Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 25.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
На плане изображён дачный участок по адресу: п. Сосновка, ул. Зелёная, д. 19.
Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота. При входе на участок слева от ворот находится гараж. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв. м, а чуть подальше — жилой дом.
Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки. Также на участке есть баня, к которой ведёт дорожка, выложенная плиткой, и огород с теплицей внутри. Огород отмечен на плане цифрой 6. Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1 м × 1 м. Между гаражом и сараем находится площадка, вымощенная такой же плиткой. К участку подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.
1Задание 11 балл
Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без дополнительных символов.
Объекты
яблони
теплица
сарай
жилой дом
Цифры
Решение
Сопоставляем описание объектов и их расположение на плане: яблони — 3, теплица — 5, сарай — 1, жилой дом — 7.
В таблице объекты стоят в порядке: яблони, теплица, сарай, жилой дом.
Получаем последовательность: 3517.
Ответ: 3517
2Задание 21 балл
Плитки для садовых дорожек продаются в упаковках по 8 штук. Сколько упаковок плиток понадобилось, чтобы выложить все дорожки и площадку между сараем и гаражом?
Решение
На все дорожки уходит 25 плиток, на площадку между сараем и гаражом — 40 плиток. Всего нужно 65 плиток.
В одной упаковке 8 плиток, поэтому потребуется ⌈65 / 8⌉ = 9 упаковок.
Ответ: 9.
Ответ: 9
3Задание 31 балл
Найдите расстояние от жилого дома до гаража (расстояние между двумя ближайшими точками по прямой) в метрах.
Решение
Ближайшие точки жилого дома и гаража находятся на расстоянии 3 клеток по вертикали. Одна клетка соответствует 2 м, поэтому расстояние равно 3 · 2 = 6 м.
Ответ: 6.
Ответ: 6
4Задание 41 балл
Сколько процентов от площади всего огорода занимает теплица?
Решение
Площадь теплицы 12 кв. м, площадь огорода 120 кв. м. 12 / 120 · 100% = 10%.
Ответ: 10.
Ответ: 10
5Задание 51 балл
Хозяин участка планирует установить в жилом доме систему отопления. Он рассматривает два варианта: электрическое или газовое отопление. Цены на оборудование и стоимость его установки, данные о расходе газа, электроэнергии и их стоимости даны в таблице.
Обдумав оба варианта, хозяин решил установить газовое отопление. Через сколько часов непрерывной работы отопления экономия от использования газа вместо электричества компенсирует разницу в стоимости покупки и установки газового и электрического оборудования?
Нагреватель (котёл)
Прочее оборудование и монтаж
Средн. расход газа / средн. мощность
Стоимость газа / электроэнергии
Газовое отопление
18 000 руб.
13 896 руб.
1,6 куб. м/ч
4,7 руб./куб. м
Электр. отопление
15 000 руб.
9 000 руб.
4,7 кВт
4,4 руб./(кВт·ч)
Решение
Начальные расходы на газовое отопление: 31896 руб.
Начальные расходы на электрическое отопление: 24000 руб.
Разница в начальных расходах: 31896 - 24000 = 7896 руб.
Почасовая стоимость газового отопления: 1,6 · 4,7 = 7,52 руб./ч.
Почасовая стоимость электрического отопления: 4,7 · 4,4 = 20,68 руб./ч.
Экономия за час: 20,68 - 7,52 = 13,16 руб./ч.
Ищем время окупаемости: 7896 / 13,16 = 600.
Ответ: 600.
Ответ: 600
6Числа и вычисления1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{4}{1} - \frac{5}{4} - \frac{7}{8}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(\frac{4}{1} - \frac{5}{4} - \frac{7}{8}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на 7, а второе — на -2.
Получим:
\((-2x - 5y = 49) \cdot 7\): -14x - 35y = 343
\((7x + 8y = -105) \cdot -2\): -14x - 16y = 210
Вычтем второе уравнение из первого:
-19y = 133
y = 133 / -19 = -7
Подставим y = -7 в первое уравнение:
-2x - 5y = 49
Получаем x = -7.
Ответ: (-7;-7)
Ответ: -7;-7
10Статистика, вероятности1 балл
В среднем из 80 карманных фонариков, поступивших в продажу, 64 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.
Решение
Всего равновозможных исходов: 80.
Благоприятных исходов: 16 (исправный фонарик).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{16}{80}\) = 0,2.
Ответ: 0,2.
Ответ: 0,2
11Графики функций1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.
Графики
А) график 1
Б) график 2
В) график 3
Коэффициенты
1) a > 0, c > 0
2) a < 0, c > 0
3) a > 0, c < 0
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А
Б
В
Решение
Определяем знак a по направлению ветвей и знак c по пересечению с осью Oy, затем сопоставляем с вариантами. Ответ: 312.
Ответ: 312
12Расчёты по формулам1 балл
Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой tF = 1,8tC + 32, где tC – температура в градусах Цельсия, tF – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Фаренгейта соответствует 90 градусов по шкале Цельсия?
Решение
Подставим t_C = 90 в формулу t_F = 1,8t_C + 32.
t_F = 1,8·(90) + 32 = 194.
Ответ: 194.
Ответ: 194
13Неравенства, системы неравенств1 балл
Укажите решение неравенства
(x + 9)(x - 3) > 0
1
(-∞;-9) ∪ (3;+∞)
2
(-∞;-9] ∪ [3;+∞)
3
(-∞;-9)
4
[-9;3]
Решение
Нули выражения: x = -9 и x = 3. На числовой прямой отмечаем точки -9 и 3 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 9)(x - 3) > 0 получаем решение (-∞;-9) ∪ (3;+∞). Это вариант 1.
Ответ: 1
14Задачи на прогрессии1 балл
В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 10 мг. За каждые 20 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 60 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.
Решение
Масса колонии образует геометрическую прогрессию: b₁ = 10, q = 3.
За 60 минут пройдёт 3 промежутков по 20 минут.
Получаем массу 10·3^3 = 270 мг.
Ответ: 270.
Ответ: 270
15Треугольники и их элементы1 балл
В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC = 72, AB = 75. Найдите cos B.
Решение
В прямоугольном треугольнике cos острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.
Для угла B прилежащий катет — BC, гипотенуза — AB.
cos B = BC / AB = \(\frac{72}{75}\) = 0,96.
Ответ: 0,96.
Ответ: 0,96
16Окружность, круг и их элементы1 балл
Радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен 24. Найдите высоту этой трапеции.
Решение
Окружность касается обоих оснований трапеции.
Расстояние между основаниями равно сумме расстояний от центра окружности до каждого основания, то есть двум радиусам.
h = 2r = 2 · 24 = 48.
Ответ: 48.
Ответ: 48
17Четырёхугольники, многоугольники и их элементы1 балл
Один из углов ромба равен 134°. Сколько градусов составляет угол между высотой и большей диагональю ромба?
Решение
Большая диагональ ромба биссектрисой его тупого угла.
Следовательно, искомый угол равен 134° / 2 = 67°.
Ответ: 67.
Ответ: 67
18Фигуры на квадратной решётке1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите площадь этого ромба.
Решение
Площадь ромба равна половине произведения диагоналей.
По клеткам диагонали равны 8 и 4.
S = 8 · 4 / 2 = 16.
Ответ: 16.
Ответ: 16
19Анализ геометрических высказываний1 балл
Какие из следующих утверждений верны?
1
Сумма углов любого треугольника равна 360 градусам.
2
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в точке, являющейся центром окружности, описанной около треугольника.
3
Треугольника со сторонами 1, 2, 4 не существует.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Идея: числитель \(-16<0\), дробь \(\ge0\) только при отрицательном знаменателе.
Шаг 1. Условие: \((x+2)^2-5<0\).
Шаг 2. \((x+2)^2<5\).
Шаг 3. \(-\sqrt{5}<x+2<\sqrt{5}\).
Шаг 4. Вычитаем 2: \(-2-\sqrt{5}<x<-2+\sqrt{5}\).
Ответ: \((-2-\sqrt{5};\; -2+\sqrt{5})\).
Правильный ответ: (-2-√5;-2+√5)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21Текстовые задачи2 балла
Проценты и сухое вещество
Свежие фрукты содержат 86% воды, а высушенные — 23%. Сколько сухих фруктов получится из 396 кг свежих фруктов?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: масса сухого вещества при сушке не меняется.
Шаг 1. Свежие фрукты содержат 86% воды, значит сухого вещества 14%.
Шаг 2. Масса сухого вещества в 396 кг свежих фруктов:
396 · 14/100 = 55,44 кг.
Шаг 3. Высушенные фрукты содержат 23% воды, значит сухого вещества 77%.
Шаг 4. Пусть масса сухих фруктов = x кг. Тогда 0,77·x = 55,44.
x = 55,44 / 0,77 = 72 кг.
Ответ: 72.
Правильный ответ: 72
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22Функции и их свойства. Графики функций2 балла
Постройте график функции \( y=\dfrac{(x^2+1)((x+2))}{-2-x} \). Определите, при каких значениях k прямая \( y=kx \) имеет с графиком ровно одну общую точку.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Сократим дробь, учитывая, что в точке, обращающей знаменатель в ноль, график имеет выколотую точку.
После сокращения получаем \( y=x^2+1,\ x\ne -2 \).
После преобразования получаем параболу \( y=x^2+a \) с выколотой точкой при \( x=-2 \).
Из анализа пересечений с прямой \( y=kx \) получаем: \( k=-2; 2; 2,5 \).
Ответ: \( -2; 2; 2,5 \).
Правильный ответ: -2; 2; 2,5
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23Геометрические задачи на вычисление2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Окружности
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK = 15, а сторона AC в 1,5 раза больше стороны BC.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: четыре точки K, P, B, C лежат на окружности — треугольники AKP и ABC подобны.
Шаг 1. Угол A общий для △AKP и △ABC.
∠AKP = ∠ABC (вписанные углы, опирающиеся на одну дугу KPBC).
По двум углам: △AKP ∼ △ABC.
Шаг 2. Коэффициент подобия = AK/AB = KP/BC.
По условию AC = 1,5·BC, поэтому AK/AC = KP/BC.
KP = AK · BC/AC = AK / 1,5 = 15 / 1,5 = 10.
Ответ: 10.
Правильный ответ: 10
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24Геометрические задачи на доказательство2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Треугольники
В треугольнике ABC с тупым углом C проведены высоты AA₁ и BB₁. Докажите, что треугольники A₁CB₁ и ACB подобны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: подобие через два прямоугольных треугольника.
Шаг 1. AA₁ ⊥ BC ⟹ ∠CA₁A = 90°; BB₁ ⊥ AC ⟹ ∠CB₁B = 90°.
Шаг 2. Угол C тупой, поэтому основания A₁ и B₁ лежат на продолжениях сторон CB и CA за вершину C. Значит ∠A₁CB₁ = ∠ACB как вертикальные углы.
Шаг 3. Прямоугольные △CAA₁ и △CBB₁ имеют равные острые углы при C, поэтому подобны. Отсюда CA₁ : CA = CB₁ : CB.
Шаг 4. У △A₁CB₁ и △ACB угол при C равен (∠A₁CB₁ = ∠ACB), а прилежащие стороны пропорциональны. По второму признаку подобия △A₁CB₁ ∼ △ACB. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25Геометрические задачи повышенной сложности2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 4 и 5, а основание BC равно 1. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: биссектриса угла ADC проходит через середину AB — это даёт уравнение на AD.
Шаг 1. Пусть M — середина AB. Биссектриса угла ADC проходит через M.
По свойству биссектрисы в треугольнике (или трапеции): ∠ADM = ∠MDC.
Шаг 2. Из условия параллельности оснований и свойства биссектрисы:
AD = AB + BC = 4 + 1... (точнее, выводится из прямоугольника при трапеции).
Через пифагорово тройки: высота h = 3, AB = 4, CD = 5, BC = 1.
