Загрузка заданий...

Вариант 54 — ОГЭ по математике

Реши задания, а в конце нажми “Проверить экзамен”. Решение можно открыть у отдельного задания, если нужно разобрать ход решения.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 07.06.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

На плане изображён дачный участок по адресу: п. Сосновка, ул. Зелёная, д. 19.

Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота. При входе на участок слева от ворот находится гараж. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв. м, а чуть подальше — жилой дом.

Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки. Также на участке есть баня, к которой ведёт дорожка, выложенная плиткой, и огород с теплицей внутри. Огород отмечен на плане цифрой 6. Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1 м × 1 м. Между гаражом и сараем находится площадка, вымощенная такой же плиткой. К участку подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.

1 Задание 1 1 балл

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без дополнительных символов.

Объекты	жилой дом	яблони	теплица	гараж
Цифры

Решение

Сопоставляем описание объектов и их расположение на плане: жилой дом — 7, яблони — 3, теплица — 5, гараж — 2.

В таблице объекты стоят в порядке: жилой дом, яблони, теплица, гараж.

Получаем последовательность: 7352.

Ответ: 7352

2 Задание 2 1 балл

Плитки для садовых дорожек продаются в упаковках по 6 штук. Сколько упаковок плиток понадобилось, чтобы выложить все дорожки?

Решение

На все дорожки нужно 28 плиток.

В одной упаковке 6 плиток, поэтому потребуется ⌈28 / 6⌉ = 5 упаковок.

Ответ: 5.

Ответ: 5

3 Задание 3 1 балл

Найдите площадь, которую занимает баня. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение

Баня занимает 9 клеток. Площадь одной клетки равна 2 · 2 = 4 кв. м. Значит площадь бани: 9 · 4 = 36 кв. м.

Ответ: 36.

Ответ: 36

4 Задание 4 1 балл

На сколько процентов площадь, которую занимает теплица, меньше площади, которую занимает гараж?

Решение

Разность площадей: 48 - 12 = 36. Сравниваем с площадью гаража: (48 - 12) / 48 · 100% = 75%.

Ответ: 75.

Ответ: 75

5 Задание 5 1 балл

	Нагреватель (котёл)	Прочее оборудование и монтаж	Средн. расход газа / средн. мощность	Стоимость газа / электроэнергии
Газовое отопление	25 000 руб.	17 552 руб.	1,3 куб. м/ч	5,2 руб./куб. м
Электр. отопление	21 000 руб.	15 000 руб.	5,2 кВт	4,1 руб./(кВт·ч)

Хозяин участка планирует установить в жилом доме систему отопления. Он рассматривает два варианта: электрическое или газовое отопление. Цены на оборудование и стоимость его установки, данные о расходе газа, электроэнергии и их стоимости даны в таблице. Обдумав оба варианта, хозяин решил установить газовое отопление. Через сколько часов непрерывной работы отопления экономия от использования газа вместо электричества компенсирует разницу в стоимости покупки и установки газового и электрического оборудования?

Решение

Начальные расходы на газовое отопление: 42552 руб.

Начальные расходы на электрическое отопление: 36000 руб.

Разница в начальных расходах: 42552 - 36000 = 6552 руб.

Почасовая стоимость газового отопления: 1,3 · 5,2 = 6,76 руб./ч.

Почасовая стоимость электрического отопления: 5,2 · 4,1 = 21,32 руб./ч.

Экономия за час: 21,32 - 6,76 = 14,56 руб./ч.

Ищем время окупаемости: 6552 / 14,56 = 450.

Ответ: 450.

Ответ: 450

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$0,075 : 0,075 \cdot 30$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $0,075 : 0,075 \cdot 30$.

Последовательно выполняем действия (деление, умножение):

Шаг 1: $(0,075) : 0,075 = 1$.

Шаг 2: $(1) \cdot 30 = 30$.

Ответ: $30$.

Ответ: 30

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какое из следующих чисел заключено между числами -1,51 и -1,14?
В ответе укажите номер правильного варианта.

-0,5

1,79

$-\frac{5}{8}$

-1,16

Решение

Сравним числа -1,51 и -1,14. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.

Проверяем варианты и получаем, что только вариант 4 (-1,16) лежит между этими числами.

Ответ: 4

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{11} - 5)(\sqrt{11} + 5)$$

Решение

Вычислим выражение: (√11 - 5)(√11 + 5).

Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².

Тогда (√11)² - 5² = 11 - 25 = -14.

Ответ: -14.

Ответ: -14

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Найдите корни уравнения: x² + 4x + 4 = 0 Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.

Решение

Решим уравнение: x² + 4x + 4 = 0

Коэффициенты: a = 1, b = 4, c = 4.

Найдём дискриминант:

D = b² - 4ac = 4² - 4·1·4 = 0.

Так как D = 0, уравнение имеет один корень.

x = -4 / 2 = -2

Ответ: -2

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображено дерево случайного опыта. Найдите вероятность события $B$.

Решение

Событие $B$ наступает по двум несовместным ветвям: через $A$ и через $\overline{A}$.

$$P(B)=P(A)\\cdot P(B|A)+P(\\overline{A})\\cdot P(B|\\overline{A})=0.25\\cdot0.8+0.75\\cdot0.9=0,875$.$

Ответ: 0,875

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между знаками коэффициентов k и b и графиками функций.

Коэффициенты

А) k > 0, b > 0

Б) k < 0, b < 0

В) k > 0, b < 0

Графики

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Смотрим на наклон прямой и точку пересечения с осью Oy. Возрастание даёт знак k, положение пересечения с осью Oy даёт знак b. Ответ: 213.

Ответ: 213

12 Расчёты по формулам 1 балл

Перевести значение температуры по шкале Фаренгейта в шкалу Цельсия позволяет формула t_C = 5(t_F − 32)/9, где t_C – температура в градусах Цельсия, t_F – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Цельсия соответствует -103 градусов по шкале Фаренгейта?

Решение

Подставим t_F = -103 в формулу t_C = 5(t_F − 32)/9.

t_C = 5·(-103 − 32)/9 = -75.

Ответ: -75.

Ответ: -75

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства:

(x + 3)(x - 6) < 0

Решение

Нули выражения: x = -3 и x = 6. На числовой прямой отмечаем точки -3 и 6 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 3)(x - 6) < 0 получаем решение (-3;6). Это вариант 2.

Ответ: 2

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В амфитеатре 21 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В седьмом ряду 26 мест, а в десятом ряду 32 мест. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

Решение

Ряды образуют арифметическую прогрессию.

Разность прогрессии: d = (32 - 26) / (10 - 7) = 2.

Тогда первый ряд: a₁ = a7 - (7 - 1)·d = 26 - 6·2 = 14.

Последний ряд: a21 = a₁ + (21 - 1)·d = 14 + 20·2 = 54.

Ответ: 54.

Ответ: 54

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 16, AB = 40. Найдите sin B.

Решение

В прямоугольном треугольнике sin острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.\nДля угла B противолежащий катет — AC, гипотенуза — AB.\nsin B = AC / AB = $\frac{16}{40}$ = 0,4.\nОтвет: 0,4.

Ответ: 0,4

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 40.

Решение

Если квадрат описан около окружности, то сторона квадрата равна диаметру окружности.\na = 2r = 2 · 40 = 80.\nS = a² = 80² = 6400.\nОтвет: 6400.

Ответ: 6400

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Площадь параллелограмма равна 36, а две его стороны равны 6 и 12. Найдите его высоты. В ответе укажите большую высоту.

Решение

Высоты к сторонам a и b находятся из формул S = a·h₁ и S = b·h₂.\nh₁ = 36 / 6 = 6, h₂ = 36 / 12 = 3.\nТребуемая высота равна 6.\nОтвет: 6.

Ответ: 6

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.

Решение

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.\nПо клеткам основания равны 2 и 8.\nm = (2 + 8) / 2 = 5.\nОтвет: 5.

Ответ: 5

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Существуют три прямые, которые проходят через одну точку.

Боковые стороны любой трапеции равны.

Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусам.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

1) Верно.

2) Неверно.

3) Верно.

Ответ: 13.

Ответ: 13

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите уравнение: $(x+2)^4+(x+2)^2-12=0$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: замена $t=(x+2)^2\ge0$.

Шаг 1. После замены:

$t^2+t-12=0$.

Шаг 2. Разложим: $(t+4)(t-3)=0$.

Корни: $t_1=-4$, $t_2=3$.

Шаг 3. Берём только $t=3$ (так как $t\ge0$).

Шаг 4. Решаем $(x+2)^2=3$:

$x+2=\pm\sqrt{3}\Rightarrow x=-2\pm\sqrt{3}$.

Ответ: $-2-\sqrt{3};\quad -2+\sqrt{3}$.

Правильный ответ: -2-√3;-2+√3

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Первые 160 км автомобиль ехал со скоростью 80 км/ч, следующие 100 км — со скоростью 50 км/ч, а последние 360 км — со скоростью 90 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: средняя скорость = весь путь / всё время.

Шаг 1. Считаем время на каждом участке (t = S/v):

t₁ = 160/80 = 2 ч,

t₂ = 100/50 = 2 ч,

t₃ = 360/90 = 4 ч.

Шаг 2. Общее расстояние: 160 + 100 + 360 = 620 км.

Шаг 3. Общее время: 2 + 2 + 4 = 8 ч.

Шаг 4. Средняя скорость: 620 / 8 = 77,5 км/ч.

Ответ: 77,5.

Правильный ответ: 77,5

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Функции, содержащие модули

Постройте график функции

\[y=\dfrac{(1/2x^2+2x)|x|}{x+4}\]

Определите, при каких значениях m прямая $y=m$ не имеет с графиком ни одной общей точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: сократить общий множитель в числителе и знаменателе, учитывая исключённую точку.

Шаг 1. Числитель: ($\frac{1}{2}$x² + 2x)|x| = $\frac{1}{2}$x(x+4)|x|.

Знаменатель: x + 4.

Шаг 2. При x ≠ −4 сокращаем (x+4): y = $\frac{1}{2}$x|x|.

Шаг 3. Но x = −4 исключена из ОДЗ (знаменатель = 0).

«Пропущенное» значение: y = $\frac{1}{2}$·(−4)·|−4| = $\frac{1}{2}$·(−4)·4 = -8.

Шаг 4. Прямая y = -8 проходит через выколотую точку — общих точек с графиком нет.

Ответ: -8.

Правильный ответ: -8

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Треугольники

Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 18 и 82. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: найти второй катет, затем использовать равенство площадей для нахождения высоты.

Шаг 1. Второй катет: √(82² − 18²) = √6400 = 80.

Шаг 2. Площадь треугольника через два катета: S = 18·$\frac{80}{2}$ = 720.

Шаг 3. Площадь через гипотенузу 82 и высоту h к ней: S = 82·h/2.

Шаг 4. Из равенства площадей: h = 18·$\frac{80}{82}$ = 720/41.

Ответ: 720/41.

Правильный ответ: 720/41

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Окружности

Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AD и BC четырёхугольника пересекаются в точке K. Докажите, что треугольники KAB и KCD подобны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: использовать равенство вписанных углов на одну дугу в ABCD.

Шаг 1. ABCD — вписанный четырёхугольник; ∠CAD = ∠CBD (на дугу CD).

Шаг 2. ∠KAB = ∠KCD: опираются на дугу AB (как вписанные углы).

Шаг 3. ∠KBA = ∠KDC: опираются на дугу BC.

Шаг 4. По двум равным углам △KAB ∼ △KCD. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 180, а площадь равна 1620, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: использовать свойства касательной трапеции и подобие треугольников, образованных диагоналями.

Шаг 1. Вписанная окружность в трапецию: a + b = 2l (сумма оснований = сумма боковых сторон).

P = 2(a+b) = 180 ⟹ a+b = 90.

Шаг 2. Высота: S = (a+b)·h/2 ⟹ h = 2S/(a+b) = 2·1620/90 = 36.

Шаг 3. Находим основания. Для равнобедренной касательной трапеции:

Из системы a+b=90 и пифагорова прямоугольного треугольника с высотой h=36:

a = 18, b = 72.

Шаг 4. Диагонали трапеции пересекаются в точке O, делящей высоту в отношении a:b.

Расстояние от O до меньшего основания = h·a/(a+b) = 36·$\frac{18}{90}$ = 7,2.

Ответ: 7,2.

Правильный ответ: 7,2

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2