Загрузка заданий...

Вариант 782 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 25.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой A и цифрой: A0, A1, A2 и так далее. Лист формата A0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 кв. м. Если лист формата A0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получается два равных листа формата A1. Если лист A1 разрезать так же пополам, получается два листа формата A2. И так далее.

Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это сделано специально для того, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при уменьшении или увеличении шрифта при изменении формата листа.

1 Задание 1 1 балл

Установите соответствие между форматами и номерами листов. В ответ запишите последовательность четырёх цифр для форматов A0, A2, A3 и A5.

В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы A0, A2, A3, A5.

Номер листа	Длина (мм)	Ширина (мм)
1	594	420
2	420	297
3	1189	841
4	210	148

Решение

A0 — 1189 × 841 мм, это №3. A2 — 594 × 420 мм, это №1. A3 — 420 × 297 мм, это №2. A5 — 210 × 148 мм, это №4. Ответ: 3124.

Ответ: 3124

2 Задание 2 1 балл

Сколько листов формата A4 получится из одного листа формата A1?

Решение

Из A1 получают 2 листа A2, из каждого A2 — 2 листа A3, из каждого A3 — 2 листа A4. Всего 2 · 2 · 2 = 8 листов A4. Ответ: 8.

Ответ: 8

3 Задание 3 1 балл

Найдите ширину листа бумаги формата A4. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.

Решение

Формат A4 имеет размеры 297 × 210 мм. Ширина равна 210 мм, округление не меняет значение. Ответ: 210.

Ответ: 210

4 Задание 4 1 балл

Найдите отношение длины большей стороны листа формата A1 к меньшей. Ответ округлите до десятых.

Решение

Формат A1 имеет размеры примерно 841 × 594 мм. Отношение большей стороны к меньшей: 841 : 594 ≈ 1,416. Округляем до десятых: 1,4. Ответ: 1,4.

Ответ: 1.4

5 Задание 5 1 балл

Размер типографского шрифта измеряется в пунктах. Один пункт равен 1/72 дюйма, то есть 0,3528 мм. Какой высоты нужен шрифт, чтобы текст был расположен на листе формата A5 так же, как этот же текст, напечатанный шрифтом высотой 16 пунктов на листе формата A4? Размер шрифта округляется до целого.

Решение

При переходе от A4 к A5 линейные размеры уменьшаются в √2 раза. Размер шрифта: 16 : √2 ≈ 11,3. Округляем до целого: 11. Ответ: 11.

Ответ: 11

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{1}{1} + \frac{4}{3} + \frac{7}{6}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $\frac{1}{1} + \frac{4}{3} + \frac{7}{6}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{1}{1}) + \frac{4}{3} = \frac{7}{3}$.

Шаг 2: $(\frac{7}{3}) + \frac{7}{6} = \frac{7}{2}$.

Получили дробь $\frac{7}{2}$.

Эта дробь равна конечной десятичной дроби $3,5$.

Ответ: $3,5$.

Ответ: 3,5

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Одно из чисел $\frac{-39}{8}$, $\frac{-19}{5}$, -0,3, $\frac{\sqrt{6}}{2}$ отмечено на координатной прямой точкой A. Укажите это число.

В ответе укажите номер правильного варианта.

$\frac{-39}{8}$

$\frac{-19}{5}$

-0,3

$\frac{\sqrt{6}}{2}$

Решение

По чертежу видно, что точка A имеет координату между -5 и -4.

Сравним варианты по приближённым значениям:

1) $\frac{-39}{8}$ ≈ -4,875

2) $\frac{-19}{5}$ ≈ -3,8

3) -0,3 ≈ -0,3

4) $\frac{\sqrt{6}}{2}$ ≈ 1,2247

Точке A соответствует вариант 1.

Правильный ответ: 1.

Ответ: 1

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{125} + \sqrt{20})\sqrt{5}$$

Решение

Вычислим выражение: (√125 + √20)·√5.

Вынесем полные квадраты из-под корня: √125 = 5√5, √20 = 2√5.

Тогда получаем (5√5 + 2√5)·√5 = 7√5·√5.

Так как √5·√5 = 5, имеем 7·5 = 35.

Ответ: 35.

Ответ: 35

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: $$\frac{(6x + 7)}{3} - \frac{(5x + 8)}{3} - 3x = 5$$

Решение

Решим уравнение: (6x + 7)/3 - (5x + 8)/3 - 3x = 5

Домножим обе части на НОК знаменателей 3 и 3, то есть на 3.

Получим:

(6x + 7) - (5x + 8) - 9x = 15

Приведём подобные слагаемые:

-8x - 1 = 15

Перенесём число в правую часть:

-8x = 16

Разделим обе части на -8:

x = 16 / -8

x = -2

Ответ: -2

10 Статистика, вероятности 1 балл

В среднем из 200 карманных фонариков, поступивших в продажу, 27 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.

Решение

Всего равновозможных исходов: 200.

Благоприятных исходов: 173 (исправный фонарик).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = 173/200 = 0,865.

Ответ: 0,865.

Ответ: 0,865

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.

Графики

А) график 1

Б) график 2

В) график 3

Коэффициенты

1) a > 0, c < 0

2) a > 0, c > 0

3) a < 0, c > 0

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Определяем знак a по направлению ветвей и знак c по пересечению с осью Oy, затем сопоставляем с вариантами. Ответ: 213.

Ответ: 213

12 Расчёты по формулам 1 балл

В фирме «Эх, прокачу!» стоимость поездки на такси (в рублях) длительностью более 5 минут рассчитывается по формуле C = 150 + 11(t − 5), где t – длительность поездки (в минутах). Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость 13-минутной поездки.

Решение

Подставим t = 13 в формулу C = 150 + 11(t − 5).

C = 150 + 11·(13 − 5) = 238.

Ответ: 238.

Ответ: 238

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства:

6x - 4 ≤ 5x + 2

(-∞;-2]

[-6;+∞)

(-∞;6]

(-∞;-6]

Решение

Решим неравенство: 6x - 4 <= 5x + 2.

Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: 1x <= 6.

Делим обе части на 1: x <= 6.

Значит, x меньше или равно 6.

Этому соответствует промежуток (-∞;6].

Правильный ответ: 3.

Ответ: 3

14 Задачи на прогрессии 1 балл

Поезд начал движение от станции. За первую секунду состав сдвинулся на 0,9 м, а за каждую следующую секунду он проходил на 0,1 м больше, чем за предыдущую. Сколько метров состав прошёл за первые 6 секунд движения?

Решение

Это арифметическая прогрессия: a₁ = 0,9, d = 0,1, n = 6.

Сумма первых 6 членов: S = n(2a₁ + (n - 1)d)/2 = 6,9.

Ответ: 6,9.

Ответ: 6,9

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Сторона треугольника равна 29, а высота, проведённая к этой стороне, равна 17. Найдите площадь этого треугольника.

Решение

Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведённую к этой стороне.

S = $\frac{1}{2}$ · 29 · 17 = 493/2 = 246,5.

Ответ: 246,5.

Ответ: 246,5

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 18.

Решение

Если квадрат описан около окружности, то сторона квадрата равна диаметру окружности.

a = 2r = 2 · 18 = 36.

S = a² = 36² = 1296.

Ответ: 1296.

Ответ: 1296

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Диагонали AC и BD прямоугольника ABCD пересекаются в точке O, BO = 37, AB = 11. Найдите AC.

Решение

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам.

Значит, BD = 2·BO = 2·37 = 74.

Так как AC = BD, получаем:

AC = 74.

Ответ: 74.

Ответ: 74

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?

Решение

Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса.

По клеткам радиусы кругов равны 12 и 4.

Искомое отношение площадей равно (12 / 4)² = 9.

Ответ: 9.

Ответ: 9

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.

В тупоугольном треугольнике все углы тупые.

Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его высотой.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Верно.

2) Неверно.

3) Неверно.

Ответ: 1.

Ответ: 1

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Найдите значение выражения $6a-26b+83$, если $\dfrac{3a-b+9}{a-3b+9}=9$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из условия дроби выразить $6a-26b$ и подставить.

Шаг 1. Из условия: $3a-b+9 = 9(a-3b+9)$.

Шаг 2. Раскрываем: $3a-b+9 = 9a-27b+81$.

Шаг 3. Переносим влево: $0 = 6a-26b+72$, откуда $6a-26b = -72$.

Шаг 4. Вычисляем: $6a-26b+83 = -72+83 = 11$.

Ответ: 11.

Правильный ответ: 11

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 224 км. На следующий день он отправился обратно в А, увеличив скорость на 2 км/ч. По пути он сделал остановку на 2 часа, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из В в А.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: время туда = время обратно (с учётом остановки).

Шаг 1. Пусть скорость на пути А→В равна x км/ч, тогда на пути В→А она равна (x + 2) км/ч.

Шаг 2. Время в пути туда и обратно (с остановкой) одинаково:

224/x = 224/(x+2) + 2.

Шаг 3. Переносим 224/(x+2) влево:

224/x − 224/(x+2) = 2.

Шаг 4. Умножаем на x·(x+2): 2x² + 4x − 448 = 0.

Шаг 5. D = 3600, √D = 60. x = (−4+60)/(2·2) = 14.

Шаг 6. Скорость на обратном пути: 14 + 2 = 16 км/ч.

Ответ: 16.

Правильный ответ: 16

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Функции, содержащие модули

Постройте график функции \[y = x^2 - 4|x| - 6\] и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.

Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = x^2 - 4x - 6.

Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = x^2 + 4x - 6.

Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = -6. В этой точке у графика локальный максимум.

Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный максимум, то есть при m = -6.

Проверка: при m = -6 уравнение имеет корни x = −4, x = 0, x = 4 — ровно три точки.

Ответ: -6.

Правильный ответ: -6

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Окружности

Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите диаметр окружности, если AB = 5, AC = 13.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: центр O лежит на AC, касание в B — значит OB ⊥ AB, OB = r.

Шаг 1. Пусть центр O делит AC: AO = AC − r (т.к. O на AC и окружность проходит через C, OC = r).

Шаг 2. △AOB прямоугольный (∠ABО = 90°, т.к. OB ⊥ AB).

AB² + r² = AO² = (AC − r)².

5² + r² = (13 − r)².

25 + r² = 169 − 26r + r².

26r = 169 − 25 = 144.

r = 144/26 = 5.53846.

Шаг 3. D = 2r = 144/13 = 11,0769.

Ответ: 11,0769.

Правильный ответ: 11,0769

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Треугольники

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и CC₁. Докажите, что ∠AA₁C₁ = ∠ACC₁.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: показать, что точки A, C, A₁, C₁ лежат на одной окружности.

Шаг 1. AA₁ — высота, поэтому ∠AA₁C = 90°. Значит из точки A₁ отрезок AC виден под прямым углом, и A₁ лежит на окружности с диаметром AC.

Шаг 2. CC₁ — высота, поэтому ∠AC₁C = 90°. Значит и точка C₁ лежит на окружности с диаметром AC.

Шаг 3. Итак, точки A, C, A₁, C₁ лежат на одной окружности.

Шаг 4. Вписанные углы ∠AA₁C₁ и ∠ACC₁ опираются на одну и ту же дугу AC₁, поэтому равны. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC = 6, а расстояние от точки K до стороны AB равно 8.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектрисы смежных углов параллелограмма — свойство равноудалённости — дают высоту.

Шаг 1. Углы A и B смежные: ∠A + ∠B = 180°.

Биссектрисы делят их пополам: ∠KAB + ∠KBA = 90°.

В △AKB угол при K = 90°, то есть AK ⊥ BK.

Шаг 2. K лежит на биссектрисе угла A:

dist(K, AB) = dist(K, AD) = 8.

Шаг 3. K лежит на биссектрисе угла B:

dist(K, AB) = dist(K, BC) = 8.

Шаг 4. Расстояние между сторонами AD и BC:

dist(AD, BC) = dist(K, AD) + dist(K, BC) = 8 + 8 = 16.

Шаг 5. Площадь = BC · dist(AD, BC) = 6 · 16 = 96.

Ответ: 96.

Правильный ответ: 96

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.