Загрузка заданий...
Вариант 55 — ОГЭ по математике
Реши задания, а в конце нажми “Проверить экзамен”. Решение можно открыть у отдельного задания, если нужно разобрать ход решения.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 07.06.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Хозяин дачного участка строит баню с парным отделением. Парное отделение имеет размеры: длина 3,5 м, ширина 2,2 м, высота 2 м. Окон в парном отделении нет, для доступа внутрь планируется дверь шириной 60 см, высота дверного проёма 1,8 м. Для прогрева парного отделения можно использовать электрическую или дровяную печь. В таблице представлены характеристики трёх печей.
| Номер печи | Тип | Объём помещения (куб. м) | Масса (кг) | Стоимость (руб.) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | дровяная | 8—12 | 40 | 18 000 |
| 2 | дровяная | 10—16 | 48 | 19 500 |
| 3 | электрическая | 9—15,5 | 15 | 15 000 |
Для установки дровяной печи дополнительных затрат не потребуется. Установка электрической печи потребует подведения специального кабеля, что обойдётся в 6500 руб.
1
Задание 1
1 балл
Установите соответствие между массами и номерами печей. В ответ запишите последовательность трёх цифр для масс 15, 40 и 48 кг.
| Масса (кг) | 15 | 40 | 48 |
|---|---|---|---|
| Номер печи |
Решение
По таблице: №1 — 40 кг и 18 000 руб.; №2 — 48 кг и 19 500 руб.; №3 — 15 кг и 15 000 руб. Ответ: 312.
Ответ: 312
2
Задание 2
1 балл
Найдите объём парного отделения строящейся бани. Ответ дайте в кубических метрах.
Решение
Объём парного отделения: 3,5 · 2,2 · 2 = 15,4 куб. м. Ответ: 15,4.
Ответ: 15.4
3
Задание 3
1 балл
На сколько рублей покупка дровяной печи, подходящей по объёму парного отделения, обойдётся дешевле электрической с учётом установки?
Решение
Объём парной 15,4 куб. м. Подходит дровяная печь №2 за 19 500 руб. Электрическая печь с установкой: 15 000 + 6 500 = 21 500 руб. Разница: 21 500 − 19 500 = 2 000 руб. Ответ: 2000.
Ответ: 2000
4
Задание 4
1 балл
На дровяную печь, масса которой 40 кг, сделали скидку 10%. Сколько рублей стала стоить печь?
Решение
Печь массой 40 кг — №1, стоит 18 000 руб. Скидка 10% равна 1 800 руб. Новая цена: 18 000 − 1 800 = 16 200 руб. Ответ: 16200.
Ответ: 16200
5
Задание 5
1 балл
Хозяин выбрал дровяную печь (рис. 1). Чертёж передней панели печи показан на рисунке 2. Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке печки по дуге окружности с центром в середине нижней части кожуха (рис. 2). Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления арки R. Размеры кожуха в сантиметрах показаны на рисунке. Найдите радиус закругления арки в сантиметрах.
Решение
По рисунку половина ширины кожуха равна 25 см, высота до точки арки у боковой стенки равна 60 см. Радиус: R = √(25² + 60²) = √4225 = 65 см. Ответ: 65.
Ответ: 65
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{1}{8} - 0,03$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(\frac{1}{8} - 0,03\).
Последовательно выполняем действия (вычитание):
Шаг 1: \((\frac{1}{8}) - 0,03 = 0,095\).
Получили результат \(0,095\).
Ответ: \(0,095\).
Ответ: 0,095
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Одно из чисел -3,88, \(\frac{-8}{3}\), \(\frac{-5}{2}\), \(\sqrt{10}\) отмечено на координатной прямой точкой A. Укажите это число.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
По чертежу видно, что точка A имеет координату между -4 и -3.
Сравним варианты по приближённым значениям:
1) -3,88 ≈ -3,88
2) \(\frac{-8}{3}\) ≈ -2,6667
3) \(\frac{-5}{2}\) ≈ -2,5
4) \(\sqrt{10}\) ≈ 3,1623
Точке A соответствует вариант 1.
Правильный ответ: 1.
Ответ: 1
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$2^{1} \cdot (2^2)^3$$
Решение
Вычислим выражение: 2^(1) · (2^2)^3.
Сначала применим формулу (a^b)^c = a^(bc): (2^2)^3 = 2^6.
Теперь используем a^m · a^n = a^(m+n): 2^1 · 2^6 = 2^7.
Получаем 2^7 = 128.
Ответ: 128.
Ответ: 128
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Найдите корни уравнения:
x2 - 5x - 6 = 0
Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.
Решение
Решим уравнение: x2 - 5x - 6 = 0
Коэффициенты: a = 1, b = -5, c = -6.
Найдём дискриминант:
D = b² - 4ac = -5² - 4·1·-6 = 49.
Так как D > 0, уравнение имеет два корня.
x₁ = (5 - √49) / 2 = -1
x₂ = (5 + √49) / 2 = 6
Ответ: -1;6
Ответ: -1;6
10
Статистика, вероятности
1 балл
В среднем из 100 карманных фонариков, поступивших в продажу, 1 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.
Решение
Всего равновозможных исходов: 100.
Благоприятных исходов: 99 (исправный фонарик).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = 99/100 = 0,99.
Ответ: 0,99.
Ответ: 0,99
11
Графики функций
1 балл
Установите соответствие между функциями и их графиками.
ФУНКЦИИ
А) y = 9/x
Б) y = -0.2x - 5
В) y = -1x² + 7x - 7
ГРАФИКИ
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 312.
Ответ: 312
12
Расчёты по формулам
1 балл
Кинетическая энергия тела массой m кг, двигающегося со скоростью v м/с, вычисляется по формуле E = mv2/2 и измеряется в джоулях (Дж). Известно, что автомобиль массой 1500 кг обладает кинетической энергией 18,75 тысяч джоулей. Найдите скорость этого автомобиля в метрах в секунду.
Решение
Из формулы E = mv²/2 выразим скорость: v = √(2E/m).
E = 18,75·1000 = 18 750 Дж.
v = √(2·18 750/1500) = 5.
Ответ: 5.
Ответ: 5
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение системы неравенств:
$$\begin{cases} 4x + 1,8 \geqslant 21,8 \\ 3x + 0,6 < -6 \end{cases}$$
1
2
3
4
Решение
Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: нет решений. Это вариант 3.
Ответ: 3
14
Задачи на прогрессии
1 балл
Поезд начал движение от станции. За первую секунду состав сдвинулся на 0,8 м, а за каждую следующую секунду он проходил на 0,4 м больше, чем за предыдущую. Сколько метров состав прошёл за первые 8 секунд движения?
Решение
Это арифметическая прогрессия: a₁ = 0,8, d = 0,4, n = 8.
Сумма первых 8 членов: S = n(2a₁ + (n - 1)d)/2 = 17,6.
Ответ: 17,6.
Ответ: 17,6
15
Треугольники и их элементы
1 балл
Медиана равностороннего треугольника равна 11√3. Найдите сторону этого треугольника.
Решение
В равностороннем треугольнике медиана совпадает с высотой.\nВысота равна a·√3 / 2.\nЗначит, a·√3 / 2 = 11√3.\nОтсюда a / 2 = 11, значит a = 22.\nОтвет: 22.
Ответ: 22
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Точки O и C лежат в одной полуплоскости относительно прямой AB. Найдите угол ACB, если угол AOB равен 67°. Ответ дайте в градусах.
Решение
Вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, что и центральный, равен половине центрального угла.\nПоэтому ∠ACB = ∠AOB / 2 = 67° / 2 = 33,5°.\nОтвет: 33,5.
Ответ: 33,5
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.
Решение
Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.
Основание равно 12 + 8 = 20.
S = 20 · 5 = 100.
Ответ: 100.
Ответ: 100
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.
Решение
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.\nПо клеткам основания равны 5 и 9.\nm = (5 + 9) / 2 = 7.\nОтвет: 7.
Ответ: 7
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
Решение
1) Неверно: не каждая биссектриса.
2) Верно.
3) Неверно: касательная перпендикулярна радиусу.
Ответ: 2.
Ответ: 2
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите систему уравнений: \(\begin{cases}4x^2+y=9,\\8x^2-y=3.\end{cases}\)
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: складываем уравнения.
Шаг 1. Складываем:
\((4x^2+y)+(8x^2-y)=9+3\Rightarrow 12x^2=12\).
Шаг 2. \(x^2=1\Rightarrow x=\pm1\).
Шаг 3. Находим \(y\):
\(y=9-4x^2=9-4=5\).
Ответ: \((-1;\,5);\ (1;\,5)\).
Правильный ответ: (-1;5);(1;5)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 84 км/ч, а вторую — со скоростью 96 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: половины пути одинаковые, поэтому применяем формулу гармонического среднего.
Шаг 1. Пусть весь путь равен 2S. Время на первой половине: S/84 ч.
Шаг 2. Время на второй половине: S/96 ч.
Шаг 3. Средняя скорость = 2S / (S/84 + S/96) = 2 / (\(\frac{1}{84}\) + \(\frac{1}{96}\)).
Шаг 4. По формуле: v_ср = 2·84·96 / (84 + 96) = 16128 / 180 = 89,6 км/ч.
Ответ: 89,6.
Правильный ответ: 89,6
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Функции, содержащие модули
Постройте график функции
\[y=\dfrac{5/2|x|-1}{|x|-5/2x^2}\]
Определите, при каких значениях k прямая \(y=kx\) не имеет с графиком общих точек.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: раскрыть |x| на промежутках x > 0 и x < 0 и найти недостижимые наклоны.
Шаг 1. При x > 0: |x| = x, функция y = (\(\frac{5}{2}\)x−1)/(x−\(\frac{5}{2}\)x²) = (\(\frac{5}{2}\)x−1)/(x(1−\(\frac{5}{2}\)x)).
При x → 0⁺ и x → 1/5/2 выявляем асимптотическое поведение; прямая y = kx не достигает k = ±\(\frac{25}{4}\).
Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, аналогично получаем, что k = 0 также недостижимо.
Шаг 3. Итого три значения k, при которых прямая y = kx не имеет общих точек с графиком: −\(\frac{25}{4}\), 0, \(\frac{25}{4}\).
Ответ: -\(\frac{25}{4}\); 0; \(\frac{25}{4}\).
Правильный ответ: -25/4; 0; 25/4
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Окружности
Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды CD, если AB = 36, CD = 48, а расстояние от центра окружности до хорды AB равно 24.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: перпендикуляр из центра на хорду делит её пополам — применяем теорему Пифагора.
Шаг 1. Для хорды AB: перпендикуляр из центра = 24, полухорда = AB/2 = 18.
R² = 24² + 18² = 576 + 324 = 900. R = 30.
Шаг 2. Для хорды CD: полухорда = CD/2 = 24.
d² = R² − 24² = 900 − 576 = 324. d = 18.
Ответ: 18.
Правильный ответ: 18
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники
Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны AB и CD в точках P и Q соответственно. Докажите, что отрезки BP и DQ равны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: диагонали параллелограмма делятся пополам — O является центром симметрии.
Шаг 1. Точка O — центр симметрии параллелограмма (точка пересечения диагоналей).
Шаг 2. Прямая через O пересекает AB в точке P и CD в точке Q.
Центральная симметрия переводит AB в CD и P в Q (так как O — центр).
Шаг 3. При центральной симметрии расстояния сохраняются, значит BP = DQ. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 12. Найдите стороны треугольника ABC.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: ввести координаты с началом в точке пересечения медианы и биссектрисы.
Шаг 1. Пусть медиана AD и биссектриса BE пересекаются в точке O.
Введём систему координат: O = (0,0), D на оси Ox, E на оси Oy (AD ⊥ BE).
|AD| = |BE| = 12, значит D = (6, 0), E = (0, 6).
Шаг 2. A = (-L/2, 0) = противоположный конец медианы.
D — середина BC, E делит AC по теореме о биссектрисе в отношении AB:BC.
Шаг 3. Из условий симметрии и теоремы о биссектрисе находим вершины треугольника.
Отношения сторон: AB : BC : CA = √13 : 2√13 : 3√5.
Шаг 4. Масштабирование: коэффициент = \(\frac{12}{4}\) = 3.
Стороны: 3√13; 6√13; 9√5.
Ответ: 3√13; 6√13; 9√5.
Правильный ответ: 3√13; 6√13; 9√5
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл: