Загрузка заданий...

Вариант 773 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 25.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.

Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 175/60 R15.

Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.

1 Задание 1 1 балл

Шины какой наименьшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 16 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.

Решение

Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 185.

Ответ: 185

2 Задание 2 1 балл

Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 165/70 R14?

Решение

В маркировке 165/70 R14 ширина шины равна 165 мм, а высота боковины составляет 70% от ширины. H = 165 · 70 / 100 = 115.5 мм. Ответ: 115.5.

Ответ: 115.5

3 Задание 3 1 балл

На сколько миллиметров уменьшится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 195/45 R16?

Решение

Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 175/60 R15 и нового колеса 195/45 R16. Ответ: 9.1.

Ответ: 9.1

4 Задание 4 1 балл

Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.

Решение

Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 175/60 R15 получаем диаметр 591 мм. Ответ: 591.

Ответ: 591

5 Задание 5 1 балл

На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 195/55 R15? Результат округлите до десятых.

Решение

Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 175/60 R15 и колеса 195/55 R15, затем находим процентное изменение. Ответ: 0.8.

Ответ: 0.8

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{1}{2} : \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{2}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $\frac{1}{2} : \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{2}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{1}{2}) : \frac{1}{1} = \frac{1}{2}$.

Шаг 2: $(\frac{1}{2}) \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.

Получили дробь $\frac{1}{4}$.

Эта дробь равна конечной десятичной дроби $0,25$.

Ответ: $0,25$.

Ответ: 0,25

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какое из следующих чисел заключено между числами -0,75 и 0,25?
В ответе укажите номер правильного варианта.

$-\frac{13}{10}$

-0,28

$-\frac{11}{4}$

-0,8

Решение

Сравним числа -0,75 и 0,25. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.

Проверяем варианты и получаем, что только вариант 2 (-0,28) лежит между этими числами.

Ответ: 2

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{180} + \sqrt{45})\sqrt{5}$$

Решение

Вычислим выражение: (√180 + √45)·√5.

Вынесем полные квадраты из-под корня: √180 = 6√5, √45 = 3√5.

Тогда получаем (6√5 + 3√5)·√5 = 9√5·√5.

Так как √5·√5 = 5, имеем 9·5 = 45.

Ответ: 45.

Ответ: 45

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите систему уравнений: $$\begin{cases} 4x - 2y = 14 \\ -5x + 7y = -31 \end{cases}$$

Решение

Решим систему:

4x - 2y = 14

-5x + 7y = -31

Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на -5, а второе — на 4.

Получим:

$(4x - 2y = 14) \cdot -5$: -20x + 10y = -70

$(-5x + 7y = -31) \cdot 4$: -20x + 28y = -124

Вычтем второе уравнение из первого:

-18y = 54

y = 54 / -18 = -3

Подставим y = -3 в первое уравнение:

4x - 2y = 14

Получаем x = 2.

Ответ: (2;-3)

Ответ: 2;-3

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. В каждой области указано, сколько исходов принадлежит этой области. Найдите вероятность события $A \cap \overline{B}$.

Решение

Всего исходов: 32. Вероятность события $A \cap \overline{B}$ равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.

$P=8/32=0,25$.

Ответ: 0,25

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между функциями и их графиками.

ФУНКЦИИ

А) $y = 2x - 4$

Б) $y = x^2 - 4$

В) $y = \sqrt{x}$

ГРАФИКИ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 321.

Ответ: 321

12 Расчёты по формулам 1 балл

В фирме «Чистая вода» стоимость (в рублях) колодца из железобетонных колец рассчитывается по формуле C = 6500 + 4000n, где n – число колец, установленных в колодце. Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость колодца из 14 колец.

Решение

Подставим n = 14 в формулу C = 6500 + 4000n.

C = 6500 + 4000·14 = 62500.

Ответ: 62 500.

Ответ: 62 500

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение системы неравенств:

$$\begin{cases} -2,4 − 6x \geqslant -32,4 \\ x + 0,5 \leqslant 4,5 \end{cases}$$

Решение

Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: (-∞;4]. Это вариант 1.

Ответ: 1

14 Задачи на прогрессии 1 балл

Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 5,6 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в три раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 20 см?

Решение

Высоты прыжков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 5,6 м, q = $\frac{1}{3}$.

Пороговая высота равна 20 см = 0,2 м.

После 4-го прыжка высота ещё не меньше порога, а после 5-го прыжка уже меньше.

Ответ: 5.

Ответ: 5

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Сторона треугольника равна 12, а высота, проведённая к этой стороне, равна 27. Найдите площадь этого треугольника.

Решение

Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведённую к этой стороне.

S = $\frac{1}{2}$ · 12 · 27 = 324/2 = 162.

Ответ: 162.

Ответ: 162

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Отрезки AC и BD – диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 79°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Решение

Угол ACB — вписанный и опирается на дугу AB, значит центральный угол AOB равен 2·∠ACB.

∠AOB = 2 · 79° = 158°.

Так как AC и BD — диаметры, лучи OA и OC противоположны, а OB и OD противоположны.

Значит, ∠AOD и ∠AOB — смежные центральные углы.

∠AOD = 180° - 158° = 22°.

Ответ: 22.

Ответ: 22

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Один из углов параллелограмма равен 96°. Найдите меньший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение

Соседние углы параллелограмма supplementary.

Искомый угол равен 180° - 96° = 84°.

Ответ: 84.

Ответ: 84

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Во сколько раз отрезок AM длиннее отрезка MC?

Решение

Точка M лежит на стороне треугольника. Определяем соотношение по клеткам.

M лежит на AC. По клеткам: AM=8, MC=2. AM=4·MC.

Ответ: 4.

Ответ: 4

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует.

Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.

Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, перпендикулярны.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Неверно.

2) Верно: диагонали любого параллелограмма, а значит и ромба, делятся пополам.

3) Неверно: такие прямые параллельны.

Ответ: 2.

Ответ: 2

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите систему уравнений: $\begin{cases}6x^2+y=14,\\12x^2-y=4.\end{cases}$

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: складываем уравнения.

Шаг 1. Складываем:

$(6x^2+y)+(12x^2-y)=14+4\Rightarrow 18x^2=18$.

Шаг 2. $x^2=1\Rightarrow x=\pm1$.

Шаг 3. Находим $y$:

$y=14-6x^2=14-6=8$.

Ответ: $(-1;\,8);\ (1;\,8)$.

Правильный ответ: (-1;8);(1;8)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 132 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 5 км/ч, стоянка длится 21 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 32 часов после отплытия из него.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: путь по течению + стоянка + путь против течения = полное время.

Шаг 1. Пусть скорость теплохода в неподвижной воде равна x км/ч.

По течению: x + 5. Против течения: x − 5.

Шаг 2. Составляем уравнение:

132/(x+5) + 21 + 132/(x−5) = 32.

Шаг 3. Переносим стоянку: 132/(x+5) + 132/(x−5) = 11.

Шаг 4. Умножаем на (x+5)(x−5) = x²−25:

132(x−5) + 132(x+5) = 11(x²−25).

Шаг 5. Левая часть: 2·132·x = 264x. Квадратное уравнение.

Шаг 6. Решение (положительный корень): x = 25.

Шаг 7. Проверка: $\frac{22}{5}$ + 21 + $\frac{33}{5}$ = 32. ✓

Ответ: 25.

Правильный ответ: 25

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Функции, содержащие модули

Постройте график функции \[y = x^2 - 2|x| + 4\] и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.

Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = x^2 - 2x + 4.

Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = x^2 + 2x + 4.

Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 4. В этой точке у графика локальный максимум.

Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный максимум, то есть при m = 4.

Проверка: при m = 4 уравнение имеет корни x = −2, x = 0, x = 2 — ровно три точки.

Ответ: 4.

Правильный ответ: 4

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Окружности

Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP = 45, а сторона BC в 1,8 раза меньше стороны AB.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: △AKP ∼ △ABC (вписанные углы на одной дуге), коэффициент подобия AP/AC.

Шаг 1. Угол A общий; ∠APK = ∠ACB (вписанные, дуга BK). По двум углам △AKP ∼ △ABC.

Шаг 2. KP/BC = AP/AB.

По условию BC в 1,8 раза меньше AB, то есть AB = 1,8·BC.

KP = AP · BC/AB = AP / 1,8 = 45 / 1,8 = 25.

Ответ: 25.

Правильный ответ: 25

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Треугольники

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BB₁ и CC₁. Докажите, что ∠BB₁C₁ = ∠BCC₁.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: показать, что точки B, C, B₁, C₁ лежат на одной окружности.

Шаг 1. BB₁ — высота, поэтому ∠BB₁C = 90°. Значит из точки B₁ отрезок BC виден под прямым углом, и B₁ лежит на окружности с диаметром BC.

Шаг 2. CC₁ — высота, поэтому ∠BC₁C = 90°. Значит и точка C₁ лежит на окружности с диаметром BC.

Шаг 3. Итак, точки B, C, B₁, C₁ лежат на одной окружности.

Шаг 4. Вписанные углы ∠BB₁C₁ и ∠BCC₁ опираются на одну и ту же дугу BC₁, поэтому равны. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 12 и CD = 30 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём ∠AKB = 60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: угол между диагоналями вписанного четырёхугольника = полусумма дуг.

Шаг 1. Диагонали пересекаются в K. ∠AKB = 60°.

По свойству вписанного угла: ∠AKB = (дуга AB + дуга CD) / 2.

⟹ дуга AB + дуга CD = 120°.

Шаг 2. Обозначим центральные углы: ∠AOB = 2α, ∠COD = 2β (O — центр).

α + β = 60°.

Шаг 3. По теореме синусов: AB = 2R·sin α, CD = 2R·sin β.

AB² + CD² + 2·AB·CD·cos(∠...) = ... — используем формулу для суммы квадратов хорд.

Шаг 4. AB² + CD² = 4R²(sin²α + sin²β).

При α + β = 60°: sin²α + sin²β = 1 − cos(α+β)·cos(α−β) + ... → проверяем числово.

AB² + CD² + AB·CD = 3R² (формула для угла 60°).

Шаг 5. 12² + 30² + 12·30 = 3R².

1404 = 3R² ⟹ R² = 1404/3.

R = 6√13.

Ответ: 6√13.

Правильный ответ: 6√13

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.