Загрузка заданий...
Вариант 87 — ОГЭ по математике
Реши задания, а в конце нажми “Проверить экзамен”. Решение можно открыть у отдельного задания, если нужно разобрать ход решения.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 07.06.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
На рисунке изображён план двухкомнатной квартиры в многоэтажном жилом доме. Сторона одной клетки на плане соответствует 0,2 м, а условные обозначения двери и окна приведены в правой части рисунка. Вход в квартиру находится в коридоре. Слева от входа в квартиру находится санузел, а в противоположном конце коридора — дверь в кладовую. Рядом с кладовой находится спальня, из которой можно пройти на одну из застеклённых лоджий. Самое большое по площади помещение — гостиная, откуда можно попасть в коридор и на кухню. Из кухни также можно попасть на застеклённую лоджию.
1
Задание 1
1 балл
Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
| Объекты | коридор | кладовая | спальня | кухня |
|---|---|---|---|---|
| Цифры |
Решение
Сопоставляем описание помещений с планом квартиры.
Получаем соответствие: коридор — 4, кладовая — 1, спальня — 2, кухня — 8.
В таблице объекты стоят в порядке: коридор, кладовая, спальня, кухня.
Следовательно, ответ: 4128.
Ответ: 4128
2
Задание 2
1 балл
Паркетная доска размером 20 см на 80 см продаётся в упаковках по 8 штук. Сколько упаковок паркетной доски понадобилось, чтобы выложить пол в гостиной?
Решение
По плану площадь покрытия гостиной составляет 154 клетки.
Площадь одной клетки: 0,8 · 0,8 = 0,64 кв. м, поэтому площадь равна 154 · 0,64 = 98,56 кв. м.
Площадь одной доски: 0,2 · 0,8 = 0,16 кв. м.
Нужно элементов: 98,56 / 0,16 = 616.
В одной упаковке 8 штук, значит понадобится 77 упаковок.
Ответ: 77.
Ответ: 77
3
Задание 3
1 балл
Найдите площадь санузла. Ответ дайте в квадратных метрах.
Решение
По плану площадь нужного помещения составляет 36 клеток.
Площадь одной клетки: 0,2 · 0,2 = 0,04 кв. м.
Значит, площадь равна 36 · 0,04 = 1,44 кв. м.
Ответ: 1,44.
Ответ: 1,44
4
Задание 4
1 балл
На сколько процентов площадь коридора больше площади кладовой?
Решение
Площадь помещений пропорциональна числу клеток на плане.
Первое помещение: 144 клетки, второе: 24 клетки.
На сколько процентов первое больше второго: ((144 − 24) / 24) · 100% = 500%.
Ответ: 500.
Ответ: 500
5
Задание 5
1 балл
| Модель | Вместимость барабана (кг) | Тип загрузки | Стоимость (руб.) | Стоимость подключения (руб.) | Стоимость доставки (% от стоимости машины) | Габариты (высота × ширина × глубина, см) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| А | 7 | верт. | 28 000 | 1 700 | бесплатно | 85 × 60 × 45 |
| Б | 5 | фронт. | 24 000 | 4 500 | 10 | 85 × 60 × 40 |
| В | 5 | фронт. | 25 000 | 5 000 | 10 | 85 × 60 × 40 |
| Г | 6,5 | фронт. | 24 000 | 4 500 | 10 | 85 × 60 × 44 |
| Д | 6 | фронт. | 28 000 | 1 700 | бесплатно | 85 × 60 × 45 |
| Е | 6 | верт. | 27 600 | 2 300 | бесплатно | 89 × 60 × 40 |
| Ж | 6 | верт. | 27 585 | 1 900 | 10 | 89 × 60 × 40 |
| З | 6 | фронт. | 20 000 | 6 300 | 15 | 85 × 60 × 42 |
| И | 5 | фронт. | 27 000 | 1 800 | бесплатно | 85 × 60 × 40 |
| К | 5 | верт. | 27 000 | 1 800 | бесплатно | 85 × 60 × 40 |
В квартире планируется установить стиральную машину. Характеристики стиральных машин, условия подключения и доставки приведены в таблице. Планируется купить стиральную машину с вертикальной загрузкой вместимостью не менее 6 кг.
Решение
Проверяем модели, которые удовлетворяют условию задачи.
Модель А: 28 000 + 1 700 + доставка бесплатная = 29 700 руб.
Модель Е: 27 600 + 2 300 + доставка бесплатная = 29 900 руб.
Модель Ж: 27 585 + 1 900 + доставка: 10% от 27 585 = 2758,5 руб. = 32243,5 руб.
Наименьшая стоимость у модели А: 29 700 руб.
Ответ: 29 700.
Ответ: 29700
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{2}{1} + \frac{3}{5}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(\frac{2}{1} + \frac{3}{5}\).
Последовательно выполняем действия (сложение):
Шаг 1: \((\frac{2}{1}) + \frac{3}{5} = \frac{13}{5}\).
Получили дробь \(\frac{13}{5}\).
Эта дробь равна конечной десятичной дроби \(2,6\).
Ответ: \(2,6\).
Ответ: 2,6
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
По чертежу видно, что -4 < a < -3.
Проверим варианты ответа:
1) \(\frac{1}{a} > 0\) ⇔ a > 0 — неверно.
2) -a > 4 ⇔ a < -4 — неверно.
3) a < -3 ⇔ a < -3 — верно.
4) -a < 3 ⇔ a > -3 — неверно.
Правильный ответ: 3.
Ответ: 3
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$(\sqrt{360} + \sqrt{250})\sqrt{10}$$
Решение
Вычислим выражение: (√360 + √250)·√10.
Вынесем полные квадраты из-под корня: √360 = 6√10, √250 = 5√10.
Тогда получаем (6√10 + 5√10)·√10 = 11√10·√10.
Так как √10·√10 = 10, имеем 11·10 = 110.
Ответ: 110.
Ответ: 110
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Найдите корни уравнения:
x2 + 3x - 54 = 0
Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.
Решение
Решим уравнение: x2 + 3x - 54 = 0
Коэффициенты: a = 1, b = 3, c = -54.
Найдём дискриминант:
D = b² - 4ac = 3² - 4·1·-54 = 225.
Так как D > 0, уравнение имеет два корня.
x₁ = (-3 - √225) / 2 = -9
x₂ = (-3 + √225) / 2 = 6
Ответ: -9;6
Ответ: -9;6
10
Статистика, вероятности
1 балл
На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий \(A\) и \(B\) в некотором случайном опыте. Точками показаны все элементарные события и около каждого указана его вероятность. Найдите вероятность события \(A \cap \overline{B}\).
Решение
Складываем вероятности всех точек, принадлежащих нужному событию.
Получаем 0,5.
Ответ: 0,5
Ответ: 0,5
11
Графики функций
1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов k и b.
Графики
А) график 1
Б) график 2
В) график 3
Коэффициенты
1) k < 0, b > 0
2) k > 0, b > 0
3) k < 0, b < 0
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Для каждого графика определяем знак коэффициента k по наклону и знак b по пересечению с осью Oy. Ответ: 312.
Ответ: 312
12
Расчёты по формулам
1 балл
Энергия заряженного конденсатора W (в джоулях) вычисляется по формуле W = CU2/2, где C — ёмкость конденсатора (в фарадах), а U — разность потенциалов на обкладках конденсатора (в вольтах). Найдите энергию конденсатора ёмкостью 0,0002 фарад, если разность потенциалов на обкладках конденсатора равна 13 вольт. Ответ дайте в джоулях.
Решение
Подставим C = 0,0002 и U = 13 в формулу W = CU²/2.
W = 0,0002·13² / 2 = 0,0169.
Ответ: 0,0169.
Ответ: 0,0169
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.
Решение
Смотрим на отмеченные корни и закрашенные промежутки. Этому соответствует вариант 2.
Ответ: 2
14
Задачи на прогрессии
1 балл
В амфитеатре 10 рядов. В первом ряду 18 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в восьмом ряду амфитеатра?
Решение
Это арифметическая прогрессия: a₁ = 18, d = 2.
Найдём 8-й член: a8 = a₁ + (8 - 1)·d = 18 + 7·2 = 32.
Ответ: 32.
Ответ: 32
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH, ∠BAC = 46°. Найдите угол ABH. Ответ дайте в градусах.
Решение
BH — высота, значит BH ⟂ AC.\nУгол между AB и AC равен 46°.\nТогда угол между AB и BH равен 90° - 46° = 44°.\nОтвет: 44.
Ответ: 44
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Сторона равностороннего треугольника равна 6√3. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Решение
Для равностороннего треугольника R = a√3 / 3.\nR = 6√3 · √3 / 3 = \(\frac{18}{3}\) = 6.\nОтвет: 6.
Ответ: 6
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Площадь параллелограмма равна 56, а две его стороны равны 7 и 28. Найдите его высоты. В ответе укажите меньшую высоту.
Решение
Высоты к сторонам a и b находятся из формул S = a·h₁ и S = b·h₂.\nh₁ = 56 / 7 = 8, h₂ = 56 / 28 = 2.\nТребуемая высота равна 2.\nОтвет: 2.
Ответ: 2
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён прямоугольный треугольник. Найдите длину его большего катета.
Решение
Катеты лежат на линиях сетки, поэтому их длины равны числу клеток по горизонтали и вертикали.\nКатеты равны 6 и 8.\nБольший катет равен 8.\nОтвет: 8.
Ответ: 8
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какие из следующих утверждений верны?
Решение
1) Верно: любая сторона треугольника меньше суммы двух других.
2) Верно: свойство биссектрисы угла.
3) Неверно: параллелограмм с равными диагоналями — прямоугольник, не обязательно ромб.
Ответ: 12.
Ответ: 12
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите неравенство: \(\frac{-14}{(x-5)^2-2}\ge 0\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: числитель \(-14<0\), дробь \(\ge0\) только при отрицательном знаменателе.
Шаг 1. Условие: \((x-5)^2-2<0\).
Шаг 2. \((x-5)^2<2\).
Шаг 3. \(-\sqrt{2}<x-5<\sqrt{2}\).
Шаг 4. Прибавляем 5: \(5-\sqrt{2}<x<5+\sqrt{2}\).
Ответ: \((5-\sqrt{2};\; 5+\sqrt{2})\).
Правильный ответ: (5-√2;5+√2)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 70 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 24 км/ч, стоянка длится 8 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 14 часов после отплытия из него.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: путь по течению + стоянка + путь против течения = полное время.
Шаг 1. Пусть скорость течения равна x км/ч.
По течению: 24 + x. Против течения: 24 − x.
Шаг 2. Составляем уравнение:
70/(24+x) + 8 + 70/(24−x) = 14.
Шаг 3. Переносим стоянку: 70/(24+x) + 70/(24−x) = 6.
Шаг 4. Умножаем на (24+x)(24−x) = 576−x²:
70(24−x) + 70(24+x) = 6(576−x²).
Шаг 5. Левая часть: 2·70·24 = 3360. Квадратное уравнение относительно x.
Шаг 6. Решение: x = 4.
Шаг 7. Проверка: \(\frac{5}{2}\) + 8 + \(\frac{7}{2}\) = 14. ✓
Ответ: 4.
Правильный ответ: 4
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \(\; y=\begin{cases}x^2+2x+1,& x\ge -2,\\-\dfrac{2}{x},& x<-2.\end{cases}\) Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком одну или две общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.
Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.
По анализу графика получаем: {0}∪[1;+∞).
Ответ: {0}∪[1;+∞).
Правильный ответ: {0}∪[1;+∞)
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Окружности
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK = 20, а сторона AC в 2 раза больше стороны BC.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: четыре точки K, P, B, C лежат на окружности — треугольники AKP и ABC подобны.
Шаг 1. Угол A общий для △AKP и △ABC.
∠AKP = ∠ABC (вписанные углы, опирающиеся на одну дугу KPBC).
По двум углам: △AKP ∼ △ABC.
Шаг 2. Коэффициент подобия = AK/AB = KP/BC.
По условию AC = 2·BC, поэтому AK/AC = KP/BC.
KP = AK · BC/AC = AK / 2 = 20 / 2 = 10.
Ответ: 10.
Правильный ответ: 10
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 2 и 18, BD = 6. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: найти два равных угла у треугольников CBD и BDA.
Шаг 1. BC ∥ AD ⟹ ∠CBD = ∠BDA (накрест лежащие при секущей BD).
Шаг 2. Проверим соотношение сторон: BC/BD = \(\frac{2}{6}\) = \(\frac{1}{3}\), BD/AD = \(\frac{6}{18}\) = \(\frac{1}{3}\).
BD² = 6² = 36 = 2·18 = BC·AD. Значит BC/BD = BD/AD.
Шаг 3. Угол ∠CBD = ∠BDA (Шаг 1), а смежные стороны пропорциональны (Шаг 2).
По признаку подобия «угол и прилежащие стороны» △CBD ∼ △BDA. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 36. Найдите стороны треугольника ABC.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: ввести координаты с началом в точке пересечения медианы и биссектрисы.
Шаг 1. Пусть медиана AD и биссектриса BE пересекаются в точке O.
Введём систему координат: O = (0,0), D на оси Ox, E на оси Oy (AD ⊥ BE).
|AD| = |BE| = 36, значит D = (18, 0), E = (0, 18).
Шаг 2. A = (-L/2, 0) = противоположный конец медианы.
D — середина BC, E делит AC по теореме о биссектрисе в отношении AB:BC.
Шаг 3. Из условий симметрии и теоремы о биссектрисе находим вершины треугольника.
Отношения сторон: AB : BC : CA = √13 : 2√13 : 3√5.
Шаг 4. Масштабирование: коэффициент = \(\frac{36}{4}\) = 9.
Стороны: 9√13; 18√13; 27√5.
Ответ: 9√13; 18√13; 27√5.
Правильный ответ: 9√13; 18√13; 27√5
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл: