Загрузка заданий...

Вариант 875 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 18.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Володя летом отдыхает у дедушки в деревне Ёлочки. В воскресенье они собираются съездить на машине в село Кленовое в магазин. Из деревни Ёлочки в село Кленовое можно проехать по прямой грунтовой дороге. Есть более длинный путь: по прямолинейному шоссе через деревню Сосенки до деревни Жуки, где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в село Кленовое. Есть и третий маршрут: в деревню Сосенки можно свернуть на прямую грунтовую дорогу в село Кленовое, которая идёт мимо пруда. Шоссе и грунтовые дороги образуют с шоссе прямоугольные треугольники.

По шоссе Володя с дедушкой едут со скоростью 80 км/ч, а по грунтовой дороге — 40 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, сторона каждой клетки равна 4 км.

1 Задание 1 1 балл

Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены населённые пункты. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность трёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Населённые пункты	Жуки	Кленовое	Сосенки
Цифры

Решение

По описанию восстанавливаем маршруты на плане.

Точка отправления Ёлочки, промежуточная деревня на прямом шоссе — Сосенки, место поворота на другое шоссе — Жуки, конечный пункт — Кленовое.

Получаем соответствие: Ёлочки — 4, Сосенки — 2, Жуки — 3, Кленовое — 1.

В таблице населённые пункты стоят в порядке: Жуки, Кленовое, Сосенки.

Следовательно, ответ: 312.

Ответ: 312

2 Задание 2 1 балл

Сколько километров проедут Володя с дедушкой от деревни Ёлочки до села Кленовое, если они поедут по шоссе через деревню Жуки?

Решение

По шоссе путь состоит из двух участков: от Ёлочки до Жуки и от Жуки до Кленовое.

От Ёлочки до Жуки: 16 клеток · 4 км = 64 км.

От Жуки до Кленовое: 12 клеток · 4 км = 48 км.

Складываем: 64 + 48 = 112 км.

Ответ: 112.

Ответ: 112

3 Задание 3 1 балл

Найдите расстояние от деревни Ёлочки до села Кленовое по прямой. Ответ дайте в километрах.

Решение

Получается прямоугольный треугольник: по горизонтали 12 клеток, по вертикали 16 клеток.

Значит, катеты равны 48 км и 64 км.

Это треугольник со сторонами 12–16–20, поэтому расстояние по прямой равно 80 км.

Ответ: 80.

Ответ: 80

4 Задание 4 1 балл

Сколько минут затратят на дорогу из деревни Ёлочки в село Кленовое Володя с дедушкой, если они поедут по прямой грунтовой дороге?

Решение

По прямой расстояние равно 80 км.

Скорость по грунтовой дороге — 40 км/ч.

Время = расстояние / скорость = 80 / 40 ч.

В минутах это 120 мин.

Ответ: 120.

Ответ: 120

5 Задание 5 1 балл

Наименование продукта	Ёлочки	Кленовое	Сосенки	Жуки
Молоко (1 л)	47	36	45	40
Хлеб (1 батон)	31	28	32	25
Сыр «Российский» (1 кг)	274	265	264	275
Говядина (1 кг)	297	292	297	301
Картофель (1 кг)	31	17	29	17

В таблице указана стоимость (в рублях) некоторых продуктов в четырёх магазинах, расположенных в деревне Ёлочки, селе Кленовое, деревне Сосенки и деревне Жуки. Володя с дедушкой хотят купить 2 л молока, 3 батона хлеба, 1 кг сыра «Российский», 2 кг говядины, 4 кг картофеля. В каком магазине такой набор продуктов будет стоить дешевле всего? В ответ запишите стоимость данного набора в этом магазине.

Решение

Посчитаем стоимость набора в каждом магазине:

Ёлочки: 2·47=94 + 3·31=93 + 2·297=594 + 4·31=124 + 1·274=274 = 1 179

Кленовое: 2·36=72 + 3·28=84 + 2·292=584 + 4·17=68 + 1·265=265 = 1 073

Сосенки: 2·45=90 + 3·32=96 + 2·297=594 + 4·29=116 + 1·264=264 = 1 160

Жуки: 2·40=80 + 3·25=75 + 2·301=602 + 4·17=68 + 1·275=275 = 1 100

Самая маленькая стоимость получается в магазине "Кленовое": 1 073 руб.

Ответ: 1 073.

Ответ: 1073

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$0,3 : 0,01$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $0,3 : 0,01$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(0,3) : 0,01 = 30$.

Ответ: $30$.

Ответ: 30

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какое из данных чисел принадлежит промежутку от 1,07 до $3\sqrt{2}$?
В ответе укажите номер правильного варианта.

-3,8

$-\frac{17}{4}$

$\frac{92}{25}$

-4,875

Решение

Сравним числа 1,07 и $3\sqrt{2}$. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.

Проверяем варианты и получаем, что только вариант 3 ($\frac{92}{25}$) лежит между этими числами.

Ответ: 3

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$5\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{6} \cdot \sqrt{12}$$

Решение

Вычислим выражение: 5√2 · 5√6 · √12.

Перемножим коэффициенты: 5 · 5 = 25.

Подкоренные выражения дают: √2 · √6 · √12 = √(2·6·12) = √(144) = 12.

Тогда всё выражение равно 25 · 12 = 300.

Ответ: 300.

Ответ: 300

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: 2x + 6 = 20

Решение

Решим уравнение: 2x + 6 = 20

Перенесём 6 в правую часть:

2x = 20 - 6

2x = 14

Разделим обе части на 2:

x = 14 / 2

x = 7

Ответ: 7

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. В каждой из четырёх областей указана вероятность соответствующего события. Найдите вероятность события $\overline{A} \cap B$.

Решение

Складываем вероятности тех областей диаграммы, которые входят в нужное событие.

Получаем 0,15.

Ответ: 0,15

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между функциями и их графиками.

ФУНКЦИИ

А) $y = \sqrt{x}$

Б) $y = x^2 - 4$

В) $y = 2x - 4$

ГРАФИКИ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 123.

Ответ: 123

12 Расчёты по формулам 1 балл

Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой t_F = 1,8t_C + 32, где t_C – температура в градусах Цельсия, t_F – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Фаренгейта соответствует -100 градусов по шкале Цельсия?

Решение

Подставим t_C = -100 в формулу t_F = 1,8t_C + 32.

t_F = 1,8·(-100) + 32 = -148.

Ответ: -148.

Ответ: -148

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства

10x - x² > 0

Решение

Разложим: 10x - x² = x(10 - x). Нули: 0 и 10. Верное решение: (0;10). Это вариант 3.

Ответ: 3

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В амфитеатре 10 рядов. В первом ряду 17 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в восьмом ряду амфитеатра?

Решение

Это арифметическая прогрессия: a₁ = 17, d = 2.

Найдём 8-й член: a8 = a₁ + (8 - 1)·d = 17 + 7·2 = 31.

Ответ: 31.

Ответ: 31

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC известно, что AB = 6, BC = 10, sin ∠ABC = 1/3. Найдите площадь треугольника ABC.

Решение

Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними вычисляется по формуле:

S = $\frac{1}{2}$ · AB · BC · sin∠ABC.

S = $\frac{1}{2}$ · 6 · 10 · $\frac{1}{3}$ = $\frac{60}{6}$ = 10.

Ответ: 10.

Ответ: 10

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA = 41°. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.

Решение

Так как AB — диаметр, вписанный угол ANB равен 90°.

В треугольнике ANB угол NAB = 180° - 90° - 41° = 49°.

Углы NAB и NMB опираются на одну и ту же дугу NB, значит они равны.

Следовательно, ∠NMB = 49°.

Ответ: 49.

Ответ: 49

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Диагональ равнобедренной трапеции образует с её основанием угол 45°. Найдите высоту трапеции, если её основания равны 3 и 5.

Решение

В равнобедренной трапеции горизонтальная проекция диагонали равна средней линии.

При угле 45° вертикальная и горизонтальная проекции равны.

Следовательно, высота равна средней линии: (3 + 5) / 2 = 4.

Ответ: 4.

Ответ: 4

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали.

Решение

Диагонали ромба на рисунке идут по горизонтали и вертикали.

По клеткам их длины равны 8 и 8.

Большая диагональ равна 8.

Ответ: 8.

Ответ: 8

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Если три угла одного треугольника равны соответственно трём углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой.

Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

1) Неверно: из равенства трёх углов следует подобие, а не равенство.

2) Верно.

3) Верно.

Ответ: 23.

Ответ: 23

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите уравнение: $\frac{1}{(x-1)^2}+\frac{4}{x-1}-12=0$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: замена $t=\frac{1}{x-1}$.

Шаг 1. После замены:

$t^2+4t-12=0$.

Шаг 2. Дискриминант: $D=16+48=64$, $\sqrt{D}=8$.

$t_1=\dfrac{-4+8}{2}=2,\quad t_2=\dfrac{-4-8}{2}=-6$.

Шаг 3. Обратная замена:

Если $t=2$: $x-1=\dfrac{1}{2}\Rightarrow x=\dfrac{3}{2}$.

Если $t=-6$: $x-1=-\dfrac{1}{6}\Rightarrow x=\dfrac{5}{6}$.

Шаг 4. ОДЗ: $x\ne1$ — оба корня удовлетворяют.

Ответ: $\dfrac{5}{6};\quad \dfrac{3}{2}$.

Правильный ответ: 5/6;3/2

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Баржа прошла по течению реки 64 км и, повернув обратно, прошла ещё 48 км, затратив на весь путь 8 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: скорость по течению = v + u, против = v − u; сумма времён двух участков = total.

Шаг 1. Пусть собственная скорость баржи равна x км/ч.

По течению: x + 5. Против течения: x − 5.

Шаг 2. Составляем уравнение на суммарное время:

64/(x + 5) + 48/(x − 5) = 8.

Шаг 3. Умножаем на (x+5)(x−5) = x²−25:

64(x−5) + 48(x+5) = 8(x²−25).

Шаг 4. Раскрываем и группируем: квадратное уравнение относительно x.

Шаг 5. Решение (положительный корень): x = 15.

Шаг 6. Проверка: $\frac{64}{20}$ = $\frac{16}{5}$ ч, $\frac{48}{10}$ = $\frac{24}{5}$ ч, сумма 8 ч. ✓

Ответ: 15.

Правильный ответ: 15

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $\; y=\begin{cases}x^2+4x+4,& x\ge -3,\\-\dfrac{3}{x},& x<-3.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком одну или две общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.

Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.

По анализу графика получаем: {0}∪[1;+∞).

Ответ: {0}∪[1;+∞).

Правильный ответ: {0}∪[1;+∞)

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники

Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 15, а одна из диагоналей ромба равна 60. Найдите углы ромба.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: центр ромба — центр вписанной окружности, расстояние до стороны = радиус r.

Шаг 1. Обозначим сторону ромба a, острый угол α.

Радиус вписанной окружности r = a·sin α, а половина диагонали d₁/2 = a·cos(α/2) = a·sin(90°−α/2).

Шаг 2. По условию r = 15, диагональ = 60 = 4r.

Значит диагональ = 4·15, то есть a·2·cos(α/2) = 4·a·sin α/2.

Упрощая: cos(α/2) = 2·sin(α/2)·cos(α/2) ⟹ 1 = 2·sin(α/2), sin(α/2) = $\frac{1}{2}$, α/2 = 30°, α = 60°.

Шаг 3. Острый угол = 60°, тупой угол = 120°.

Ответ: 60°, 60°, 120°, 120°.

Правильный ответ: 60°, 60°, 120°, 120°

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Треугольники

В треугольнике ABC с тупым углом B проведены высоты AA₁ и CC₁. Докажите, что треугольники A₁BC₁ и ABC подобны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: подобие через два прямоугольных треугольника.

Шаг 1. AA₁ ⊥ BC ⟹ ∠BA₁A = 90°; CC₁ ⊥ AB ⟹ ∠BC₁C = 90°.

Шаг 2. Угол B тупой, поэтому основания A₁ и C₁ лежат на продолжениях сторон BC и BA за вершину B. Значит ∠A₁BC₁ = ∠ABC как вертикальные углы.

Шаг 3. Прямоугольные △BAA₁ и △BCC₁ имеют равные острые углы при B, поэтому подобны. Отсюда BA₁ : BA = BC₁ : BC.

Шаг 4. У △A₁BC₁ и △ABC угол при B равен (∠A₁BC₁ = ∠ABC), а прилежащие стороны пропорциональны. По второму признаку подобия △A₁BC₁ ∼ △ABC. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD = 8, BC = 7.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: степень точки B относительно окружности связывает касательную и хорду.

Шаг 1. AB ⊥ BC (прямоугольная трапеция), окружность касается AB в точке E.

BE — касательная: BE² = степень точки B.

Шаг 2. Прямая через B пересекает окружность в C и D (хорда CD).

Степень точки B: BE² = BC · BD.

Шаг 3. BD = BC + CD_проекция. По свойству трапеции BD = AD = 8 (вертикальная хорда).

BE² = BC · BD = 7 · 8 = 56.

BE = √56 = 2√2.

Шаг 4. E лежит на AB, BE ⊥ CD (по симметрии окружности), поэтому dist(E, CD) = BE = 2√2.

Ответ: 2√2.

Правильный ответ: 2√2

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.