Загрузка заданий...

Вариант 880 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 18.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

На плане изображён дачный участок по адресу: п. Сосновка, ул. Зелёная, д. 19.

Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота. При входе на участок слева от ворот находится гараж. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв. м, а чуть подальше — жилой дом.

Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки. Также на участке есть баня, к которой ведёт дорожка, выложенная плиткой, и огород с теплицей внутри. Огород отмечен на плане цифрой 6. Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1 м × 1 м. Между гаражом и сараем находится площадка, вымощенная такой же плиткой. К участку подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.

1 Задание 1 1 балл

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без дополнительных символов.

Объекты	яблони	теплица	сарай	жилой дом
Цифры

Решение

Сопоставляем описание объектов и их расположение на плане: яблони — 3, теплица — 5, сарай — 1, жилой дом — 7.

В таблице объекты стоят в порядке: яблони, теплица, сарай, жилой дом.

Получаем последовательность: 3517.

Ответ: 3517

2 Задание 2 1 балл

Плитки для садовых дорожек продаются в упаковках по 8 штук. Сколько упаковок плиток понадобилось, чтобы выложить все дорожки и площадку между сараем и гаражом?

Решение

На все дорожки уходит 25 плиток, на площадку между сараем и гаражом — 40 плиток. Всего нужно 65 плиток.

В одной упаковке 8 плиток, поэтому потребуется ⌈65 / 8⌉ = 9 упаковок.

Ответ: 9.

Ответ: 9

3 Задание 3 1 балл

Найдите расстояние от жилого дома до гаража (расстояние между двумя ближайшими точками по прямой) в метрах.

Решение

Ближайшие точки жилого дома и гаража находятся на расстоянии 3 клеток по вертикали. Одна клетка соответствует 2 м, поэтому расстояние равно 3 · 2 = 6 м.

Ответ: 6.

Ответ: 6

4 Задание 4 1 балл

Сколько процентов от площади всего огорода занимает теплица?

Решение

Площадь теплицы 12 кв. м, площадь огорода 120 кв. м. 12 / 120 · 100% = 10%.

Ответ: 10.

Ответ: 10

5 Задание 5 1 балл

Хозяин участка планирует установить в жилом доме систему отопления. Он рассматривает два варианта: электрическое или газовое отопление. Цены на оборудование и стоимость его установки, данные о расходе газа, электроэнергии и их стоимости даны в таблице. Обдумав оба варианта, хозяин решил установить газовое отопление. Через сколько часов непрерывной работы отопления экономия от использования газа вместо электричества компенсирует разницу в стоимости покупки и установки газового и электрического оборудования?

	Нагреватель (котёл)	Прочее оборудование и монтаж	Средн. расход газа / средн. мощность	Стоимость газа / электроэнергии
Газовое отопление	18 000 руб.	13 896 руб.	1,6 куб. м/ч	4,7 руб./куб. м
Электр. отопление	15 000 руб.	9 000 руб.	4,7 кВт	4,4 руб./(кВт·ч)

Решение

Начальные расходы на газовое отопление: 31896 руб.

Начальные расходы на электрическое отопление: 24000 руб.

Разница в начальных расходах: 31896 - 24000 = 7896 руб.

Почасовая стоимость газового отопления: 1,6 · 4,7 = 7,52 руб./ч.

Почасовая стоимость электрического отопления: 4,7 · 4,4 = 20,68 руб./ч.

Экономия за час: 20,68 - 7,52 = 13,16 руб./ч.

Ищем время окупаемости: 7896 / 13,16 = 600.

Ответ: 600.

Ответ: 600

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$0,375 : \frac{1}{25}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $0,375 : \frac{1}{25}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(0,375) : \frac{1}{25} = 9,375$.

Получили результат $9,375$.

Ответ: $9,375$.

Ответ: 9,375

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какое из чисел отмечено на координатной прямой точкой A?

В ответе укажите номер правильного варианта.

-2,342

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\frac{\sqrt{6}}{2}$

$\frac{20}{11}$

Решение

По чертежу видно, что точка A имеет координату между 1 и 2.

Сравним варианты по приближённым значениям:

1) -2,342 ≈ -2,342

2) $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ≈ 0,7071

3) $\frac{\sqrt{6}}{2}$ ≈ 1,2247

4) $\frac{20}{11}$ ≈ 1,8182

Точке A соответствует вариант 4.

Правильный ответ: 4.

Ответ: 4

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$5^{-3} \cdot (5^2)^3$$

Решение

Вычислим выражение: 5^(-3) · (5^2)^3.

Сначала применим формулу (a^b)^c = a^(bc): (5^2)^3 = 5^6.

Теперь используем a^m · a^n = a^(m+n): 5^-3 · 5^6 = 5^3.

Получаем 5^3 = 125.

Ответ: 125.

Ответ: 125

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Найдите корни уравнения: x² + 14x + 45 = 0 Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.

Решение

Решим уравнение: x² + 14x + 45 = 0

Коэффициенты: a = 1, b = 14, c = 45.

Найдём дискриминант:

D = b² - 4ac = 14² - 4·1·45 = 16.

Так как D > 0, уравнение имеет два корня.

x₁ = (-14 - √16) / 2 = -9

x₂ = (-14 + √16) / 2 = -5

Ответ: -9;-5

10 Статистика, вероятности 1 балл

В среднем из 200 карманных фонариков, поступивших в продажу, 89 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.

Решение

Всего равновозможных исходов: 200.

Благоприятных исходов: 111 (исправный фонарик).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = 111/200 = 0,555.

Ответ: 0,555.

Ответ: 0,555

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов k и b.

Графики

А) график 1

Б) график 2

В) график 3

Коэффициенты

1) k > 0, b > 0

2) k < 0, b < 0

3) k < 0, b > 0

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Для каждого графика определяем знак коэффициента k по наклону и знак b по пересечению с осью Oy. Ответ: 321.

Ответ: 321

12 Расчёты по формулам 1 балл

Центростремительное ускорение при движении по окружности (в м/с²) можно вычислить по формуле a = ω²R, где ω – угловая скорость (в с^-1), а R – радиус окружности (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите радиус R, если угловая скорость равна 10 с^-1, а центростремительное ускорение равно 300 м/с². Ответ дайте в метрах.

Решение

Из формулы a = ω²R выразим радиус: R = a/ω².

R = 300/(10²) = 3.

Ответ: 3.

Ответ: 3

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение системы неравенств:

$$\begin{cases} -0,9 − 6x \geqslant -18,9 \\ x − 0,3 > 4 \end{cases}$$

Решение

Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: нет решений. Это вариант 1.

Ответ: 1

14 Задачи на прогрессии 1 балл

Поезд начал движение от станции. За первую секунду состав сдвинулся на 0,5 м, а за каждую следующую секунду он проходил на 0,1 м больше, чем за предыдущую. Сколько метров состав прошёл за первые 7 секунд движения?

Решение

Это арифметическая прогрессия: a₁ = 0,5, d = 0,1, n = 7.

Сумма первых 7 членов: S = n(2a₁ + (n - 1)d)/2 = 5,6.

Ответ: 5,6.

Ответ: 5,6

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Два катета прямоугольного треугольника равны 4 и 9. Найдите площадь этого треугольника.

Решение

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

S = $\frac{1}{2}$ · 4 · 9 = $\frac{36}{2}$ = 18.

Ответ: 18.

Ответ: 18

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Диагональ AC ромба ABCD равна 12, а tg ∠BCA = 0,75. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Решение

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делят углы пополам.

Поэтому в прямоугольном треугольнике с катетами AC/2 и BD/2:

tg ∠BCA = BD / AC, значит BD = AC · tg ∠BCA = 12 · 0,75 = 9.

Площадь ромба S = AC · BD / 2 = 12 · 9 / 2 = 54.

Сторона ромба a = √(($\frac{12}{2}$)² + ($\frac{9}{2}$)²) = 7,5.

Для ромба с вписанной окружностью S = r·p, где p — полупериметр, равный 2a.

r = S / (2a) = 54 / (2·7,5) = 3,6.

Ответ: 3,6.

Ответ: 3,6

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Периметр ромба равен 56, а один из углов равен 30°. Найдите площадь этого ромба.

Решение

Сторона ромба равна 56 / 4 = 14.

Площадь ромба равна a²·sin α.

S = 14² · sin 30° = 14² · $\frac{1}{2}$ = 98.

Ответ: 98.

Ответ: 98

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?

Решение

Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса.

По клеткам радиусы кругов равны 3 и 1.

Искомое отношение площадей равно (3 / 1)² = 9.

Ответ: 9.

Ответ: 9

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его медианой.

Площадь ромба равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне.

Касательная к окружности параллельна радиусу, проведённому в точку касания.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Неверно: не каждая биссектриса.

2) Верно.

3) Неверно: касательная перпендикулярна радиусу.

Ответ: 2.

Ответ: 2

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите неравенство: $(8-x)(x^2-64)\ge 0$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: разложить через $(x-8)$.

Шаг 1. $x^2-64=(x-8)(x+8)$ и $8-x=-(x-8)$.

Шаг 2. Перемножаем: $(8-x)(x^2-64)=-(x-8)^2(x+8)$.

Шаг 3. Неравенство: $-(x-8)^2(x+8)\ge0$.

Шаг 4. Делим на $-1$: $(x-8)^2(x+8)\le0$.

Шаг 5. Произведение $\le0$ когда $x+8\le0\Rightarrow x\le-8$, или $x=8$.

Ответ: $(-\infty;\;-8]\cup\{8\}$.

Правильный ответ: (-∞;-8]∪{8}

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Первая труба пропускает на 16 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 105 литров она заполняет на 4 минут дольше, чем вторая труба?

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: составить уравнение на время заполнения резервуара, используя формулу t = V/q.

Шаг 1. Пусть первая труба пропускает x л/мин, тогда вторая — (x + 16) л/мин.

Шаг 2. Время заполнения: первой — 105/x мин, второй — 105/(x+16) мин.

Шаг 3. Первая заполняет на 4 мин дольше:

105/x − 105/(x+16) = 4.

Шаг 4. Умножаем на x(x+16):

105·(x+16) − 105·x = 4·x·(x+16).

1680 = 4·x² + 64·x.

4x² + 64x − 1680 = 0.

Шаг 5. Дискриминант: D = 64² + 4·4·1680 = 4096 + 26880 = 30976, √D = 176.

x = (−64 + 176) / (2·4) = 14 (отрицательный корень не подходит по смыслу).

Шаг 6. Проверка: первая труба — 105/14 = $\frac{15}{2}$ мин, вторая — 105/30 = $\frac{7}{2}$ мин.

$\frac{15}{2}$ − $\frac{7}{2}$ = 4 = 4. ✓

Ответ: 14.

Правильный ответ: 14

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $\; y=\begin{cases}x-0{,}5,& x<-2,\\-2x-6{,}5,& -2\le x\le -1,\\x-3{,}5,& x>-1.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком две общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.

Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.

По анализу графика получаем: (-4,5;-2,5).

Ответ: (-4,5;-2,5).

Правильный ответ: (-4,5;-2,5)

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Окружности

Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды CD, если AB = 14, CD = 48, а расстояние от центра окружности до хорды AB равно 24.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: перпендикуляр из центра на хорду делит её пополам — применяем теорему Пифагора.

Шаг 1. Для хорды AB: перпендикуляр из центра = 24, полухорда = AB/2 = 7.

R² = 24² + 7² = 576 + 49 = 625. R = 25.

Шаг 2. Для хорды CD: полухорда = CD/2 = 24.

d² = R² − 24² = 625 − 576 = 49. d = 7.

Ответ: 7.

Правильный ответ: 7

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

Биссектрисы углов C и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке L, лежащей на стороне AB. Докажите, что L — середина AB.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектрисы углов C и D перпендикулярны — треугольник при их пересечении прямоугольный.

Шаг 1. В параллелограмме ∠C + ∠D = 180° (смежные).

Биссектрисы делят углы пополам: ∠C/2 + ∠D/2 = 90°.

Значит в △L (треугольник при пересечении биссектрис) угол при L равен 90°.

Шаг 2. Рассмотрим одну из биссектрис, например от угла C.

Она отсекает равнобедренный треугольник (два угла при основании равны),

значит расстояние от вершины до L равно половине смежной стороны.

Шаг 3. Из симметричных рассуждений для обеих биссектрис получаем L — середина AB. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 20. Найдите стороны треугольника ABC.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектриса BE оказывается высотой во вспомогательном треугольнике ABD.

Шаг 1. Точка D лежит на BC, поэтому BE делит угол ABD пополам; по условию BE ⊥ AD.

Биссектриса треугольника ABD, перпендикулярная стороне AD, является в нём также высотой и медианой ⟹ △ABD равнобедренный: BA = BD.

Так как D — середина BC, то BD = BC/2, поэтому BC = 2·AB.

Шаг 2. Пусть O = AD ∩ BE. Возьмём O = (0, 0), ось x — вдоль AD: A = (−10, 0), D = (10, 0) (|AD| = 20).

В равнобедренном △ABD высота BO попадает в середину AD, поэтому B = (0, −h), где h = BO.

Шаг 3. D — середина BC ⟹ C = 2D − B = (20, h). На прямой BE точка E = (0, 20 − h), так как BE = 20.

Шаг 4. Условие «E лежит на AC» даёт h = 3·$\frac{20}{4}$ = 15.

Шаг 5. AB = √(h² + (10)²) = √(225 + 100) = 5√13;

BC = 2·AB = 10√13; CA = 15√5.

Ответ: 5√13; 10√13; 15√5.

Правильный ответ: 5√13; 10√13; 15√5

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.