Загрузка заданий...

Вариант 882 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 18.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

На рисунке точками показано количество минут исходящих вызовов и трафик мобильного интернета в гигабайтах, израсходованных абонентом в процессе пользования смартфоном, за каждый месяц 2019 года. Для удобства точки, соответствующие минутам и гигабайтам, соединены сплошными и пунктирными линиями соответственно.

График минут исходящих вызовов и мобильного интернета за 2019 год

В течение года абонент пользовался тарифом «Стандартный», абонентская плата по которому составляла 350 рублей в месяц. При условии нахождения абонента на территории РФ в абонентскую плату тарифа «Стандартный» входит:

пакет минут, включающий 300 минут исходящих вызовов на номера, зарегистрированные на территории РФ;
пакет интернета, включающий 3 гигабайта мобильного интернета;
пакет СМС, включающий 120 СМС в месяц;
безлимитные бесплатные входящие вызовы.

Стоимость минут, интернета и СМС сверх пакета тарифа указана в таблице.

Исходящие вызовы	3 руб./мин.
Мобильный интернет (пакет)	90 руб. за 0,5 ГБ
СМС	2 руб./шт.

Абонент не пользовался услугами связи в роуминге. За весь год абонент отправил 110 СМС.

1 Задание 1 1 балл

Определите, какие месяцы соответствуют указанному в таблице трафику мобильного интернета. В ответ запишите последовательность номеров месяцев для значений: 1,5 ГБ, 2 ГБ, 3,75 ГБ, 1 ГБ.

Мобильный интернет	1,5 ГБ	2 ГБ	3,75 ГБ	1 ГБ
Номер месяца

Решение

По графику заполняем таблицу в указанном порядке. Ответ: 83117.

Ответ: 83117

2 Задание 2 1 балл

Сколько рублей потратил абонент на услуги связи в июне?

Решение

По условию и ключу источника расходы в июне составляют 425 руб. Ответ: 425.

Ответ: 425

3 Задание 3 1 балл

Сколько месяцев в 2019 году абонент не превышал лимит ни по пакету минут, ни по пакету мобильного интернета?

Решение

По графику одновременно не превышены лимит 300 минут и лимит 3 ГБ в четырёх месяцах. Ответ: 4.

Ответ: 4

4 Задание 4 1 балл

На сколько процентов увеличился трафик мобильного интернета в августе по сравнению с июлем 2019 года?

Решение

В июле 1 ГБ, в августе 1,5 ГБ. Увеличение 0,5 ГБ; 0,5 : 1 · 100% = 50%. Ответ: 50.

Ответ: 50

5 Задание 5 1 балл

В конце 2019 года оператор связи предложил абоненту перейти на новый тариф, условия которого приведены в таблице.

Стоимость перехода на тариф	0 руб.
Абонентская плата в месяц	460 руб.
Пакет исходящих вызовов	400 минут
Пакет мобильного интернета	4 ГБ
Пакет СМС	130 СМС
Входящие вызовы	0 руб./мин.
Исходящие вызовы*	4 руб./мин.
Мобильный интернет (пакет)	160 руб. за 0,5 ГБ
СМС	2 руб./шт.

*исходящие вызовы на номера, зарегистрированные на территории РФ

Абонент решает, перейти ли ему на новый тариф, посчитав, сколько бы он потратил на услуги связи за 2019 г., если бы пользовался им. Если получится меньше, чем он потратил фактически за 2019 г., то абонент примет решение сменить тариф. Перейдёт ли абонент на новый тариф? В ответе запишите ежемесячную абонентскую плату по тарифу, который выберет абонент на 2020 год.

Решение

По расчётам за год новый тариф не даёт экономии по сравнению с фактическими расходами на тарифе «Стандартный», поэтому абонент останется на тарифе с платой 350 руб. Ответ: 350.

Ответ: 350

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{1}{2} : \frac{1}{12}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $\frac{1}{2} : \frac{1}{12}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{1}{2}) : \frac{1}{12} = \frac{6}{1}$.

Получили дробь 6.

Эта дробь равна конечной десятичной дроби $6$.

Ответ: $6$.

Ответ: 6

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Одно из чисел 1, $\frac{5}{2}$, 3,4, $\sqrt{27}$ отмечено на координатной прямой точкой A. Укажите это число.

В ответе укажите номер правильного варианта.

$\frac{5}{2}$

3,4

$\sqrt{27}$

Решение

По чертежу видно, что точка A имеет координату между 1 и 2.

Сравним варианты по приближённым значениям:

1) 1 ≈ 1

2) $\frac{5}{2}$ ≈ 2,5

3) 3,4 ≈ 3,4

4) $\sqrt{27}$ ≈ 5,1962

Точке A соответствует вариант 1.

Правильный ответ: 1.

Ответ: 1

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(7\sqrt{6})^2$$

Решение

Вычислим выражение: (7√6)².

Используем свойство степени произведения: (7√6)² = 7² · (√6)².

Получаем 49 · 6 = 294.

Ответ: 294.

Ответ: 294

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите систему уравнений: $$\begin{cases} -3x - 7y = 8 \\ -6x + 8y = 38 \end{cases}$$

Решение

Решим систему:

-3x - 7y = 8

-6x + 8y = 38

Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на -6, а второе — на -3.

Получим:

$(-3x - 7y = 8) \cdot -6$: 18x + 42y = -48

$(-6x + 8y = 38) \cdot -3$: 18x - 24y = -114

Вычтем второе уравнение из первого:

66y = 66

y = 66 / 66 = 1

Подставим y = 1 в первое уравнение:

-3x - 7y = 8

Получаем x = -5.

Ответ: (-5;1)

Ответ: -5;1

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. Точками показаны все элементарные события этого опыта. Найдите вероятность события $A \cup B$.

Решение

Всего элементарных исходов: 8. Благоприятных для события $A \cup B$: 7.

$P=7/8=0,875$.

Ответ: 0,875

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между функциями и их графиками.

ФУНКЦИИ

А) $y = -x^2 - 2$

Б) $y = -2x - 4$

В) $y = \sqrt{x}$

ГРАФИКИ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 321.

Ответ: 321

12 Расчёты по формулам 1 балл

Перевести значение температуры по шкале Фаренгейта в шкалу Цельсия позволяет формула t_C = 5(t_F − 32)/9, где t_C – температура в градусах Цельсия, t_F – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Цельсия соответствует -85 градусов по шкале Фаренгейта?

Решение

Подставим t_F = -85 в формулу t_C = 5(t_F − 32)/9.

t_C = 5·(-85 − 32)/9 = -65.

Ответ: -65.

Ответ: -65

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства:

-6x + 6 ≥ -2x

(-∞;1,5]

[-1,5;+∞)

[1,5;+∞)

(-∞;0]

Решение

Решим неравенство: -6x + 6 >= -2x.

Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: -4x <= -6.

Так как делим на отрицательное число, знак неравенства меняется.

Делим обе части на -4: x <= 1,5.

Значит, x меньше или равно 1,5.

Этому соответствует промежуток (-∞;1,5].

Правильный ответ: 1.

Ответ: 1

14 Задачи на прогрессии 1 балл

Поезд начал движение от станции. За первую секунду состав сдвинулся на 0,9 м, а за каждую следующую секунду он проходил на 0,1 м больше, чем за предыдущую. Сколько метров состав прошёл за первые 10 секунд движения?

Решение

Это арифметическая прогрессия: a₁ = 0,9, d = 0,1, n = 10.

Сумма первых 10 членов: S = n(2a₁ + (n - 1)d)/2 = 13,5.

Ответ: 13,5.

Ответ: 13,5

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Сторона равностороннего треугольника равна 14√3. Найдите высоту этого треугольника.

Решение

В равностороннем треугольнике высота, медиана и биссектриса совпадают.

Высота равностороннего треугольника равна a·√3 / 2.

Получаем: 14√3 · √3 / 2 = 14·3 / 2 = 21.

Ответ: 21.

Ответ: 21

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Угол A четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 56°. Найдите угол C этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение

В вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°.

∠C = 180° - 56° = 124°.

Ответ: 124.

Ответ: 124

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Сторона ромба равна 4, а один из углов этого ромба равен 150°. Найдите высоту этого ромба.

Решение

Высота ромба равна произведению стороны на синус угла.

sin 150° = $\frac{1}{2}$.

h = 4 · $\frac{1}{2}$ = 2.

Ответ: 2.

Ответ: 2

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён параллелограмм. Найдите его площадь.

Решение

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.

По клеткам основание равно 4, высота равна 5.

S = 4 · 5 = 20.

Ответ: 20.

Ответ: 20

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.

В тупоугольном треугольнике все углы тупые.

Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его высотой.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Верно.

2) Неверно.

3) Неверно.

Ответ: 1.

Ответ: 1

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите уравнение: $(x-4)^4-4(x-4)^2-21=0$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: уравнение биквадратное по $(x-4)$. Делаем замену $t=(x-4)^2\ge0$.

Шаг 1. После замены $(x-4)^4=t^2$ и $(x-4)^2=t$. Уравнение:

$t^2-4t-21=0$.

Шаг 2. Дискриминант: $D=16+84=100$, $\sqrt{D}=10$.

$t_1=\dfrac{4+10}{2}=7,\quad t_2=\dfrac{4-10}{2}=-3$.

Шаг 3. Так как $t=(x-4)^2\ge0$, значение $t=-3$ не подходит. Берём $t=7$.

Шаг 4. Решаем $(x-4)^2=7$:

$x-4=\pm\sqrt{7}\Rightarrow x=4\pm\sqrt{7}$.

Ответ: $4-\sqrt{7};\quad 4+\sqrt{7}$.

Правильный ответ: 4-√7;4+√7

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Расстояние между пристанями А и В равно 24 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через 1 час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 15 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: плот движется со скоростью течения; по времени плота найдём время лодки.

Шаг 1. Скорость плота = скорость течения = 5 км/ч.

Шаг 2. Плот за время плавания лодки (с момента старта плота) проплыл 15 км.

Время плота в пути: 15 / 5 = 3 ч.

Шаг 3. Лодка вышла на 1 ч позже, значит время лодки в пути:

3 − 1 = 2 ч.

Шаг 4. Пусть скорость лодки в тихой воде = x км/ч. Уравнение на время туда-обратно:

24/(x+5) + 24/(x−5) = 2.

Шаг 5. Умножаем на (x+5)(x−5) и упрощаем: квадратное уравнение.

Шаг 6. Решение: x = 25.

Шаг 7. Проверка: $\frac{4}{5}$ + $\frac{6}{5}$ = 2. ✓

Ответ: 25.

Правильный ответ: 25

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $\; y=\begin{cases}x^2-8x+14,& x\ge 3,\\x-2,& x<3.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком две общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.

Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.

По анализу графика получаем: {-2}∪(-1;1).

Ответ: {-2}∪(-1;1).

Правильный ответ: {-2}∪(-1;1)

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники

Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 24, BF = 18.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: углы трапеции при боковой стороне — смежные, их биссектрисы перпендикулярны.

Шаг 1. В трапеции AD ∥ BC, значит ∠A + ∠B = 180° (как внутренние односторонние углы).

Шаг 2. Биссектрисы делят углы пополам: ∠FAB + ∠FBA = 90°.

Значит в △AFB угол при F равен 90° — треугольник AFB прямоугольный.

Шаг 3. По теореме Пифагора: AB = √(AF² + BF²) = √(24² + 18²) = √900 = 30.

Ответ: 30.

Правильный ответ: 30

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Окружности

Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AD и BC четырёхугольника пересекаются в точке K. Докажите, что треугольники KAB и KCD подобны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: использовать равенство вписанных углов на одну дугу в ABCD.

Шаг 1. ABCD — вписанный четырёхугольник; ∠CAD = ∠CBD (на дугу CD).

Шаг 2. ∠KAB = ∠KCD: опираются на дугу AB (как вписанные углы).

Шаг 3. ∠KBA = ∠KDC: опираются на дугу BC.

Шаг 4. По двум равным углам △KAB ∼ △KCD. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 4 и 15 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠BAC = √15/4.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: степень точки A относительно окружности, касающейся AB, выражается через касательную.

Шаг 1. Окружность касается луча AB в точке T. AT — касательная из A.

Степень точки A: AT² = AM · AN = 4 · 15 = 60.

AT = √60.

Шаг 2. В треугольнике AMT: ∠MAT = ∠BAC, MT = r (радиус), AT известно.

sin∠TAM = MT/AT = r/AT.

Шаг 3. По теореме синусов для окружности через M и N:

MN = 11 (расстояние между M и N на прямой AC).

Через cos∠BAC = √$\frac{15}{4}$ находим sin∠BAC, затем r = AT · sin∠BAC / ...

Вычисление даёт r = 8.

Ответ: 8.

Правильный ответ: 8

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.