Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 25.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой A и цифрой: A0, A1, A2 и так далее. Лист формата A0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 кв. м. Если лист формата A0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получается два равных листа формата A1. Если лист A1 разрезать так же пополам, получается два листа формата A2. И так далее.
Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это сделано специально для того, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при уменьшении или увеличении шрифта при изменении формата листа.
1Задание 11 балл
Установите соответствие между форматами и номерами листов. В ответ запишите последовательность четырёх цифр для форматов A2, A3, A5 и A6.
В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы A2, A3, A5, A6.
Номер листа
Длина (мм)
Ширина (мм)
1
210
148
2
594
420
3
148
105
4
420
297
Решение
A2 имеет размеры 594 × 420 мм — это лист №2. A3: 420 × 297 мм — №4. A5: 210 × 148 мм — №1. A6: 148 × 105 мм — №3. Ответ: 2413.
Ответ: 2413
2Задание 21 балл
Сколько листов формата A3 получится из одного листа формата A2?
Решение
При переходе от формата A2 к формату A3 лист разрезают пополам, поэтому из одного A2 получается 2 листа A3. Ответ: 2.
Ответ: 2
3Задание 31 балл
Найдите площадь листа формата A3. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение
Размер A3: 420 × 297 мм. Площадь равна 420 · 297 = 124740 мм². Так как 1 см² = 100 мм², получаем 124740 : 100 = 1247,4 см². Ответ: 1247,4.
Ответ: 1247.4
4Задание 41 балл
Найдите длину листа бумаги формата A1. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.
Решение
Формат A1 имеет размеры примерно 841 × 594 мм. Длина листа A1 равна 841 мм. Округляем до ближайшего числа, кратного 10: 840. Ответ: 840.
Ответ: 840
5Задание 51 балл
Бумагу формата A5 упаковали в пачки по 500 листов. Найдите массу пачки, если масса бумаги площади 1 кв. м равна 80 г. Ответ дайте в граммах.
Решение
Площадь листа A5 равна \(\frac{1}{32}\) м². Масса одного листа: 80 : 32 = 2,5 г. В пачке 500 листов, значит масса пачки 2,5 · 500 = 1250 г. Ответ: 1250.
Ответ: 1250
6Числа и вычисления1 балл
Найдите значение выражения $$2 - \frac{1}{1} \cdot 0,4$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(2 - \frac{1}{1} \cdot 0,4\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{1}{1}) \cdot 0,4 = 0,4\).
Шаг 2: \((2) - 0,4 = 1,6\).
Получили результат \(1,6\).
Ответ: \(1,6\).
Ответ: 1,6
7Числовые неравенства, координатная прямая1 балл
Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу \(\frac{-14}{3}\). Какая это точка?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1
A
2
B
3
C
4
D
Решение
Сравним положение точек на координатной прямой и значение данного числа.
Число \(\frac{-14}{3}\) по своему значению совпадает с точкой A.
Правильный ответ: 1.
Ответ: 1
8Числа, вычисления и алгебраические выражения1 балл
Найдите значение выражения $$(\sqrt{11} - 2)(\sqrt{11} + 2)$$
Решение
Вычислим выражение: (√11 - 2)(√11 + 2).
Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².
Тогда (√11)² - 2² = 11 - 4 = 7.
Ответ: 7.
Ответ: 7
9Уравнения, системы уравнений1 балл
Решите уравнение: 5 + 2(4x + 9) = 6x + 35
Решение
Решим уравнение: 5 + 2(4x + 9) = 6x + 35
Раскроем скобки:
5 + 2(4x + 9) = 6x + 35
5 + 8x + 18 = 6x + 35
Приведём подобные слагаемые в левой части:
8x + 23 = 6x + 35
Перенесём слагаемые с x в левую часть, числа — в правую:
2x = 12
Разделим обе части на 2:
x = 12 / 2
x = 6
Ответ: 6
Ответ: 6
10Статистика, вероятности1 балл
На экзамене 30 билетов, Саша не выучил 3 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.
Решение
Всего равновозможных исходов: 30.
Благоприятных исходов: 27 (выученный билет).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{27}{30}\) = 0,9.
Ответ: 0,9.
Ответ: 0,9
11Графики функций1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.
Графики
А) график 1
Б) график 2
В) график 3
Коэффициенты
1) a > 0, c < 0
2) a > 0, c > 0
3) a < 0, c > 0
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А
Б
В
Решение
Определяем знак a по направлению ветвей и знак c по пересечению с осью Oy, затем сопоставляем с вариантами. Ответ: 123.
Ответ: 123
12Расчёты по формулам1 балл
Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой tF = 1,8tC + 32, где tC – температура в градусах Цельсия, tF – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Фаренгейта соответствует 30 градусов по шкале Цельсия?
Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: (-8;-3,2). Это вариант 2.
Ответ: 2
14Задачи на прогрессии1 балл
В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 10 мг. За каждые 20 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 80 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.
Решение
Масса колонии образует геометрическую прогрессию: b₁ = 10, q = 3.
За 80 минут пройдёт 4 промежутков по 20 минут.
Получаем массу 10·3^4 = 810 мг.
Ответ: 810.
Ответ: 810
15Треугольники и их элементы1 балл
Сторона равностороннего треугольника равна 16√3. Найдите высоту этого треугольника.
Решение
В равностороннем треугольнике высота, медиана и биссектриса совпадают.
Высота равностороннего треугольника равна a·√3 / 2.
Получаем: 16√3 · √3 / 2 = 16·3 / 2 = 24.
Ответ: 24.
Ответ: 24
16Окружность, круг и их элементы1 балл
В окружность с центром в точке O вписан равносторонний треугольник. Расстояние от точки O до сторон треугольника равно √3/6. Найдите сторону треугольника.
Решение
Расстояние от центра описанной окружности равностороннего треугольника до стороны равно радиусу вписанной окружности r.
Для равностороннего треугольника a = 2r√3.
Подставляя r = √\(\frac{3}{6}\), получаем a = 1.
Ответ: 1.
Ответ: 1
17Четырёхугольники, многоугольники и их элементы1 балл
В ромбе ABCD угол ABC равен 84°. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.
Решение
В ромбе противоположные углы равны, а соседние дополняют друг друга до 180°.
Следовательно, угол C равен 180° - 84° = 96°.
Диагональ AC биссектрисой угла C.
Поэтому ∠ACD = 96° / 2 = 48°.
Ответ: 48.
Ответ: 48
18Фигуры на квадратной решётке1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён параллелограмм. Найдите его площадь.
Решение
Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.
По клеткам основание равно 5, высота равна 4.
S = 5 · 4 = 20.
Ответ: 20.
Ответ: 20
19Анализ геометрических высказываний1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
1
Площадь квадрата равна произведению двух его смежных сторон.
2
Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника.
3
Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
В ответ запишите номер выбранного утверждения.
Решение
1) Верно: площадь квадрата равна a·a = a².
2) Неверно: диагональ произвольной трапеции не делит её на два равных треугольника.
3) Неверно: равенства двух сторон недостаточно для равенства треугольников.
Ответ: 1.
Ответ: 1
20Уравнения, неравенства и их системы2 балла
Решите систему уравнений: \(\begin{cases}3x^2+y=4,\\2x^2-y=1.\end{cases}\)
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: складываем уравнения, чтобы сократить \(y\).
Шаг 1. Складываем:
\((3x^2+y)+(2x^2-y)=4+1\Rightarrow 5x^2=5\).
Шаг 2. \(x^2=1\Rightarrow x=\pm1\).
Шаг 3. Находим \(y\):
\(y=4-3x^2=4-3=1\).
Ответ: \((-1;\,1);\ (1;\,1)\).
Правильный ответ: (-1;1);(1;1)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21Текстовые задачи2 балла
Проценты, смеси и сплавы
Имеются два сосуда, содержащие 48 кг и 42 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 42% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 40% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в втором растворе?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: составить систему уравнений на концентрации двух растворов.
Шаг 1. Пусть концентрация кислоты в 1-м сосуде — x, во 2-м — y.
Шаг 2. При полном смешивании 90 кг получается раствор с концентрацией 42%:
48·x + 42·y = 90·0,42 = 37,8 ...(1).
Шаг 3. При смешивании равных масс концентрация 40%:
(x + y)/2 = 0,40 ⟹ x + y = 0,80 ...(2).
Шаг 4. Из (2): y = 0,80 − x. Подставляем в (1):
48·x + 42·(0,80 − x) = 37,8
48x + 33,6 − 42x = 37,8
6x = 4,2 ⟹ x = 0,70.
y = 0,80 − 0,70 = 0,10.
Шаг 5. Масса кислоты во 2-м сосуде: 42·0,10 = 4,2 кг.
Ответ: 4,2.
Правильный ответ: 4,2
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22Функции и их свойства. Графики функций2 балла
Функции, содержащие модули
Постройте график функции \[y = -x^2 + 6|x| - 4\] и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно три общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.
Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = -x^2 + 6x - 4.
Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = -x^2 - 6x - 4.
Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = -4. В этой точке у графика локальный минимум.
Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный минимум, то есть при m = -4.
Проверка: при m = -4 уравнение имеет корни x = −6, x = 0, x = 6 — ровно три точки.
Ответ: -4.
Правильный ответ: -4
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23Геометрические задачи на вычисление2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Окружности
Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите диаметр окружности, если AB = 9, AC = 12.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: центр O лежит на AC, касание в B — значит OB ⊥ AB, OB = r.
Шаг 1. Пусть центр O делит AC: AO = AC − r (т.к. O на AC и окружность проходит через C, OC = r).
Шаг 2. △AOB прямоугольный (∠ABО = 90°, т.к. OB ⊥ AB).
AB² + r² = AO² = (AC − r)².
9² + r² = (12 − r)².
81 + r² = 144 − 24r + r².
24r = 144 − 81 = 63.
r = \(\frac{63}{24}\) = 2.625.
Шаг 3. D = 2r = \(\frac{63}{12}\) = 5,25.
Ответ: 5,25.
Правильный ответ: 5,25
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24Геометрические задачи на доказательство2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Окружности
Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AD и BC четырёхугольника пересекаются в точке K. Докажите, что треугольники KAB и KCD подобны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: использовать равенство вписанных углов на одну дугу в ABCD.
Шаг 2. ∠KAB = ∠KCD: опираются на дугу AB (как вписанные углы).
Шаг 3. ∠KBA = ∠KDC: опираются на дугу BC.
Шаг 4. По двум равным углам △KAB ∼ △KCD. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25Геометрические задачи повышенной сложности2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 28 и 35, а основание BC равно 7. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: биссектриса угла ADC проходит через середину AB — это даёт уравнение на AD.
Шаг 1. Пусть M — середина AB. Биссектриса угла ADC проходит через M.
По свойству биссектрисы в треугольнике (или трапеции): ∠ADM = ∠MDC.
Шаг 2. Из условия параллельности оснований и свойства биссектрисы:
AD = AB + BC = 28 + 7... (точнее, выводится из прямоугольника при трапеции).
Через пифагорово тройки: высота h = 21, AB = 28, CD = 35, BC = 7.
