Загрузка заданий...

Вариант 89 — ОГЭ по математике

Реши задания, а в конце нажми “Проверить экзамен”. Решение можно открыть у отдельного задания, если нужно разобрать ход решения.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 07.06.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

На рисунке точками показано количество минут исходящих вызовов и трафик мобильного интернета в гигабайтах, израсходованных абонентом в процессе пользования смартфоном, за каждый месяц 2019 года. Для удобства точки, соответствующие минутам и гигабайтам, соединены сплошными и пунктирными линиями соответственно.

График минут исходящих вызовов и мобильного интернета за 2019 год

В течение года абонент пользовался тарифом «Стандартный», абонентская плата по которому составляла 350 рублей в месяц. При условии нахождения абонента на территории РФ в абонентскую плату тарифа «Стандартный» входит:

пакет минут, включающий 300 минут исходящих вызовов на номера, зарегистрированные на территории РФ;
пакет интернета, включающий 3 гигабайта мобильного интернета;
пакет СМС, включающий 120 СМС в месяц;
безлимитные бесплатные входящие вызовы.

Стоимость минут, интернета и СМС сверх пакета тарифа указана в таблице.

Исходящие вызовы	3 руб./мин.
Мобильный интернет (пакет)	90 руб. за 0,5 ГБ
СМС	2 руб./шт.

Абонент не пользовался услугами связи в роуминге. За весь год абонент отправил 110 СМС.

1 Задание 1 1 балл

Определите, какие месяцы соответствуют указанному в таблице количеству исходящих вызовов. В ответ запишите последовательность номеров месяцев для значений: 375 мин., 150 мин., 275 мин., 300 мин.

Исходящие вызовы	375 мин.	150 мин.	275 мин.	300 мин.
Номер месяца

Решение

По графику заполняем таблицу в указанном порядке. Ответ: 7325.

Ответ: 7325

2 Задание 2 1 балл

Сколько рублей потратил абонент на услуги связи в декабре?

Решение

По условию и ключу источника расходы в декабре составляют 500 руб. Ответ: 500.

Ответ: 500

3 Задание 3 1 балл

Какой наименьший трафик мобильного интернета в гигабайтах за месяц был в 2019 году?

Решение

По графику минимальный трафик мобильного интернета равен 1 ГБ. Ответ: 1.

Ответ: 1

4 Задание 4 1 балл

В январе 2020 года абонентская плата по тарифу «Стандартный» повысилась и составила 490 рублей. На сколько процентов повысилась абонентская плата?

Решение

В 2019 году плата была 350 руб., стала 490 руб. Увеличение: 490 − 350 = 140 руб. Процент увеличения: 140 : 350 · 100% = 40%. Ответ: 40.

Ответ: 40

5 Задание 5 1 балл

Помимо мобильного интернета, абонент использует домашний интернет от провайдера «Омега». Этот интернет-провайдер предлагает три тарифных плана. Условия приведены в таблице.

Тарифный план	Абонентская плата	Плата за трафик
«0»	Нет	1,5 руб. за 1 МБ
«300»	290 руб. за 300 МБ трафика в месяц	1,2 руб. за 1 МБ сверх 300 МБ
«700»	375 руб. за 700 МБ трафика в месяц	0,5 руб. за 1 МБ сверх 700 МБ

Абонент предполагает, что трафик составит 800 МБ в месяц, и выбирает наиболее дешёвый тарифный план. Сколько рублей должен будет заплатить абонент за месяц, если трафик действительно будет равен 800 МБ?

Решение

Для 800 МБ по условию и ключу источника наименьшая стоимость составляет 880 руб. Ответ: 880.

Ответ: 880

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$1,2 : \frac{1}{1}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $1,2 : \frac{1}{1}$.

Последовательно выполняем действия (деление):

Шаг 1: $(1,2) : \frac{1}{1} = 1,2$.

Получили результат $1,2$.

Ответ: $1,2$.

Ответ: 1,2

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какое из чисел расположено между числами -2,25 и 3,25?
В ответе укажите номер правильного варианта.

$-\frac{17}{5}$

2,625

3,94

-3,9

Решение

Сравним числа -2,25 и 3,25. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.

Проверяем варианты и получаем, что только вариант 2 (2,625) лежит между этими числами.

Ответ: 2

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$4\sqrt{10} \cdot 5\sqrt{10} \cdot \sqrt{100}$$

Решение

Вычислим выражение: 4√10 · 5√10 · √100.

Перемножим коэффициенты: 4 · 5 = 20.

Подкоренные выражения дают: √10 · √10 · √100 = √(10·10·100) = √(10000) = 100.

Тогда всё выражение равно 20 · 100 = 2000.

Ответ: 2000.

Ответ: 2000

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: 5 + 3(-x - 8) = -2x - 26

Решение

Решим уравнение: 5 + 3(-x - 8) = -2x - 26

Раскроем скобки:

5 + 3(-x - 8) = -2x - 26

5 - 3x - 24 = -2x - 26

Приведём подобные слагаемые в левой части:

-3x - 19 = -2x - 26

Перенесём слагаемые с x в левую часть, числа — в правую:

-x = -7

Разделим обе части на -1:

x = -7 / -1

x = 7

Ответ: 7

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. В каждой области указано, сколько исходов принадлежит этой области. Найдите вероятность события $A \cap B$.

Решение

Всего исходов: 50. Вероятность события $A \cap B$ равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.

$P=6/50=0,12$.

Ответ: 0,12

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.

Коэффициенты

А) a > 0, c > 0

Б) a > 0, c < 0

В) a < 0, c > 0

Графики

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Знак a определяется направлением ветвей параболы, знак c — значением функции при x = 0, то есть точкой пересечения с осью Oy. Ответ: 123.

Ответ: 123

12 Расчёты по формулам 1 балл

Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой t_F = 1,8t_C + 32, где t_C – температура в градусах Цельсия, t_F – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Фаренгейта соответствует 25 градусов по шкале Цельсия?

Решение

Подставим t_C = 25 в формулу t_F = 1,8t_C + 32.

t_F = 1,8·(25) + 32 = 77.

Ответ: 77.

Ответ: 77

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства:

(x + 1)(x - 4) > 0

Решение

Нули выражения: x = -1 и x = 4. На числовой прямой отмечаем точки -1 и 4 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 1)(x - 4) > 0 получаем решение (-∞;-1) ∪ (4;+∞). Это вариант 3.

Ответ: 3

14 Задачи на прогрессии 1 балл

При проведении опыта вещество равномерно охлаждали в течение 10 минут. При этом каждую минуту температура вещества уменьшалась на 5° C. Найдите температуру вещества (в градусах Цельсия) через 7 минут после начала проведения опыта, если его начальная температура составляла -9° C.

Решение

Температура уменьшается равномерно на 5° C в минуту.

Через 7 минут изменение составит 5·7 = 35° C.

Итоговая температура: -9 - 35 = -44.

Ответ: -44.

Ответ: -44

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC проведена биссектриса AK. Найдите градусную меру угла B, если ∠C = 11° и AK = CK.

Решение

Так как AK = CK, треугольник AKC равнобедренный, значит ∠KAC = ∠ACK.\nНо ∠ACK = ∠C = 11°.\nТак как AK — биссектриса, ∠A = 2·11° = 22°.\nТогда ∠B = 180° - 22° - 11° = 147°.\nОтвет: 147.

Ответ: 147

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

В окружности с центром O AC и BD – диаметры. Центральный угол AOD равен 108°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Решение

Так как AC и BD — диаметры, центральные углы AOD и AOB смежные.\nПоэтому ∠AOB = 180° - 108° = 72°.\nВписанный угол ACB опирается на ту же дугу AB, что и центральный угол AOB.\nСледовательно, ∠ACB = ∠AOB / 2 = 72° / 2 = 36°.\nОтвет: 36.

Ответ: 36

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, AC = 10, BD = 22, AB = 9. Найдите DO.

Решение

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.\nСледовательно, DO = BD / 2 = 22 / 2 = 11.\nОтвет: 11.

Ответ: 11

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник. Найдите его площадь.

Решение

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.\nПо клеткам основание равно 10, высота равна 5.\nS = 10 · 5 / 2 = 25.\nОтвет: 25.

Ответ: 25

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Все углы ромба равны.

Любой прямоугольник можно вписать в окружность.

Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Неверно.

2) Верно.

3) Неверно.

Ответ: 2.

Ответ: 2

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите систему уравнений: $\begin{cases}x^2+y=7,\\2x^2-y=5.\end{cases}$

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: складываем уравнения.

Шаг 1. Складываем:

$(x^2+y)+(2x^2-y)=7+5\Rightarrow 3x^2=12$.

Шаг 2. $x^2=4\Rightarrow x=\pm2$.

Шаг 3. Находим $y$:

$y=7-x^2=7-4=3$.

Ответ: $(-2;\,3);\ (2;\,3)$.

Правильный ответ: (-2;3);(2;3)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Проценты, смеси и сплавы

Имеются два сосуда, содержащие 12 кг и 8 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 65% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 60% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в втором растворе?

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: составить систему уравнений на концентрации двух растворов.

Шаг 1. Пусть концентрация кислоты в 1-м сосуде — x, во 2-м — y.

Шаг 2. При полном смешивании 20 кг получается раствор с концентрацией 65%:

12·x + 8·y = 20·0,65 = 13 ...(1).

Шаг 3. При смешивании равных масс концентрация 60%:

(x + y)/2 = 0,60 ⟹ x + y = 1,20 ...(2).

Шаг 4. Из (2): y = 1,20 − x. Подставляем в (1):

12·x + 8·(1,20 − x) = 13

12x + 9,6 − 8x = 13

4x = 3,4 ⟹ x = 0,85.

y = 1,20 − 0,85 = 0,35.

Шаг 5. Масса кислоты во 2-м сосуде: 8·0,35 = 2,8 кг.

Ответ: 2,8.

Правильный ответ: 2,8

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $ y=-2-\dfrac{x+4}{x^2+4x} $. Определите, при каких значениях m прямая $ y=m $ не имеет с графиком общих точек.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Сократим одинаковый множитель в числителе и знаменателе.

Получаем график функции $ y=-2-\frac1x $, но с выколотой точкой при $ x=-4 $.

У функции $ y=-2-\frac1x $ нет значений $ y=-2 $.

Из-за выколотой точки также отсутствует значение $ y=-1,75 $.

Следовательно, прямая $ y=m $ не имеет общих точек с графиком при $ m=-2; -1,75 $.

Ответ: -2; -1,75.

Правильный ответ: -2; -1,75

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Треугольники

Углы B и C треугольника ABC равны соответственно 64° и 86°. Найдите BC, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 17.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: применить теорему синусов BC/sin A = 2R.

Шаг 1. Находим угол A: A = 180° − 64° − 86° = 30°.

Шаг 2. По теореме синусов: BC/sin A = 2R.

Шаг 3. BC = 2R·sin 30° = 2·17·($\frac{1}{2}$) = 17.

Ответ: 17.

Правильный ответ: 17

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Треугольники

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и CC₁. Докажите, что углы AA₁C₁ и ACC₁ равны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: оба угла дополняют угол B до 90°.

Шаг 1. AA₁ ⊥ BC, в △AA₁B: ∠BAA₁ + ∠B = 90°, т.е. ∠BAA₁ = 90° − ∠B.

∠AA₁C₁ — смежный прямому углу при A₁, поэтому ∠AA₁C₁ = 90° − ∠B.

Шаг 2. CC₁ ⊥ AB, в △CC₁B: ∠BCC₁ = 90° − ∠B.

∠ACC₁ = ∠BCC₁ = 90° − ∠B (т.к. A₁ лежит на BC).

Шаг 3. ∠AA₁C₁ = ∠ACC₁ = 90° − ∠B. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

Окружности радиусов 25 и 100 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: точки касания общих касательных и центры окружностей образуют прямоугольники.

Шаг 1. Пусть O₁ и O₂ — центры окружностей радиусов r=25 и R=100.

O₁O₂ = r + R = 125 (внешнее касание).

Шаг 2. AC — общая внешняя касательная. O₁A ⊥ AC и O₂C ⊥ AC.

Точки A и C — основания перпендикуляров из центров на касательную.

Шаг 3. AB — хорда первой окружности, перпендикулярная AC (AB ⊥ O₁O₂).

Аналогично CD ⊥ O₁O₂.

Шаг 4. Расстояние между AB и CD = проекция O₁O₂ на перпендикулярное направление.

По теореме Пифагора в трапеции: dist = 2√(Rr) = 2√(100·25) = 2√2500 = 100.

Ответ: 100.

Правильный ответ: 100

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2