или увеличении шрифта при изменении формата листа.

1 Задание 1 1 балл

Установите соответствие между форматами и номерами листов. В ответ запишите последовательность четырёх цифр для форматов A2, A3, A5 и A6.

В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы A2, A3, A5, A6.

Номер листа	Длина (мм)	Ширина (мм)
1	210	148
2	594	420
3	148	105
4	420	297

Решение

A2 имеет размеры 594 × 420 мм — это лист №2. A3: 420 × 297 мм — №4. A5: 210 × 148 мм — №1. A6: 148 × 105 мм — №3. Ответ: 2413.

Ответ: 2413

2 Задание 2 1 балл

Сколько листов формата A3 получится из одного листа формата A2?

Решение

При переходе от формата A2 к формату A3 лист разрезают пополам, поэтому из одного A2 получается 2 листа A3. Ответ: 2.

Ответ: 2

3 Задание 3 1 балл

Найдите площадь листа формата A3. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение

Размер A3: 420 × 297 мм. Площадь равна 420 · 297 = 124740 мм². Так как 1 см² = 100 мм², получаем 124740 : 100 = 1247,4 см². Ответ: 1247,4.

Ответ: 1247.4

4 Задание 4 1 балл

Найдите длину листа бумаги формата A1. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.

Решение

Формат A1 имеет размеры примерно 841 × 594 мм. Длина листа A1 равна 841 мм. Округляем до ближайшего числа, кратного 10: 840. Ответ: 840.

Ответ: 840

5 Задание 5 1 балл

Бумагу формата A5 упаковали в пачки по 500 листов. Найдите массу пачки, если масса бумаги площади 1 кв. м равна 80 г. Ответ дайте в граммах.

Решение

Площадь листа A5 равна $\frac{1}{32}$ м². Масса одного листа: 80 : 32 = 2,5 г. В пачке 500 листов, значит масса пачки 2,5 · 500 = 1250 г. Ответ: 1250.

Ответ: 1250

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{1}{2} : \frac{1}{4}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $\frac{1}{2} : \frac{1}{4}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{1}{2}) : \frac{1}{4} = \frac{2}{1}$.

Получили дробь 2.

Эта дробь равна конечной десятичной дроби $2$.

Ответ: $2$.

Ответ: 2

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

$\frac{1}{a} < 0$

6 - a < 0

a - 6 < 0

-a > -5

Решение

По чертежу видно, что 5 < a < 6.

Проверим варианты ответа:

1) $\frac{1}{a} < 0$ ⇔ a < 0 — неверно.

2) 6 - a < 0 ⇔ a > 6 — неверно.

3) a - 6 < 0 ⇔ a < 6 — верно.

4) -a > -5 ⇔ a < 5 — неверно.

Правильный ответ: 3.

Ответ: 3

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(7\sqrt{5})^2$$

Решение

Вычислим выражение: (7√5)².

Используем свойство степени произведения: (7√5)² = 7² · (√5)².

Получаем 49 · 5 = 245.

Ответ: 245.

Ответ: 245

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Найдите корни уравнения: x² + x - 72 = 0 Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.

Решение

Решим уравнение: x² + x - 72 = 0

Коэффициенты: a = 1, b = 1, c = -72.

Найдём дискриминант:

D = b² - 4ac = 1² - 4·1·-72 = 289.

Так как D > 0, уравнение имеет два корня.

x₁ = (-1 - √289) / 2 = -9

x₂ = (-1 + √289) / 2 = 8

Ответ: -9;8

10 Статистика, вероятности 1 балл

В среднем из 150 карманных фонариков, поступивших в продажу, 45 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.

Решение

Всего равновозможных исходов: 150.

Благоприятных исходов: 105 (исправный фонарик).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = 105/150 = 0,7.

Ответ: 0,7.

Ответ: 0,7

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между функциями и их графиками.

ФУНКЦИИ

А) $y = \dfrac{1}{x}$

Б) $y = 2x^2 + 14x + 24$

В) $y = x + 1$

ГРАФИКИ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 132.

Ответ: 132

12 Расчёты по формулам 1 балл

Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой t_F = 1,8t_C + 32, где t_C – температура в градусах Цельсия, t_F – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Фаренгейта соответствует 50 градусов по шкале Цельсия?

Решение

Подставим t_C = 50 в формулу t_F = 1,8t_C + 32.

t_F = 1,8·(50) + 32 = 122.

Ответ: 122.

Ответ: 122

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства

8x - x² > 0

Решение

Разложим: 8x - x² = x(8 - x). Нули: 0 и 8. Верное решение: (0;8). Это вариант 3.

Ответ: 3

14 Задачи на прогрессии 1 балл

Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 3,2 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в два раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 10 см?

Решение

Высоты прыжков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 3,2 м, q = $\frac{1}{2}$.

Пороговая высота равна 10 см = 0,1 м.

После 6-го прыжка высота ещё не меньше порога, а после 7-го прыжка уже меньше.

Ответ: 7.

Ответ: 7

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Два катета прямоугольного треугольника равны 7 и 12. Найдите площадь этого треугольника.

Решение

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

S = $\frac{1}{2}$ · 7 · 12 = $\frac{84}{2}$ = 42.

Ответ: 42.

Ответ: 42

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Радиус окружности, описанной около квадрата, равен 16√2. Найдите длину стороны этого квадрата.

Решение

Для квадрата R = a√2 / 2.

Значит, a = R·√2 = 16√2 · √2 = 32.

Ответ: 32.

Ответ: 32

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Один из углов параллелограмма равен 91°. Найдите меньший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение

Соседние углы параллелограмма supplementary.

Искомый угол равен 180° - 91° = 89°.

Ответ: 89.

Ответ: 89

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён параллелограмм. Найдите его площадь.

Решение

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.

По клеткам основание равно 7, высота равна 3.

S = 7 · 3 = 21.

Ответ: 21.

Ответ: 21

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов.

Если точка лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от сторон этого угла.

Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является ромбом.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

1) Верно: любая сторона треугольника меньше суммы двух других.

2) Верно: свойство биссектрисы угла.

3) Неверно: параллелограмм с равными диагоналями — прямоугольник, не обязательно ромб.

Ответ: 12.

Ответ: 12

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Найдите значение выражения $52a-12b+81$, если $\dfrac{2a-6b+9}{6a-2b+9}=9$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из условия дроби выразить $52a-12b$ и подставить.

Шаг 1. Из условия: $2a-6b+9 = 9(6a-2b+9)$.

Шаг 2. Раскрываем: $2a-6b+9 = 54a-18b+81$.

Шаг 3. Переносим влево: $0 = 52a-12b+72$, откуда $52a-12b = -72$.

Шаг 4. Вычисляем: $52a-12b+81 = -72+81 = 9$.

Ответ: 9.

Правильный ответ: 9

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Проценты, смеси и сплавы

Имеются два сосуда, содержащие 40 кг и 30 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 73% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 72% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в втором растворе?

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: составить систему уравнений на концентрации двух растворов.

Шаг 1. Пусть концентрация кислоты в 1-м сосуде — x, во 2-м — y.

Шаг 2. При полном смешивании 70 кг получается раствор с концентрацией 73%:

40·x + 30·y = 70·0,73 = 51,1 ...(1).

Шаг 3. При смешивании равных масс концентрация 72%:

(x + y)/2 = 0,72 ⟹ x + y = 1,44 ...(2).

Шаг 4. Из (2): y = 1,44 − x. Подставляем в (1):

40·x + 30·(1,44 − x) = 51,1

40x + 43,2 − 30x = 51,1

10x = 7,9 ⟹ x = 0,79.

y = 1,44 − 0,79 = 0,65.

Шаг 5. Масса кислоты во 2-м сосуде: 30·0,65 = 19,5 кг.

Ответ: 19,5.

Правильный ответ: 19,5

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $\; y=\begin{cases}x^2+4x-1,& x\ge -4,\\x,& x<-4.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком две общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.

Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.

По анализу графика получаем: {-5}∪[-4;-1].

Ответ: {-5}∪[-4;-1].

Правильный ответ: {-5}∪[-4;-1]

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Треугольники

Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB = 15, DC = 30, AC = 39.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: AB ∥ DC — треугольники ABM и CDM подобны по двум углам.

Шаг 1. Из подобия △ABM ∼ △CDM: AM/MC = AB/DC = $\frac{15}{30}$ = $\frac{1}{2}$.

Шаг 2. AC = AM + MC, причём AM : MC = 1 : 2.

Одна «часть» = AC / (2+1) = 39 / 3 = 13.

Шаг 3. MC = 2 · 13 = 26.

Ответ: 26.

Правильный ответ: 26

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 8 и 128, BD = 32. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: найти два равных угла у треугольников CBD и BDA.

Шаг 1. BC ∥ AD ⟹ ∠CBD = ∠BDA (накрест лежащие при секущей BD).

Шаг 2. Проверим соотношение сторон: BC/BD = $\frac{8}{32}$ = $\frac{1}{4}$, BD/AD = 32/128 = $\frac{1}{4}$.

BD² = 32² = 1024 = 8·128 = BC·AD. Значит BC/BD = BD/AD.

Шаг 3. Угол ∠CBD = ∠BDA (Шаг 1), а смежные стороны пропорциональны (Шаг 2).

По признаку подобия «угол и прилежащие стороны» △CBD ∼ △BDA. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

Окружности радиусов 45 и 55 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: точки касания общих касательных и центры окружностей образуют прямоугольники.

Шаг 1. Пусть O₁ и O₂ — центры окружностей радиусов r=45 и R=55.

O₁O₂ = r + R = 100 (внешнее касание).

Шаг 2. AC — общая внешняя касательная. O₁A ⊥ AC и O₂C ⊥ AC.

Точки A и C — основания перпендикуляров из центров на касательную.

Шаг 3. AB — хорда первой окружности, перпендикулярная AC (AB ⊥ O₁O₂).

Аналогично CD ⊥ O₁O₂.

Шаг 4. Расстояние между AB и CD = проекция O₁O₂ на перпендикулярное направление.

По теореме Пифагора в трапеции: dist = 2√(Rr) = 2√(55·45) = 2√2475 = 30√11.

Ответ: 30√11.

Правильный ответ: 30√11

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.