Загрузка заданий...

Вариант 88 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 25.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.

Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 185/70 R14.

Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.

1 Задание 1 1 балл

Шины какой наименьшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 16 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.

Решение

Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 195.

Ответ: 195

2 Задание 2 1 балл

Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 225/40 R18?

Решение

В маркировке 225/40 R18 ширина шины равна 225 мм, а высота боковины составляет 40% от ширины. H = 225 · 40 / 100 = 90 мм. Ответ: 90.

Ответ: 90

3 Задание 3 1 балл

На сколько миллиметров увеличится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 195/60 R15?

Решение

Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 185/70 R14 и нового колеса 195/60 R15. Ответ: 0.4.

Ответ: 0.4

4 Задание 4 1 балл

Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.

Решение

Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 185/70 R14 получаем диаметр 614.6 мм. Ответ: 614.6.

Ответ: 614.6

5 Задание 5 1 балл

На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 195/70 R14? Результат округлите до десятых.

Решение

Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 185/70 R14 и колеса 195/70 R14, затем находим процентное изменение. Ответ: 2.3.

Ответ: 2.3

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{3}{1} \cdot \frac{2}{3} : \frac{1}{1}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $\frac{3}{1} \cdot \frac{2}{3} : \frac{1}{1}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{3}{1}) \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{1}$.

Шаг 2: $(\frac{2}{1}) : \frac{1}{1} = \frac{2}{1}$.

Получили дробь 2.

Эта дробь равна конечной десятичной дроби $2$.

Ответ: $2$.

Ответ: 2

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какое из следующих чисел заключено между числами -3,45 и 0,675?
В ответе укажите номер правильного варианта.

-3,76

$2\sqrt{3}$

-3,4

Решение

Сравним числа -3,45 и 0,675. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.

Проверяем варианты и получаем, что только вариант 4 (-3,4) лежит между этими числами.

Ответ: 4

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$3\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{7} \cdot \sqrt{21}$$

Решение

Вычислим выражение: 3√3 · 4√7 · √21.

Перемножим коэффициенты: 3 · 4 = 12.

Подкоренные выражения дают: √3 · √7 · √21 = √(3·7·21) = √(441) = 21.

Тогда всё выражение равно 12 · 21 = 252.

Ответ: 252.

Ответ: 252

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: 2 + 2(-3x + 2) = x + 34

Решение

Решим уравнение: 2 + 2(-3x + 2) = x + 34

Раскроем скобки:

2 + 2(-3x + 2) = x + 34

2 - 6x + 4 = x + 34

Приведём подобные слагаемые в левой части:

-6x + 6 = x + 34

Перенесём слагаемые с x в левую часть, числа — в правую:

-7x = 28

Разделим обе части на -7:

x = 28 / -7

x = -4

Ответ: -4

10 Статистика, вероятности 1 балл

В фирме такси в данный момент свободно 10 машин: 1 чёрных, 1 жёлтых и 8 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.

Решение

Всего равновозможных исходов: 10.

Благоприятных исходов: 1 (жёлтое такси).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = $\frac{1}{10}$ = 0,1.

Ответ: 0,1.

Ответ: 0,1

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

Графики

А) график 1

Б) график 2

В) график 3

Формулы

1) $y = 3x + 3$

2) $y = 3x + 2$

3) $y = x + 4$

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Для каждого графика определяем наклон и пересечение с осью Oy, затем находим соответствующую формулу. Ответ: 213.

Ответ: 213

12 Расчёты по формулам 1 балл

Энергия заряженного конденсатора W (в джоулях) вычисляется по формуле W = CU²/2, где C — ёмкость конденсатора (в фарадах), а U — разность потенциалов на обкладках конденсатора (в вольтах). Найдите энергию конденсатора ёмкостью 0,0001 фарад, если разность потенциалов на обкладках конденсатора равна 18 вольт. Ответ дайте в джоулях.

Решение

Подставим C = 0,0001 и U = 18 в формулу W = CU²/2.

W = 0,0001·18² / 2 = 0,0162.

Ответ: 0,0162.

Ответ: 0,0162

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства:

(x + 1)(x - 1) ≥ 0

Решение

Нули выражения: x = -1 и x = 1. На числовой прямой отмечаем точки -1 и 1 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 1)(x - 1) >= 0 получаем решение (-∞;-1] ∪ [1;+∞). Это вариант 4.

Ответ: 4

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 8 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 640 мг. Найдите массу изотопа через 40 минут. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение

Масса образует геометрическую прогрессию с первым членом 640 и знаменателем $\frac{1}{2}$.

За 40 минут пройдёт 5 промежутков по 8 минут.

Тогда масса станет равна 640·($\frac{1}{2}$)^5 = 20 мг.

Ответ: 20.

Ответ: 20

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC угол C равен 104°. Найдите внешний угол при вершине C. Ответ дайте в градусах.

Решение

Внешний угол при вершине C смежный с внутренним углом C.

Поэтому он равен 180° - 104° = 76°.

Ответ: 76.

Ответ: 76

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Сторона квадрата равна 6. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.

Решение

Диаметр окружности, вписанной в квадрат, равен стороне квадрата.

Поэтому радиус равен половине стороны: r = 6 / 2 = 3.

Ответ: 3.

Ответ: 3

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Диагональ AC ромба ABCD равна 12, а tg ∠BCA = 0,2. Найдите площадь ромба.

Решение

В ромбе диагонали перпендикулярны и делят углы пополам.

Поэтому tg ∠BCA = BO / CO = BD / AC.

Следовательно, BD = AC · tg ∠BCA = 12 · 0,2 = 2,4.

S = AC · BD / 2 = 12 · 2,4 / 2 = 14,4.

Ответ: 14,4.

Ответ: 14,4

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?

Решение

Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса.

По клеткам радиусы кругов равны 6 и 2.

Искомое отношение площадей равно (6 / 2)² = 9.

Ответ: 9.

Ответ: 9

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Все углы ромба равны.

Площадь квадрата равна произведению двух его смежных сторон.

Любые два равносторонних треугольника подобны.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

1) Неверно.

2) Верно.

3) Верно.

Ответ: 23.

Ответ: 23

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите уравнение: $\frac{1}{x^2}+\frac{4}{x}-12=0$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: делаем замену $t=\frac{1}{x}$, чтобы свести к квадратному уравнению.

Шаг 1. Обозначим $t=\frac{1}{x}$. Тогда $\frac{1}{x^2}=t^2$. Уравнение становится:

$t^2+4t-12=0$.

Шаг 2. Находим корни. Дискриминант: $D=4^2+4\cdot12=16+48=64$, $\sqrt{D}=8$.

$t_1=\dfrac{-4+8}{2}=2,\quad t_2=\dfrac{-4-8}{2}=-6$.

Шаг 3. Обратная замена $x=\frac{1}{t}$:

Если $t=2$: $x=\dfrac{1}{2}$.

Если $t=-6$: $x=-\dfrac{1}{6}$.

Шаг 4. Проверяем ОДЗ: $x\ne0$ — оба корня удовлетворяют.

Ответ: $-\dfrac{1}{6};\quad \dfrac{1}{2}$.

Правильный ответ: -1/6;1/2

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Проценты, смеси и сплавы

Имеются два сосуда, содержащие 10 кг и 16 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 55% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 61% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: составить систему уравнений на концентрации двух растворов.

Шаг 1. Пусть концентрация кислоты в 1-м сосуде — x, во 2-м — y.

Шаг 2. При полном смешивании 26 кг получается раствор с концентрацией 55%:

10·x + 16·y = 26·0,55 = 14,3 ...(1).

Шаг 3. При смешивании равных масс концентрация 61%:

(x + y)/2 = 0,61 ⟹ x + y = 1,22 ...(2).

Шаг 4. Из (2): y = 1,22 − x. Подставляем в (1):

10·x + 16·(1,22 − x) = 14,3

10x + 19,52 − 16x = 14,3

−6x = −5,22 ⟹ x = 0,87.

Шаг 5. Масса кислоты в 1-м сосуде: 10·0,87 = 8,7 кг.

Ответ: 8,7.

Правильный ответ: 8,7

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $\; y=\begin{cases}x^2+4x+4,& x\ge -5,\\-\dfrac{45}{x},& x<-5.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком одну или две общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.

Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.

По анализу графика получаем: {0}∪[9;+∞).

Ответ: {0}∪[9;+∞).

Правильный ответ: {0}∪[9;+∞)

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Треугольники

Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 120 и 123. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: найти второй катет, затем использовать равенство площадей для нахождения высоты.

Шаг 1. Второй катет: √(123² − 120²) = √729 = 27.

Шаг 2. Площадь треугольника через два катета: S = 120·$\frac{27}{2}$ = 1620.

Шаг 3. Площадь через гипотенузу 123 и высоту h к ней: S = 123·h/2.

Шаг 4. Из равенства площадей: h = 120·27/123 = 1080/41.

Ответ: 1080/41.

Правильный ответ: 1080/41

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Окружности

Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AB и CD четырёхугольника пересекаются в точке M. Докажите, что треугольники MBC и MDA подобны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: использовать равенство вписанных углов на одну дугу в ABCD.

Шаг 1. ABCD — вписанный четырёхугольник; ∠ABD = ∠ACD (на дугу AD).

Шаг 2. ∠MBC = ∠MDA: оба опираются на дугу BC (вписанные в одну окружность).

Шаг 3. ∠MCB = ∠MAD: оба опираются на дугу CD.

Шаг 4. По двум равным углам △MBC ∼ △MDA. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

Углы при одном из оснований трапеции равны 47° и 43°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 20 и 3. Найдите основания трапеции.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: при сумме углов при основании 90° — особые свойства средних линий трапеции.

Шаг 1. Углы 47° + 43° = 90° при одном основании.

При таком условии диагонали трапеции перпендикулярны.

Шаг 2. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции:

• Отрезок, соединяющий середины оснований = средняя линия = (a+b)/2.

• Отрезок, соединяющий середины боковых сторон зависит от (b-a)/2.

Для данного случая: отрезки равны 20 и 3.

Шаг 3. Решаем: (a+b)/2 = 20 и (b-a)/2 = 3 (или наоборот).

a+b = 40, b-a = 6.

b = 23, a = 17.

Ответ: 17; 23.

Правильный ответ: 17; 23

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.