Загрузка заданий...
Вариант 81 — ОГЭ по математике
Реши задания, а в конце нажми “Проверить экзамен”. Решение можно открыть у отдельного задания, если нужно разобрать ход решения.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 07.06.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.
Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 205/55 R16.
Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.
1
Задание 1
1 балл
Шины какой наименьшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 17 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 215.
Ответ: 215
2
Задание 2
1 балл
Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 215/55 R17?
Решение
В маркировке 215/55 R17 ширина шины равна 215 мм, а высота боковины составляет 55% от ширины. H = 215 · 55 / 100 = 118.25 мм. Ответ: 118.25.
Ответ: 118.25
3
Задание 3
1 балл
На сколько миллиметров увеличится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 225/45 R17?
Решение
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 205/55 R16 и нового колеса 225/45 R17. Ответ: 2.4.
Ответ: 2.4
4
Задание 4
1 балл
Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 205/55 R16 получаем диаметр 631.9 мм. Ответ: 631.9.
Ответ: 631.9
5
Задание 5
1 балл
На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 215/55 R16? Результат округлите до десятых.
Решение
Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 205/55 R16 и колеса 215/55 R16, затем находим процентное изменение. Ответ: 1.7.
Ответ: 1.7
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$0,9 : \frac{4}{5} : 0,125$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(0,9 : \frac{4}{5} : 0,125\).
Последовательно выполняем действия (деление, деление):
Шаг 1: \((0,9) : \frac{4}{5} = 1,125\).
Шаг 2: \((1,125) : 0,125 = 9\).
Получили результат \(9\).
Ответ: \(9\).
Ответ: 9
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Одно из чисел \(\frac{-1}{2}\), \(\frac{\sqrt{10}}{2}\), \(\frac{\sqrt{13}}{2}\), 2,33 отмечено на координатной прямой точкой A. Укажите это число.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
По чертежу видно, что точка A имеет координату между -1 и 0.
Сравним варианты по приближённым значениям:
1) \(\frac{-1}{2}\) ≈ -0,5
2) \(\frac{\sqrt{10}}{2}\) ≈ 1,5811
3) \(\frac{\sqrt{13}}{2}\) ≈ 1,8028
4) 2,33 ≈ 2,33
Точке A соответствует вариант 1.
Правильный ответ: 1.
Ответ: 1
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$(\sqrt{175} + \sqrt{112})\sqrt{7}$$
Решение
Вычислим выражение: (√175 + √112)·√7.
Вынесем полные квадраты из-под корня: √175 = 5√7, √112 = 4√7.
Тогда получаем (5√7 + 4√7)·√7 = 9√7·√7.
Так как √7·√7 = 7, имеем 9·7 = 63.
Ответ: 63.
Ответ: 63
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите уравнение: $$\frac{-4}{x - 9} = 2$$
Решение
Решим уравнение: -4/(x - 9) = 2
Область допустимых значений: x != 9.
Умножим обе части уравнения на x - 9:
-4 = 2(x - 9)
Раскроем скобки:
-4 = 2x - 18
Перенесём число в левую часть:
14 = 2x
x = 14 / 2
x = 7
Проверка ОДЗ: x = 7, x != 9, условие выполняется.
Ответ: 7
Ответ: 7
10
Статистика, вероятности
1 балл
В среднем из 200 карманных фонариков, поступивших в продажу, 16 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.
Решение
Всего равновозможных исходов: 200.
Благоприятных исходов: 184 (исправный фонарик).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = 184/200 = 0,92.
Ответ: 0,92.
Ответ: 0,92
11
Графики функций
1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между знаками коэффициентов k и b и графиками функций.
Коэффициенты
А) k > 0, b > 0
Б) k < 0, b < 0
В) k < 0, b > 0
Графики
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Смотрим на наклон прямой и точку пересечения с осью Oy. Возрастание даёт знак k, положение пересечения с осью Oy даёт знак b. Ответ: 231.
Ответ: 231
12
Расчёты по формулам
1 балл
Перевести значение температуры по шкале Фаренгейта в шкалу Цельсия позволяет формула tC = 5(tF − 32)/9, где tC – температура в градусах Цельсия, tF – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Цельсия соответствует 5 градусов по шкале Фаренгейта?
Решение
Подставим t_F = 5 в формулу t_C = 5(t_F − 32)/9.
t_C = 5·(5 − 32)/9 = -15.
Ответ: -15.
Ответ: -15
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства 
x2 ≤ 9
1
2
3
4
Решение
Из неравенства x² <= 9 получаем границы x = ±3. Верное решение: [-3;3]. Это вариант 1.
Ответ: 1
14
Задачи на прогрессии
1 балл
В амфитеатре 12 рядов. В первом ряду 24 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в восьмом ряду амфитеатра?
Решение
Это арифметическая прогрессия: a₁ = 24, d = 2.
Найдём 8-й член: a8 = a₁ + (8 - 1)·d = 24 + 7·2 = 38.
Ответ: 38.
Ответ: 38
15
Треугольники и их элементы
1 балл
Сторона треугольника равна 14, а высота, проведённая к этой стороне, равна 17. Найдите площадь этого треугольника.
Решение
Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведённую к этой стороне.\nS = \(\frac{1}{2}\) · 14 · 17 = 238/2 = 119.\nОтвет: 119.
Ответ: 119
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Периметр треугольника равен 48, одна из сторон равна 21, а радиус вписанной в него окружности равен 10. Найдите площадь этого треугольника.
Решение
Площадь треугольника выражается через полупериметр и радиус вписанной окружности: S = pr, где p — полупериметр.\np = 48 / 2 = 24.\nS = p·r = 24 · 10 = 240.\nОтвет: 240.
Ответ: 240
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Один из углов прямоугольной трапеции равен 113°. Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
Решение
В прямоугольной трапеции два угла по 90°, а два других supplementary.\nИскомый угол равен 180° - 113° = 67°.\nОтвет: 67.
Ответ: 67
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?
Решение
Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса.
По клеткам радиусы кругов равны 8 и 2.
Искомое отношение площадей равно (8 / 2)² = 16.
Ответ: 16.
Ответ: 16
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какие из следующих утверждений верны?
Решение
1) Верно.
2) Неверно: тупым может быть только один угол.
3) Верно.
Ответ: 13.
Ответ: 13
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите систему уравнений: \(\begin{cases}5x^2-11x=y,\\5x-11=y.\end{cases}\)
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: приравниваем правые части.
Шаг 1. \(5x^2-11x=5x-11\).
Шаг 2. Переносим влево: \(5x^2-16x+11=0\).
Шаг 3. Разложим: \((5x-11)(x-1)=0\).
Корни: \(x=\dfrac{11}{5}\) или \(x=1\).
Шаг 4. Находим \(y\):
При \(x=\dfrac{11}{5}\): \(y=5\cdot\dfrac{11}{5}-11=0\).
При \(x=1\): \(y=5-11=-6\).
Ответ: \(\left(\dfrac{11}{5};\,0\right);\ (1;\,-6)\).
Правильный ответ: (11/5;0);(1;-6)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Два автомобиля одновременно отправляются в 990-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 20 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 2 ч раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: составить уравнение на время движения, используя формулу t = S/v.
Шаг 1. Пусть скорость второго автомобиля равна x км/ч, тогда скорость первого — (x + 20) км/ч.
Шаг 2. Первый прибывает на 2 ч раньше, значит его время меньше:
990/x − 990/(x+20) = 2.
Шаг 3. Умножаем обе части на x·(x+20):
990·(x+20) − 990·x = 2·x·(x+20).
Шаг 4. Левая часть упрощается до 990·20 = 19800. Получаем:
2x² + 40x − 19800 = 0.
Шаг 5. Дискриминант: D = 40² + 4·2·19800 = 160000, √D = 400.
x = (−40 + 400) / (2·2) = 90 (берём положительный корень).
Шаг 6. Скорость первого: 90 + 20 = 110 км/ч.
Ответ: 110.
Правильный ответ: 110
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \(\; y=\begin{cases}x^2-4x+5,& x\ge 1,\\x+3,& x<1.\end{cases}\) Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком две общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.
Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.
По анализу графика получаем: {1}∪(2;4).
Ответ: {1}∪(2;4).
Правильный ответ: {1}∪(2;4)
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Окружности
Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды CD, если AB = 14, CD = 48, а расстояние от центра окружности до хорды AB равно 24.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: перпендикуляр из центра на хорду делит её пополам — применяем теорему Пифагора.
Шаг 1. Для хорды AB: перпендикуляр из центра = 24, полухорда = AB/2 = 7.
R² = 24² + 7² = 576 + 49 = 625. R = 25.
Шаг 2. Для хорды CD: полухорда = CD/2 = 24.
d² = R² − 24² = 625 − 576 = 49. d = 7.
Ответ: 7.
Правильный ответ: 7
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Окружности
Окружности с центрами в точках O₁ и O₂ пересекаются в точках X и Y, причём точки O₁ и O₂ лежат по одну сторону от прямой XY. Докажите, что прямые O₁O₂ и XY перпендикулярны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: каждый центр лежит на серединном перпендикуляре к общей хорде.
Шаг 1. O₁X = O₁Y (оба — радиусы первой окружности).
⟹ точка O₁ равноудалена от X и Y
⟹ O₁ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку XY.
Шаг 2. O₂X = O₂Y (оба — радиусы второй окружности).
⟹ точка O₂ тоже лежит на том же серединном перпендикуляре.
Шаг 3. Через два разных точки проходит единственная прямая.
Прямая O₁O₂ совпадает с серединным перпендикуляром к XY.
Следовательно, O₁O₂ ⟂ XY. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
Углы при одном из оснований трапеции равны 86° и 4°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 14 и 5. Найдите основания трапеции.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: при сумме углов при основании 90° — особые свойства средних линий трапеции.
Шаг 1. Углы 86° + 4° = 90° при одном основании.
При таком условии диагонали трапеции перпендикулярны.
Шаг 2. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции:
• Отрезок, соединяющий середины оснований = средняя линия = (a+b)/2.
• Отрезок, соединяющий середины боковых сторон зависит от (b-a)/2.
Для данного случая: отрезки равны 14 и 5.
Шаг 3. Решаем: (a+b)/2 = 14 и (b-a)/2 = 5 (или наоборот).
a+b = 28, b-a = 10.
b = 19, a = 9.
Ответ: 9; 19.
Правильный ответ: 9; 19
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл: