Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 25.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.
Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 235/65 R17.
Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.
1Задание 11 балл
Шины какой наименьшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 19 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 245.
Ответ: 245
2Задание 21 балл
Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 220/60 R16?
Решение
В маркировке 220/60 R16 ширина шины равна 220 мм, а высота боковины составляет 60% от ширины. H = 220 · 60 / 100 = 132 мм. Ответ: 132.
Ответ: 132
3Задание 31 балл
На сколько миллиметров увеличится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 255/50 R19?
Решение
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 235/65 R17 и нового колеса 255/50 R19. Ответ: 0.3.
Ответ: 0.3
4Задание 41 балл
Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 235/65 R17 получаем диаметр 737.3 мм. Ответ: 737.3.
Ответ: 737.3
5Задание 51 балл
На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 245/65 R17? Результат округлите до десятых.
Решение
Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 235/65 R17 и колеса 245/65 R17, затем находим процентное изменение. Ответ: 1.8.
Ответ: 1.8
6Числа и вычисления1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{2}{25} + 0,7$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(\frac{2}{25} + 0,7\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{2}{25}) + 0,7 = 0,78\).
Получили результат \(0,78\).
Ответ: \(0,78\).
Ответ: 0,78
7Числовые неравенства, координатная прямая1 балл
На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1
\(\frac{1}{a} < 0\)
2
\(\frac{1}{a} > 0\)
3
-a > 4
4
-a < 3
Решение
По чертежу видно, что -4 < a < -3.
Проверим варианты ответа:
1) \(\frac{1}{a} < 0\) ⇔ a < 0 — верно.
2) \(\frac{1}{a} > 0\) ⇔ a > 0 — неверно.
3) -a > 4 ⇔ a < -4 — неверно.
4) -a < 3 ⇔ a > -3 — неверно.
Правильный ответ: 1.
Ответ: 1
8Числа, вычисления и алгебраические выражения1 балл
Найдите значение выражения $$(3\sqrt{7})^2$$
Решение
Вычислим выражение: (3√7)².
Используем свойство степени произведения: (3√7)² = 3² · (√7)².
Получаем 9 · 7 = 63.
Ответ: 63.
Ответ: 63
9Уравнения, системы уравнений1 балл
Решите уравнение: $$\frac{-2}{x + 3} = 2$$
Решение
Решим уравнение: -2/(x + 3) = 2
Область допустимых значений: x != -3.
Умножим обе части уравнения на x + 3:
-2 = 2(x + 3)
Раскроем скобки:
-2 = 2x + 6
Перенесём число в левую часть:
-8 = 2x
x = -8 / 2
x = -4
Проверка ОДЗ: x = -4, x != -3, условие выполняется.
Ответ: -4
Ответ: -4
10Статистика, вероятности1 балл
У бабушки 20 чашек: 15 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.
Решение
Всего равновозможных исходов: 20.
Благоприятных исходов: 5 (чашка с синими цветами).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{5}{20}\) = 0,25.
Ответ: 0,25.
Ответ: 0,25
11Графики функций1 балл
Установите соответствие между функциями и их графиками.
Функции
А) \(y = x + 4\)
Б) \(y = -\dfrac{1}{2}x + 3\)
В) \(y = 3x + 2\)
Графики
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А
Б
В
Решение
Сопоставляем наклон и точку пересечения с осью Oy для каждой формулы. Ответ: 231.
Ответ: 231
12Расчёты по формулам1 балл
Кинетическая энергия тела массой m кг, двигающегося со скоростью v м/с, вычисляется по формуле E = mv2/2 и измеряется в джоулях (Дж). Известно, что автомобиль массой 1600 кг обладает кинетической энергией 231,2 тысяч джоулей. Найдите скорость этого автомобиля в метрах в секунду.
Решение
Из формулы E = mv²/2 выразим скорость: v = √(2E/m).
E = 231,2·1000 = 231 200 Дж.
v = √(2·231 200/1600) = 17.
Ответ: 17.
Ответ: 17
13Неравенства, системы неравенств1 балл
Укажите решение неравенства
1x - x2 ≥ 0
1
2
3
4
Решение
Разложим: 1x - x² = x(1 - x). Нули: 0 и 1. Верное решение: [0;1]. Это вариант 1.
Ответ: 1
14Задачи на прогрессии1 балл
В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 13 мг. За каждые 30 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 120 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.
Решение
Масса колонии образует геометрическую прогрессию: b₁ = 13, q = 3.
За 120 минут пройдёт 4 промежутков по 30 минут.
Получаем массу 13·3^4 = 1053 мг.
Ответ: 1053.
Ответ: 1053
15Треугольники и их элементы1 балл
В треугольнике ABC угол C равен 90°, cos B = 9/10, AB = 60. Найдите BC.
Решение
В прямоугольном треугольнике cos B = BC / AB.
Значит, BC = AB · cos B = 60 · \(\frac{9}{10}\) = 54.
Ответ: 54.
Ответ: 54
16Окружность, круг и их элементы1 балл
Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 9√3. Найдите длину стороны этого треугольника.
Решение
Для равностороннего треугольника r = a√3 / 6.
Значит, a = 2r√3 = 2 · 9√3 · √3 = 54.
Ответ: 54.
Ответ: 54
17Четырёхугольники, многоугольники и их элементы1 балл
Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, образует с одной из его диагоналей угол 29°. Сколько градусов составляет острый угол ромба?
Решение
Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.
В этой конфигурации данный угол равен половине острого угла ромба.
Следовательно, острый угол равен 2 · 29° = 58°.
Ответ: 58.
Ответ: 58
18Фигуры на квадратной решётке1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена фигура. Найдите длину отрезка AB по данным чертежа.
Решение
A и B — точки пересечения горизонтальной прямой со сторонами фигуры.
На уровне y=5: t=(7−5)/(7−1)=\(\frac{1}{3}\). x_A=1+\(\frac{1}{3}\)·3=2, x_B=4+\(\frac{2}{3}\)·3=6. AB=4.
Ответ: 4.
Ответ: 4
19Анализ геометрических высказываний1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
1
Диагонали трапеции пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.
2
Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей.
3
Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, прямой.
В ответ запишите номер выбранного утверждения.
Решение
1) Неверно.
2) Неверно.
3) Верно.
Ответ: 3.
Ответ: 3
20Уравнения, неравенства и их системы2 балла
Решите систему уравнений: \(\begin{cases}3x^2-2x=y,\\3x-2=y.\end{cases}\)
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: оба выражения равны \(y\) — приравниваем их между собой.
Свежие фрукты содержат 86% воды, а высушенные — 23%. Сколько сухих фруктов получится из 396 кг свежих фруктов?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: масса сухого вещества при сушке не меняется.
Шаг 1. Свежие фрукты содержат 86% воды, значит сухого вещества 14%.
Шаг 2. Масса сухого вещества в 396 кг свежих фруктов:
396 · 14/100 = 55,44 кг.
Шаг 3. Высушенные фрукты содержат 23% воды, значит сухого вещества 77%.
Шаг 4. Пусть масса сухих фруктов = x кг. Тогда 0,77·x = 55,44.
x = 55,44 / 0,77 = 72 кг.
Ответ: 72.
Правильный ответ: 72
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22Функции и их свойства. Графики функций2 балла
Постройте график функции \( y=\dfrac{(x^2+0,25)((x-1))}{1-x} \). Определите, при каких значениях k прямая \( y=kx \) имеет с графиком ровно одну общую точку.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Сократим дробь, учитывая, что в точке, обращающей знаменатель в ноль, график имеет выколотую точку.
После сокращения получаем \( y=-(x^2+0,25),\ x\ne 1 \).
После сокращения получаем параболу \( y=-(x^2+a) \), но точка при \( x=1 \) выколота. Прямая \( y=kx \) имеет одну общую точку в трёх случаях: касается параболы в вершине; проходит через выколотую точку и ещё пересекает график один раз; проходит через выколотую точку как касательная к полной параболе.
Из анализа пересечений с прямой \( y=kx \) получаем: \( k=-1,25; -1; 1 \).
Ответ: \( -1,25; -1; 1 \).
Правильный ответ: -1,25; -1; 1
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23Геометрические задачи на вычисление2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Треугольники
Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH = 3, AC = 12.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: в прямоугольном треугольнике катет² = гипотенуза · проекция катета на гипотенузу.
Шаг 1. Точка H — основание высоты из B, значит AH — проекция катета AB на гипотенузу AC.
Шаг 2. По свойству: AB² = AH · AC = 3 · 12 = 36.
Шаг 3. AB = √36 = 6.
Ответ: 6.
Правильный ответ: 6
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24Геометрические задачи на доказательство2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники
Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Докажите, что отрезки AE и CF равны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: диагонали параллелограмма делятся пополам — O является центром симметрии.
Шаг 1. Точка O — центр симметрии параллелограмма (точка пересечения диагоналей).
Шаг 2. Прямая через O пересекает AB в точке E и CD в точке F.
Центральная симметрия переводит AB в CD и E в F (так как O — центр).
Шаг 3. При центральной симметрии расстояния сохраняются, значит AE = CF. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25Геометрические задачи повышенной сложности2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 200, а площадь равна 2000, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: использовать свойства касательной трапеции и подобие треугольников, образованных диагоналями.
Шаг 1. Вписанная окружность в трапецию: a + b = 2l (сумма оснований = сумма боковых сторон).
P = 2(a+b) = 200 ⟹ a+b = 100.
Шаг 2. Высота: S = (a+b)·h/2 ⟹ h = 2S/(a+b) = 2·2000/100 = 40.
Шаг 3. Находим основания. Для равнобедренной касательной трапеции:
Из системы a+b=100 и пифагорова прямоугольного треугольника с высотой h=40:
a = 20, b = 80.
Шаг 4. Диагонали трапеции пересекаются в точке O, делящей высоту в отношении a:b.
Расстояние от O до меньшего основания = h·a/(a+b) = 40·20/100 = 8.
