Загрузка заданий...

Вариант 833 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 25.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Гриша летом отдыхает у дедушки в деревне Грушёвка. В понедельник они собираются съездить на велосипедах в село Абрамово на ярмарку. Из деревни Грушёвка в село Абрамово можно проехать по прямой лесной дорожке. Есть более длинный путь: по прямолинейному шоссе через деревню Таловка до деревни Новая, где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в село Абрамово. Есть и третий маршрут: в деревню Таловка можно свернуть на прямую тропинку в село Абрамово, которая идёт мимо пруда. Лесная дорожка и тропинка образуют с шоссе прямоугольные треугольники.

По шоссе Гриша с дедушкой едут со скоростью 15 км/ч, а по лесной дорожке и тропинке — 12 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, сторона каждой клетки равна 2 км.

1 Задание 1 1 балл

Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены населённые пункты. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность трёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Населённые пункты	Новая	Абрамово	Таловка
Цифры

Решение

По описанию восстанавливаем маршруты на плане.

Точка отправления Грушёвка, промежуточная деревня на прямом шоссе — Таловка, место поворота на другое шоссе — Новая, конечный пункт — Абрамово.

Получаем соответствие: Грушёвка — 1, Таловка — 4, Новая — 3, Абрамово — 2.

В таблице населённые пункты стоят в порядке: Новая, Абрамово, Таловка.

Следовательно, ответ: 324.

Ответ: 324

2 Задание 2 1 балл

Сколько километров проедут Гриша с дедушкой от деревни Грушёвка до села Абрамово, если они поедут по шоссе через деревню Новая?

Решение

По шоссе путь состоит из двух участков: от Грушёвка до Новая и от Новая до Абрамово.

От Грушёвка до Новая: 16 клеток · 2 км = 32 км.

От Новая до Абрамово: 12 клеток · 2 км = 24 км.

Складываем: 32 + 24 = 56 км.

Ответ: 56.

Ответ: 56

3 Задание 3 1 балл

Найдите расстояние от деревни Грушёвка до села Абрамово по прямой. Ответ дайте в километрах.

Решение

Получается прямоугольный треугольник: по горизонтали 12 клеток, по вертикали 16 клеток.

Значит, катеты равны 24 км и 32 км.

Это треугольник со сторонами 12–16–20, поэтому расстояние по прямой равно 40 км.

Ответ: 40.

Ответ: 40

4 Задание 4 1 балл

Сколько минут затратят на дорогу из деревни Грушёвка в село Абрамово Гриша с дедушкой, если они поедут по прямой лесной дорожке?

Решение

По прямой расстояние равно 40 км.

Скорость по лесной дорожке — 12 км/ч.

Время = расстояние / скорость = 40 / 12 ч.

В минутах это 200 мин.

Ответ: 200.

Ответ: 200

5 Задание 5 1 балл

Наименование продукта	Грушёвка	Абрамово	Таловка	Новая
Молоко (1 л)	47	54	58	51
Хлеб (1 батон)	39	24	43	27
Сыр «Российский» (1 кг)	258	244	251	255
Говядина (1 кг)	335	333	325	324
Картофель (1 кг)	17	27	22	21

В таблице указана стоимость (в рублях) некоторых продуктов в четырёх магазинах, расположенных в деревне Грушёвка, селе Абрамово, деревне Таловка и деревне Новая. Гриша с дедушкой хотят купить 2 л молока, 3 батона хлеба, 1 кг сыра «Российский», 2 кг говядины, 4 кг картофеля. В каком магазине такой набор продуктов будет стоить дешевле всего? В ответ запишите стоимость данного набора в этом магазине.

Решение

Посчитаем стоимость набора в каждом магазине:

Грушёвка: 2·47=94 + 3·39=117 + 2·335=670 + 4·17=68 + 1·258=258 = 1 207

Абрамово: 2·54=108 + 3·24=72 + 2·333=666 + 4·27=108 + 1·244=244 = 1 198

Таловка: 2·58=116 + 3·43=129 + 2·325=650 + 4·22=88 + 1·251=251 = 1 234

Новая: 2·51=102 + 3·27=81 + 2·324=648 + 4·21=84 + 1·255=255 = 1 170

Самая маленькая стоимость получается в магазине "Новая": 1 170 руб.

Ответ: 1 170.

Ответ: 1170

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{9}{2} : \frac{4}{3}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $\frac{9}{2} : \frac{4}{3}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{9}{2}) : \frac{4}{3} = \frac{27}{8}$.

Получили дробь $\frac{27}{8}$.

Эта дробь равна конечной десятичной дроби $3,375$.

Ответ: $3,375$.

Ответ: 3,375

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

a > 1

-a > -1

$\frac{1}{a} < 0$

a - 2 > 0

Решение

По чертежу видно, что 1 < a < 2.

Проверим варианты ответа:

1) a > 1 ⇔ a > 1 — верно.

2) -a > -1 ⇔ a < 1 — неверно.

3) $\frac{1}{a} < 0$ ⇔ a < 0 — неверно.

4) a - 2 > 0 ⇔ a > 2 — неверно.

Правильный ответ: 1.

Ответ: 1

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(7\sqrt{6})^2$$

Решение

Вычислим выражение: (7√6)².

Используем свойство степени произведения: (7√6)² = 7² · (√6)².

Получаем 49 · 6 = 294.

Ответ: 294.

Ответ: 294

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите систему уравнений: $$\begin{cases} -5x + 6y = -14 \\ 3x + 2y = -14 \end{cases}$$

Решение

Решим систему:

-5x + 6y = -14

3x + 2y = -14

Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на 3, а второе — на -5.

Получим:

$(-5x + 6y = -14) \cdot 3$: -15x + 18y = -42

$(3x + 2y = -14) \cdot -5$: -15x - 10y = 70

Вычтем второе уравнение из первого:

28y = -112

y = -112 / 28 = -4

Подставим y = -4 в первое уравнение:

-5x + 6y = -14

Получаем x = -2.

Ответ: (-2;-4)

Ответ: -2;-4

10 Статистика, вероятности 1 балл

На экзамене 40 билетов, Сеня не выучил 16 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

Решение

Всего равновозможных исходов: 40.

Благоприятных исходов: 24 (выученный билет).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = $\frac{24}{40}$ = 0,6.

Ответ: 0,6.

Ответ: 0,6

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.

Коэффициенты

А) a > 0, c < 0

Б) a > 0, c > 0

В) a < 0, c > 0

Графики

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Знак a определяется направлением ветвей параболы, знак c — значением функции при x = 0, то есть точкой пересечения с осью Oy. Ответ: 312.

Ответ: 312

12 Расчёты по формулам 1 балл

В фирме «Эх, прокачу!» стоимость поездки на такси (в рублях) длительностью более 5 минут рассчитывается по формуле C = 150 + 11(t − 5), где t – длительность поездки (в минутах). Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость 10-минутной поездки.

Решение

Подставим t = 10 в формулу C = 150 + 11(t − 5).

C = 150 + 11·(10 − 5) = 205.

Ответ: 205.

Ответ: 205

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.

x² - 8x < 0

x² - 8x > 0

x² - 64 < 0

x² - 64 > 0

Решение

Смотрим на отмеченные корни и закрашенные промежутки. Этому соответствует вариант 1.

Ответ: 1

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В амфитеатре 10 рядов. В первом ряду 15 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?

Решение

Это арифметическая прогрессия: a₁ = 15, d = 2, n = 10.

Сначала найдём последний ряд: a10 = 15 + (10 - 1)·2 = 33.

Сумма первых 10 членов: S = n(a₁ + aₙ)/2 = 10·(15 + 33)/2 = 240.

Ответ: 240.

Ответ: 240

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC известно, что AB = BC, ∠ABC = 104°. Найдите угол BCA. Ответ дайте в градусах.

Решение

Так как AB = BC, треугольник равнобедренный, а углы при основании равны.

Сумма углов при основании равна 180° - 104° = 76°.

Каждый из них равен 76° : 2 = 38°.

Ответ: 38.

Ответ: 38

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Периметр треугольника равен 56, одна из сторон равна 21, а радиус вписанной в него окружности равен 1. Найдите площадь этого треугольника.

Решение

Площадь треугольника выражается через полупериметр и радиус вписанной окружности: S = pr, где p — полупериметр.

p = 56 / 2 = 28.

S = p·r = 28 · 1 = 28.

Ответ: 28.

Ответ: 28

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 65° и 80°. Найдите меньший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение

Диагональ BD делит угол B на два данных угла.

Угол B равен 65° + 80° = 145°.

Тогда меньший угол параллелограмма равен 180° - 145° = 35°.

Ответ: 35.

Ответ: 35

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите площадь этого ромба.

Решение

Площадь ромба равна половине произведения диагоналей.

По клеткам диагонали равны 8 и 10.

S = 8 · 10 / 2 = 40.

Ответ: 40.

Ответ: 40

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Все квадраты имеют равные площади.

Основания равнобедренной трапеции равны.

Через любую точку, лежащую вне окружности, можно провести две касательные к этой окружности.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Неверно.

2) Неверно.

3) Верно.

Ответ: 3.

Ответ: 3

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите неравенство: $\frac{-15}{(x+1)^2-3}\ge 0$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: числитель $-15<0$, дробь $\ge0$ только при отрицательном знаменателе.

Шаг 1. Условие: $(x+1)^2-3<0$.

Шаг 2. $(x+1)^2<3$.

Шаг 3. $-\sqrt{3}<x+1<\sqrt{3}$.

Шаг 4. Вычитаем 1: $-1-\sqrt{3}<x<-1+\sqrt{3}$.

Ответ: $(-1-\sqrt{3};\; -1+\sqrt{3})$.

Правильный ответ: (-1-√3;-1+√3)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Моторная лодка прошла против течения реки 255 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 1 км/ч.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: скорость против течения = v − u, по течению = v + u; время обратного пути меньше.

Шаг 1. Пусть собственная скорость лодки равна x км/ч.

Скорость против течения: x − 1. По течению: x + 1.

Шаг 2. Составляем уравнение (путь против течения занял на 2 ч больше):

255/(x − 1) − 255/(x + 1) = 2.

Шаг 3. Умножаем на (x−1)(x+1) = x²−1:

255(x+1) − 255(x−1) = 2(x²−1).

Шаг 4. Левая часть: 255·2·1 = 510. Получаем квадратное уравнение:

2x² − 510 − 2 = 0.

Шаг 5. Решение (берём положительный корень): x = 16.

Шаг 6. Проверка: 255/15 = 17 ч, 255/17 = 15 ч, разность 2 ч. ✓

Ответ: 16.

Правильный ответ: 16

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $ y=\dfrac{7x-5}{7x^2-5x} $. Определите, при каких значениях k прямая $ y=kx $ имеет с графиком ровно одну общую точку.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Вынесем x в знаменателе и сократим одинаковый множитель в числителе и знаменателе.

Получаем график функции $ y=\frac1x $, но с выколотой точкой при $ x=5/7 $.

Пересечение с прямой $ y=kx $ задаётся уравнением $ \frac1x = kx $, то есть $ x^2=\frac1k $.

Обычно при $ k>0 $ получаются две точки пересечения. Ровно одна общая точка будет тогда, когда одна из них совпадёт с выколотой точкой.

Это происходит при $ x=5/7 $, откуда $ k=49/25 $.

Ответ: $\frac{49}{25}$.

Правильный ответ: 49/25

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники

Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD = 48, BC = 18, CF : DF = 7 : 3.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: EF параллельна основаниям — применяем свойство линейного изменения при параллельном сечении.

Шаг 1. Точка F делит боковую сторону CD в отношении CF:DF = 7:3 (от C).

Точка E делит AB в том же отношении AE:EB = 7:3 (из подобия трапеций).

Шаг 2. Длина EF определяется взвешенным средним оснований:

EF = (DF·BC + CF·AD) / (CF + DF) = (3·18 + 7·48) / (7+3).

Шаг 3. EF = (54 + 336) / 10 = 390 / 10 = 39.

Ответ: 39.

Правильный ответ: 39

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Окружности

Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AB и CD четырёхугольника пересекаются в точке M. Докажите, что треугольники MBC и MDA подобны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: использовать равенство вписанных углов на одну дугу в ABCD.

Шаг 1. ABCD — вписанный четырёхугольник; ∠ABD = ∠ACD (на дугу AD).

Шаг 2. ∠MBC = ∠MDA: оба опираются на дугу BC (вписанные в одну окружность).

Шаг 3. ∠MCB = ∠MAD: оба опираются на дугу CD.

Шаг 4. По двум равным углам △MBC ∼ △MDA. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

В треугольнике ABC известны длины сторон AB = 15, AC = 25, точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BD, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC в точке D. Найдите CD.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: BD ⊥ AO; центр O описанной окружности — AO является серединным перпендикуляром к BC.

Шаг 1. O — центр описанной окружности △ABC. AO — это не медиана, а направление из A к O.

Шаг 2. BD ⊥ AO. Рассмотрим проекцию: в треугольнике ABD ∠BDA = 90° (BD ⊥ AO, т.е. BD ⊥ AD?).

Точнее: AO — биссектриса ∠BAC тогда и только тогда, когда AB = AC. Иначе используем другой подход.

Шаг 3. Из подобия △ABD ~ △ACB (доказывается через равенство углов):

AD/AB = AB/AC ⟹ AD = AB²/AC = 15²/25 = 225/25.

Шаг 4. CD = AC − AD = 25 − 225/25 = 16.

Ответ: 16.

Правильный ответ: 16

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.