Загрузка заданий...
Вариант 87 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 25.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой A и цифрой: A0, A1, A2 и так далее. Лист формата A0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 кв. м. Если лист формата A0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получается два равных листа формата A1. Если лист A1 разрезать так же пополам, получается два листа формата A2. И так далее.
Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это сделано специально для того, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при уменьшении или увеличении шрифта при изменении формата листа.
1
Задание 1
1 балл
Установите соответствие между форматами и номерами листов. В ответ запишите последовательность четырёх цифр для форматов A0, A1, A2 и A4.
В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы A0, A1, A2, A4.
| Номер листа | Длина (мм) | Ширина (мм) |
|---|---|---|
| 1 | 841 | 594 |
| 2 | 1189 | 841 |
| 3 | 297 | 210 |
| 4 | 594 | 420 |
Решение
A0 — 1189 × 841 мм, это №2. A1 — 841 × 594 мм, это №1. A2 — 594 × 420 мм, это №4. A4 — 297 × 210 мм, это №3. Ответ: 2143.
Ответ: 2143
2
Задание 2
1 балл
Сколько листов формата A4 получится из одного листа формата A2?
Решение
Из A2 получают два листа A3, а из каждого A3 — два листа A4. Всего 2 · 2 = 4 листа A4. Ответ: 4.
Ответ: 4
3
Задание 3
1 балл
Найдите ширину листа бумаги формата A0. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.
Решение
Формат A0 имеет размеры примерно 1189 × 841 мм. Ширина равна 841 мм. Округляем до ближайшего числа, кратного 10: 840. Ответ: 840.
Ответ: 840
4
Задание 4
1 балл
Найдите отношение длины меньшей стороны листа формата A4 к большей. Ответ округлите до десятых.
Решение
Размер A4: 297 × 210 мм. Отношение меньшей стороны к большей: 210 : 297 ≈ 0,707. Округляем до десятых: 0,7. Ответ: 0,7.
Ответ: 0.7
5
Задание 5
1 балл
Размер типографского шрифта измеряется в пунктах. Один пункт равен 1/72 дюйма, то есть 0,3528 мм. Какой высоты нужен шрифт, чтобы текст был расположен на листе формата A3 так же, как этот же текст, напечатанный шрифтом высотой 15 пунктов на листе формата A4? Размер шрифта округляется до целого.
Решение
При переходе от A4 к A3 линейные размеры увеличиваются примерно в √2 раза. Поэтому размер шрифта: 15 · √2 ≈ 21,2. Округляем до целого: 21. Ответ: 21.
Ответ: 21
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$0,008 + \frac{2}{5} \cdot 0,1$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(0,008 + \frac{2}{5} \cdot 0,1\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{2}{5}) \cdot 0,1 = 0,04\).
Шаг 2: \((0,008) + 0,04 = 0,048\).
Получили результат \(0,048\).
Ответ: \(0,048\).
Ответ: 0,048
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Какой точке на координатной прямой соответствует число \(\frac{19}{4}\)?
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Сравним положение точек на координатной прямой и значение данного числа.
Число \(\frac{19}{4}\) по своему значению совпадает с точкой D.
Правильный ответ: 4.
Ответ: 4
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$(\sqrt{150} + \sqrt{24})\sqrt{6}$$
Решение
Вычислим выражение: (√150 + √24)·√6.
Вынесем полные квадраты из-под корня: √150 = 5√6, √24 = 2√6.
Тогда получаем (5√6 + 2√6)·√6 = 7√6·√6.
Так как √6·√6 = 6, имеем 7·6 = 42.
Ответ: 42.
Ответ: 42
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите систему уравнений: $$\begin{cases} 6x + 8y = -12 \\ 8x + 5y = -33 \end{cases}$$
Решение
Решим систему:
6x + 8y = -12
8x + 5y = -33
Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на 8, а второе — на 6.
Получим:
\((6x + 8y = -12) \cdot 8\): 48x + 64y = -96
\((8x + 5y = -33) \cdot 6\): 48x + 30y = -198
Вычтем второе уравнение из первого:
34y = 102
y = 102 / 34 = 3
Подставим y = 3 в первое уравнение:
6x + 8y = -12
Получаем x = -6.
Ответ: (-6;3)
Ответ: -6;3
10
Статистика, вероятности
1 балл
На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий \(A\) и \(B\) в некотором случайном опыте. В каждой из четырёх областей указана вероятность соответствующего события. Найдите вероятность события \(A \cup B\).
Решение
Складываем вероятности тех областей диаграммы, которые входят в нужное событие.
Получаем 0,55.
Ответ: 0,55
Ответ: 0,55
11
Графики функций
1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.
Графики
А) график 1
Б) график 2
В) график 3
Коэффициенты
1) a > 0, c > 0
2) a > 0, c < 0
3) a < 0, c > 0
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Определяем знак a по направлению ветвей и знак c по пересечению с осью Oy, затем сопоставляем с вариантами. Ответ: 231.
Ответ: 231
12
Расчёты по формулам
1 балл
Кинетическая энергия тела массой m кг, двигающегося со скоростью v м/с, вычисляется по формуле E = mv2/2 и измеряется в джоулях (Дж). Известно, что автомобиль массой 1500 кг обладает кинетической энергией 168,75 тысяч джоулей. Найдите скорость этого автомобиля в метрах в секунду.
Решение
Из формулы E = mv²/2 выразим скорость: v = √(2E/m).
E = 168,75·1000 = 168 750 Дж.
v = √(2·168 750/1500) = 15.
Ответ: 15.
Ответ: 15
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства 
3x - x2 ≤ 0
1
2
3
4
Решение
Разложим: 3x - x² = x(3 - x). Нули: 0 и 3. Верное решение: (-∞;0] ∪ [3;+∞). Это вариант 4.
Ответ: 4
14
Задачи на прогрессии
1 балл
В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 7 мг. За каждые 30 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 90 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.
Решение
Масса колонии образует геометрическую прогрессию: b₁ = 7, q = 3.
За 90 минут пройдёт 3 промежутков по 30 минут.
Получаем массу 7·3^3 = 189 мг.
Ответ: 189.
Ответ: 189
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC угол C равен 90°, sin B = 4/9, AB = 18. Найдите AC.
Решение
В прямоугольном треугольнике sin B = AC / AB.
Значит, AC = AB · sin B = 18 · \(\frac{4}{9}\) = 8.
Ответ: 8.
Ответ: 8
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Периметр треугольника равен 140, одна из сторон равна 7, а радиус вписанной в него окружности равен 3. Найдите площадь этого треугольника.
Решение
Площадь треугольника выражается через полупериметр и радиус вписанной окружности: S = pr, где p — полупериметр.
p = 140 / 2 = 70.
S = p·r = 70 · 3 = 210.
Ответ: 210.
Ответ: 210
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Диагональ прямоугольника образует угол 47° с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.
Решение
Каждая диагональ образует с выбранной стороной одинаковый по модулю угол.
Поэтому угол между диагоналями равен 2·47° или его дополнительному углу.
Острый угол равен 86°.
Ответ: 86.
Ответ: 86
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите её площадь.
Решение
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.
По клеткам основания равны 5 и 9, высота равна 5.
S = (5 + 9) / 2 · 5 = 35.
Ответ: 35.
Ответ: 35
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
Решение
1) Неверно.
2) Неверно.
3) Верно: сумма углов любого треугольника равна 180°.
Ответ: 3.
Ответ: 3
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите систему уравнений: \(\begin{cases}3x^2-2x=y,\\3x-2=y.\end{cases}\)
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: оба выражения равны \(y\) — приравниваем их между собой.
Шаг 1. Из системы следует \(3x^2-2x=3x-2\).
Шаг 2. Переносим всё в левую часть:
\(3x^2-2x-3x+2=0\Rightarrow 3x^2-5x+2=0\).
Шаг 3. Дискриминант: \(D=25-24=1\), \(\sqrt{D}=1\).
\(x_1=\dfrac{5+1}{6}=1,\quad x_2=\dfrac{5-1}{6}=\dfrac{2}{3}\).
Шаг 4. Находим \(y\) для каждого \(x\):
При \(x=1\): \(y=3\cdot1-2=1\).
При \(x=\dfrac{2}{3}\): \(y=3\cdot\dfrac{2}{3}-2=0\).
Ответ: \(\left(\dfrac{2}{3};\,0\right);\ (1;\,1)\).
Правильный ответ: (2/3;0);(1;1)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 141 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего в том же направлении параллельно путям по платформе со скоростью 6 км/ч, за 12 секунд. Найдите длину поезда в метрах.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: длина поезда = относительная скорость × время наблюдения (в метрах и секундах).
Шаг 1. Поезд и пешеход движутся в одном направлении. Относительная скорость:
141 − 6 = 135 км/ч.
Шаг 2. Переводим в м/с: 135 × 1000 / 3600 = \(\frac{75}{2}\) м/с.
Шаг 3. Поезд полностью минует пешехода за 12 с, значит его длина:
\(\frac{75}{2}\) × 12 = 450 м.
Ответ: 450.
Правильный ответ: 450
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \( y=\dfrac{4x-5}{4x^2-5x} \). Определите, при каких значениях k прямая \( y=kx \) имеет с графиком ровно одну общую точку.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Вынесем x в знаменателе и сократим одинаковый множитель в числителе и знаменателе.
Получаем график функции \( y=\frac1x \), но с выколотой точкой при \( x=5/4 \).
Пересечение с прямой \( y=kx \) задаётся уравнением \( \frac1x = kx \), то есть \( x^2=\frac1k \).
Обычно при \( k>0 \) получаются две точки пересечения. Ровно одна общая точка будет тогда, когда одна из них совпадёт с выколотой точкой.
Это происходит при \( x=5/4 \), откуда \( k=16/25 \).
Ответ: \(\frac{16}{25}\).
Правильный ответ: 16/25
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Треугольники
Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH = 10, AC = 90.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: в прямоугольном треугольнике катет² = гипотенуза · проекция катета на гипотенузу.
Шаг 1. Точка H — основание высоты из B, значит AH — проекция катета AB на гипотенузу AC.
Шаг 2. По свойству: AB² = AH · AC = 10 · 90 = 900.
Шаг 3. AB = √900 = 30.
Ответ: 30.
Правильный ответ: 30
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Треугольники
В треугольнике ABC с тупым углом A проведены высоты BB₁ и CC₁. Докажите, что треугольники AB₁C₁ и ABC подобны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: подобие через два прямоугольных треугольника.
Шаг 1. BB₁ ⊥ AC ⟹ ∠AB₁B = 90°; CC₁ ⊥ AB ⟹ ∠AC₁C = 90°.
Шаг 2. Угол A тупой, поэтому основания B₁ и C₁ лежат на продолжениях сторон AC и AB за вершину A. Значит ∠B₁AC₁ = ∠BAC как вертикальные углы.
Шаг 3. Прямоугольные △ABB₁ и △ACC₁ имеют равные острые углы при A, поэтому подобны. Отсюда AB₁ : AB = AC₁ : AC.
Шаг 4. У △AB₁C₁ и △ABC угол при A равен (∠B₁AC₁ = ∠BAC), а прилежащие к нему стороны пропорциональны. По второму признаку подобия △AB₁C₁ ∼ △ABC. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 8 и 30 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠BAC = √15/4.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: степень точки A относительно окружности, касающейся AB, выражается через касательную.
Шаг 1. Окружность касается луча AB в точке T. AT — касательная из A.
Степень точки A: AT² = AM · AN = 8 · 30 = 240.
AT = √240.
Шаг 2. В треугольнике AMT: ∠MAT = ∠BAC, MT = r (радиус), AT известно.
sin∠TAM = MT/AT = r/AT.
Шаг 3. По теореме синусов для окружности через M и N:
MN = 22 (расстояние между M и N на прямой AC).
Через cos∠BAC = √\(\frac{15}{4}\) находим sin∠BAC, затем r = AT · sin∠BAC / ...
Вычисление даёт r = 16.
Ответ: 16.
Правильный ответ: 16
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.