Загрузка заданий...
Вариант 58 — ОГЭ по математике
Реши задания, а в конце нажми “Проверить экзамен”. Решение можно открыть у отдельного задания, если нужно разобрать ход решения.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 07.06.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой A и цифрой: A0, A1, A2 и так далее. Лист формата A0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 кв. м. Если лист формата A0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получается два равных листа формата A1. Если лист A1 разрезать так же пополам, получается два листа формата A2. И так далее.
Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это сделано специально для того, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при уменьшении или увеличении шрифта при изменении формата листа.
1
Задание 1
1 балл
Установите соответствие между форматами и номерами листов. В ответ запишите последовательность четырёх цифр для форматов A2, A3, A5 и A6.
В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы A2, A3, A5, A6.
| Номер листа | Длина (мм) | Ширина (мм) |
|---|---|---|
| 1 | 210 | 148 |
| 2 | 594 | 420 |
| 3 | 148 | 105 |
| 4 | 420 | 297 |
Решение
A2 имеет размеры 594 × 420 мм — это лист №2. A3: 420 × 297 мм — №4. A5: 210 × 148 мм — №1. A6: 148 × 105 мм — №3. Ответ: 2413.
Ответ: 2413
2
Задание 2
1 балл
Сколько листов формата A3 получится из одного листа формата A2?
Решение
При переходе от формата A2 к формату A3 лист разрезают пополам, поэтому из одного A2 получается 2 листа A3. Ответ: 2.
Ответ: 2
3
Задание 3
1 балл
Найдите площадь листа формата A3. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение
Размер A3: 420 × 297 мм. Площадь равна 420 · 297 = 124740 мм². Так как 1 см² = 100 мм², получаем 124740 : 100 = 1247,4 см². Ответ: 1247,4.
Ответ: 1247.4
4
Задание 4
1 балл
Найдите длину листа бумаги формата A1. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.
Решение
Формат A1 имеет размеры примерно 841 × 594 мм. Длина листа A1 равна 841 мм. Округляем до ближайшего числа, кратного 10: 840. Ответ: 840.
Ответ: 840
5
Задание 5
1 балл
Бумагу формата A5 упаковали в пачки по 500 листов. Найдите массу пачки, если масса бумаги площади 1 кв. м равна 80 г. Ответ дайте в граммах.
Решение
Площадь листа A5 равна \(\frac{1}{32}\) м². Масса одного листа: 80 : 32 = 2,5 г. В пачке 500 листов, значит масса пачки 2,5 · 500 = 1250 г. Ответ: 1250.
Ответ: 1250
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{1}{2} : \frac{8}{7}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(\frac{1}{2} : \frac{8}{7}\).
Последовательно выполняем действия (деление):
Шаг 1: \((\frac{1}{2}) : \frac{8}{7} = \frac{7}{16}\).
Получили дробь \(\frac{7}{16}\).
Эта дробь равна конечной десятичной дроби \(0,4375\).
Ответ: \(0,4375\).
Ответ: 0,4375
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Одно из чисел -3,7, -3,149, \(\frac{55}{14}\), \(\sqrt{20}\) отмечено на координатной прямой точкой A. Укажите это число.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
По чертежу видно, что точка A имеет координату между 3 и 4.
Сравним варианты по приближённым значениям:
1) -3,7 ≈ -3,7
2) -3,149 ≈ -3,149
3) \(\frac{55}{14}\) ≈ 3,9286
4) \(\sqrt{20}\) ≈ 4,4721
Точке A соответствует вариант 3.
Правильный ответ: 3.
Ответ: 3
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$(\sqrt{44} + \sqrt{176})\sqrt{11}$$
Решение
Вычислим выражение: (√44 + √176)·√11.
Вынесем полные квадраты из-под корня: √44 = 2√11, √176 = 4√11.
Тогда получаем (2√11 + 4√11)·√11 = 6√11·√11.
Так как √11·√11 = 11, имеем 6·11 = 66.
Ответ: 66.
Ответ: 66
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите уравнение: $$\frac{-5}{x + 4} = -1$$
Решение
Решим уравнение: -5/(x + 4) = -1
Область допустимых значений: x != -4.
Умножим обе части уравнения на x + 4:
-5 = -1(x + 4)
Раскроем скобки:
-5 = -1x - 4
Перенесём число в левую часть:
-1 = -1x
x = -1 / -1
x = 1
Проверка ОДЗ: x = 1, x != -4, условие выполняется.
Ответ: 1
Ответ: 1
10
Статистика, вероятности
1 балл
У бабушки 40 чашек: 34 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.
Решение
Всего равновозможных исходов: 40.
Благоприятных исходов: 6 (чашка с синими цветами).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{6}{40}\) = 0,15.
Ответ: 0,15.
Ответ: 0,15
11
Графики функций
1 балл
Установите соответствие между функциями и их графиками.
Функции
А) y = 3x + 3
Б) y = 2x + 4
В) y = 3x + 4
Графики
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Сопоставляем наклон и точку пересечения с осью Oy для каждой формулы. Ответ: 312.
Ответ: 312
12
Расчёты по формулам
1 балл
Энергия заряженного конденсатора W (в джоулях) вычисляется по формуле W = CU2/2, где C — ёмкость конденсатора (в фарадах), а U — разность потенциалов на обкладках конденсатора (в вольтах). Найдите энергию конденсатора ёмкостью 0,0001 фарад, если разность потенциалов на обкладках конденсатора равна 50 вольт. Ответ дайте в джоулях.
Решение
Подставим C = 0,0001 и U = 50 в формулу W = CU²/2.
W = 0,0001·50² / 2 = 0,125.
Ответ: 0,125.
Ответ: 0,125
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение системы неравенств:
$$\begin{cases} 1,8 − 2x \leqslant 17,8 \\ 4x − 2,4 > -30,4 \end{cases}$$
Решение
Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: (-7;+∞). Это вариант 1.
Ответ: 1
14
Задачи на прогрессии
1 балл
Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 4,5 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в три раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 10 см?
Решение
Высоты прыжков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 4,5 м, q = \(\frac{1}{3}\).
Пороговая высота равна 10 см = 0,1 м.
После 4-го прыжка высота ещё не меньше порога, а после 5-го прыжка уже меньше.
Ответ: 5.
Ответ: 5
15
Треугольники и их элементы
1 балл
Сторона треугольника равна 29, а высота, проведённая к этой стороне, равна 22. Найдите площадь этого треугольника.
Решение
Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведённую к этой стороне.\nS = \(\frac{1}{2}\) · 29 · 22 = 638/2 = 319.\nОтвет: 319.
Ответ: 319
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 112°, угол CAD равен 83°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
Решение
Углы CAD и CBD опираются на одну и ту же дугу CD, значит ∠CBD = ∠CAD.\nСледовательно, ∠CBD = 83°.\nЛуч BD делит угол ABC на углы ABD и DBC.\nПоэтому ∠ABD = ∠ABC - ∠CBD = 112° - 83° = 29°.\nОтвет: 29.
Ответ: 29
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Найдите острый угол параллелограмма ABCD, если биссектриса угла A образует со стороной BC угол, равный 15°. Ответ дайте в градусах.
Решение
Так как BC ∥ AD, угол между биссектрисой угла A и стороной BC равен углу между этой биссектрисой и AD.\nБиссектриса делит угол A пополам.\nСледовательно, острый угол параллелограмма равен 2 · 15° = 30°.\nОтвет: 30.
Ответ: 30
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена фигура. Найдите длину отрезка AB по данным чертежа.
Решение
A и B — точки пересечения горизонтальной прямой со сторонами фигуры.\nНа уровне y=4: t=(8−4)/(8−2)=\(\frac{2}{3}\). x_A=1+\(\frac{2}{3}\)·3=3, x_B=4+\(\frac{1}{3}\)·3=5. AB=5−3=2.\nОтвет: 2.
Ответ: 2
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какие из следующих утверждений верны?
Решение
1) Верно: по определению окружности.
2) Неверно: площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.
3) Верно: 1 + 2 < 4, не выполняется неравенство треугольника.
Ответ: 13.
Ответ: 13
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите неравенство: \(\frac{-16}{(x+2)^2-5}\ge 0\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: числитель \(-16<0\), дробь \(\ge0\) только при отрицательном знаменателе.
Шаг 1. Условие: \((x+2)^2-5<0\).
Шаг 2. \((x+2)^2<5\).
Шаг 3. \(-\sqrt{5}<x+2<\sqrt{5}\).
Шаг 4. Вычитаем 2: \(-2-\sqrt{5}<x<-2+\sqrt{5}\).
Ответ: \((-2-\sqrt{5};\; -2+\sqrt{5})\).
Правильный ответ: (-2-√5;-2+√5)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Баржа прошла по течению реки 48 км и, повернув обратно, прошла ещё 42 км, затратив на весь путь 5 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: скорость по течению = v + u, против = v − u; сумма времён двух участков = total.
Шаг 1. Пусть собственная скорость баржи равна x км/ч.
По течению: x + 5. Против течения: x − 5.
Шаг 2. Составляем уравнение на суммарное время:
48/(x + 5) + 42/(x − 5) = 5.
Шаг 3. Умножаем на (x+5)(x−5) = x²−25:
48(x−5) + 42(x+5) = 5(x²−25).
Шаг 4. Раскрываем и группируем: квадратное уравнение относительно x.
Шаг 5. Решение (положительный корень): x = 19.
Шаг 6. Проверка: \(\frac{48}{24}\) = 2 ч, \(\frac{42}{14}\) = 3 ч, сумма 5 ч. ✓
Ответ: 19.
Правильный ответ: 19
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \( y=\dfrac{6x+7}{6x^2+7x} \). Определите, при каких значениях k прямая \( y=kx \) имеет с графиком ровно одну общую точку.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Вынесем x в знаменателе и сократим одинаковый множитель в числителе и знаменателе.
Получаем график функции \( y=\frac1x \), но с выколотой точкой при \( x=-7/6 \).
Пересечение с прямой \( y=kx \) задаётся уравнением \( \frac1x = kx \), то есть \( x^2=\frac1k \).
Обычно при \( k>0 \) получаются две точки пересечения. Ровно одна общая точка будет тогда, когда одна из них совпадёт с выколотой точкой.
Это происходит при \( x=-7/6 \), откуда \( k=36/49 \).
Ответ: \(\frac{36}{49}\).
Правильный ответ: 36/49
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Окружности
Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды CD, если AB = 36, CD = 48, а расстояние от центра окружности до хорды AB равно 24.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: перпендикуляр из центра на хорду делит её пополам — применяем теорему Пифагора.
Шаг 1. Для хорды AB: перпендикуляр из центра = 24, полухорда = AB/2 = 18.
R² = 24² + 18² = 576 + 324 = 900. R = 30.
Шаг 2. Для хорды CD: полухорда = CD/2 = 24.
d² = R² − 24² = 900 − 576 = 324. d = 18.
Ответ: 18.
Правильный ответ: 18
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники
В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы ABD и ACD равны. Докажите, что углы DAC и DBC также равны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: из равенства вписанных углов вывести цикличность четырёхугольника.
Шаг 1. Углы ABD и ACD опираются на хорду AD и равны по условию.
По обратной теореме о вписанном угле ABCD — вписанный четырёхугольник.
Шаг 2. Углы DAC и DBC опираются на хорду DC.
Как вписанные углы на одну дугу, они равны. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 39 и CD = 6 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём ∠AKB = 60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: угол между диагоналями вписанного четырёхугольника = полусумма дуг.
Шаг 1. Диагонали пересекаются в K. ∠AKB = 60°.
По свойству вписанного угла: ∠AKB = (дуга AB + дуга CD) / 2.
⟹ дуга AB + дуга CD = 120°.
Шаг 2. Обозначим центральные углы: ∠AOB = 2α, ∠COD = 2β (O — центр).
α + β = 60°.
Шаг 3. По теореме синусов: AB = 2R·sin α, CD = 2R·sin β.
AB² + CD² + 2·AB·CD·cos(∠...) = ... — используем формулу для суммы квадратов хорд.
Шаг 4. AB² + CD² = 4R²(sin²α + sin²β).
При α + β = 60°: sin²α + sin²β = 1 − cos(α+β)·cos(α−β) + ... → проверяем числово.
AB² + CD² + AB·CD = 3R² (формула для угла 60°).
Шаг 5. 39² + 6² + 39·6 = 3R².
1791 = 3R² ⟹ R² = 1791/3.
R = √597.
Ответ: √597.
Правильный ответ: √597
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл: