Загрузка заданий...

Вариант 935 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 18.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Гриша летом отдыхает у дедушки в деревне Осиновка. В субботу они собираются съездить на велосипедах в село Николаево в магазин. Из деревни Осиновка в село Николаево можно проехать по прямой лесной дорожке. Есть более длинный путь: по прямолинейному шоссе через деревню Зябликово до деревни Старая, где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в село Николаево. Есть и третий маршрут: в деревню Зябликово можно свернуть на прямую тропинку в село Николаево, которая идёт мимо пруда. Лесная дорожка и тропинка образуют с шоссе прямоугольные треугольники.

По шоссе Гриша с дедушкой едут со скоростью 15 км/ч, а по лесной дорожке и тропинке — 10 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, сторона каждой клетки равна 1 км.

1 Задание 1 1 балл

Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены населённые пункты. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность трёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Населённые пункты	Старая	Николаево	Зябликово
Цифры

Решение

По описанию восстанавливаем маршруты на плане.

Точка отправления Осиновка, промежуточная деревня на прямом шоссе — Зябликово, место поворота на другое шоссе — Старая, конечный пункт — Николаево.

Получаем соответствие: Осиновка — 1, Зябликово — 2, Старая — 4, Николаево — 3.

В таблице населённые пункты стоят в порядке: Старая, Николаево, Зябликово.

Следовательно, ответ: 432.

Ответ: 432

2 Задание 2 1 балл

Сколько километров проедут Гриша с дедушкой от деревни Осиновка до села Николаево, если они поедут по шоссе через деревню Старая?

Решение

По шоссе путь состоит из двух участков: от Осиновка до Старая и от Старая до Николаево.

От Осиновка до Старая: 16 клеток · 1 км = 16 км.

От Старая до Николаево: 12 клеток · 1 км = 12 км.

Складываем: 16 + 12 = 28 км.

Ответ: 28.

Ответ: 28

3 Задание 3 1 балл

Найдите расстояние от деревни Осиновка до села Николаево по прямой. Ответ дайте в километрах.

Решение

Получается прямоугольный треугольник: по горизонтали 12 клеток, по вертикали 16 клеток.

Значит, катеты равны 12 км и 16 км.

Это треугольник со сторонами 12–16–20, поэтому расстояние по прямой равно 20 км.

Ответ: 20.

Ответ: 20

4 Задание 4 1 балл

Сколько минут затратят на дорогу из деревни Осиновка в село Николаево Гриша с дедушкой, если они поедут по прямой лесной дорожке?

Решение

По прямой расстояние равно 20 км.

Скорость по лесной дорожке — 10 км/ч.

Время = расстояние / скорость = 20 / 10 ч.

В минутах это 120 мин.

Ответ: 120.

Ответ: 120

5 Задание 5 1 балл

Наименование продукта	Осиновка	Николаево	Зябликово	Старая
Молоко (1 л)	42	49	52	48
Хлеб (1 батон)	27	29	32	38
Сыр «Российский» (1 кг)	259	250	255	264
Говядина (1 кг)	328	318	324	319
Картофель (1 кг)	34	19	24	30

В таблице указана стоимость (в рублях) некоторых продуктов в четырёх магазинах, расположенных в деревне Осиновка, селе Николаево, деревне Зябликово и деревне Старая. Гриша с дедушкой хотят купить 2 л молока, 3 батона хлеба, 1 кг сыра «Российский», 2 кг говядины, 4 кг картофеля. В каком магазине такой набор продуктов будет стоить дешевле всего? В ответ запишите стоимость данного набора в этом магазине.

Решение

Посчитаем стоимость набора в каждом магазине:

Осиновка: 2·42=84 + 3·27=81 + 2·328=656 + 4·34=136 + 1·259=259 = 1 216

Николаево: 2·49=98 + 3·29=87 + 2·318=636 + 4·19=76 + 1·250=250 = 1 147

Зябликово: 2·52=104 + 3·32=96 + 2·324=648 + 4·24=96 + 1·255=255 = 1 199

Старая: 2·48=96 + 3·38=114 + 2·319=638 + 4·30=120 + 1·264=264 = 1 232

Самая маленькая стоимость получается в магазине "Николаево": 1 147 руб.

Ответ: 1 147.

Ответ: 1147

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{5}{2} : \frac{5}{6} - \frac{1}{2}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $\frac{5}{2} : \frac{5}{6} - \frac{1}{2}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{5}{2}) : \frac{5}{6} = \frac{3}{1}$.

Шаг 2: $(\frac{3}{1}) - \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$.

Получили дробь $\frac{5}{2}$.

Эта дробь равна конечной десятичной дроби $2,5$.

Ответ: $2,5$.

Ответ: 2,5

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какое из чисел отмечено на координатной прямой точкой A?

В ответе укажите номер правильного варианта.

$\frac{35}{13}$

$\frac{13}{4}$

3,38

$\sqrt{24}$

Решение

По чертежу видно, что точка A имеет координату между 4 и 5.

Сравним варианты по приближённым значениям:

1) $\frac{35}{13}$ ≈ 2,6923

2) $\frac{13}{4}$ ≈ 3,25

3) 3,38 ≈ 3,38

4) $\sqrt{24}$ ≈ 4,899

Точке A соответствует вариант 4.

Правильный ответ: 4.

Ответ: 4

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$4^{-2} \cdot (4^2)^2$$

Решение

Вычислим выражение: 4^(-2) · (4^2)^2.

Сначала применим формулу (a^b)^c = a^(bc): (4^2)^2 = 4^4.

Теперь используем a^m · a^n = a^(m+n): 4^-2 · 4^4 = 4^2.

Получаем 4^2 = 16.

Ответ: 16.

Ответ: 16

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: $$\frac{2}{x - 5} = 2$$

Решение

Решим уравнение: 2/(x - 5) = 2

Область допустимых значений: x != 5.

Умножим обе части уравнения на x - 5:

2 = 2(x - 5)

Раскроем скобки:

2 = 2x - 10

Перенесём число в левую часть:

12 = 2x

x = 12 / 2

x = 6

Проверка ОДЗ: x = 6, x != 5, условие выполняется.

Ответ: 6

10 Статистика, вероятности 1 балл

На экзамене 50 билетов, Яша не выучил 12 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

Решение

Всего равновозможных исходов: 50.

Благоприятных исходов: 38 (выученный билет).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = $\frac{38}{50}$ = 0,76.

Ответ: 0,76.

Ответ: 0,76

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.

Графики

А) график 1

Б) график 2

В) график 3

Коэффициенты

1) a > 0, c < 0

2) a < 0, c > 0

3) a > 0, c > 0

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Определяем знак a по направлению ветвей и знак c по пересечению с осью Oy, затем сопоставляем с вариантами. Ответ: 132.

Ответ: 132

12 Расчёты по формулам 1 балл

Кинетическая энергия тела массой m кг, двигающегося со скоростью v м/с, вычисляется по формуле E = mv²/2 и измеряется в джоулях (Дж). Известно, что автомобиль массой 1600 кг обладает кинетической энергией 180 тысяч джоулей. Найдите скорость этого автомобиля в метрах в секунду.

Решение

Из формулы E = mv²/2 выразим скорость: v = √(2E/m).

E = 180·1000 = 180 000 Дж.

v = √(2·180 000/1600) = 15.

Ответ: 15.

Ответ: 15

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства

(x + 2)(x - 1) ≥ 0

(-∞;-2] ∪ [1;+∞)

[-2;+∞)

[-2;1]

(-∞;1]

Решение

Нули выражения: x = -2 и x = 1. На числовой прямой отмечаем точки -2 и 1 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 2)(x - 1) >= 0 получаем решение (-∞;-2] ∪ [1;+∞). Это вариант 1.

Ответ: 1

14 Задачи на прогрессии 1 балл

У Тани есть теннисный мячик. Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока мячик подлетел на высоту 360 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в три раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 20 см?

Решение

Высоты отскоков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 360, q = $\frac{1}{3}$.

Проверяем последовательно: после 3-го отскока высота ещё не меньше 20 см, а после 4-го уже меньше.

Ответ: 4.

Ответ: 4

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Сторона равностороннего треугольника равна 14√3. Найдите биссектрису этого треугольника.

Решение

В равностороннем треугольнике высота, медиана и биссектриса совпадают.

Высота равностороннего треугольника равна a·√3 / 2.

Получаем: 14√3 · √3 / 2 = 14·3 / 2 = 21.

Ответ: 21.

Ответ: 21

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Радиус окружности, описанной около квадрата, равен 18√2. Найдите длину стороны этого квадрата.

Решение

Для квадрата R = a√2 / 2.

Значит, a = R·√2 = 18√2 · √2 = 36.

Ответ: 36.

Ответ: 36

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.

Решение

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.

Основание равно 12 + 3 = 15.

S = 15 · 5 = 75.

Ответ: 75.

Ответ: 75

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён параллелограмм. Найдите его площадь.

Решение

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.

По клеткам основание равно 6, высота равна 3.

S = 6 · 3 = 18.

Ответ: 18.

Ответ: 18

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу.

Площадь трапеции равна произведению основания трапеции на высоту.

Треугольника со сторонами 1, 2, 4 не существует.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

1) Верно: по определению окружности.

2) Неверно: площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

3) Верно: 1 + 2 < 4, не выполняется неравенство треугольника.

Ответ: 13.

Ответ: 13

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите неравенство: $(3-x)(x^2-9)\ge 0$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: разложить через $(x-3)$.

Шаг 1. $x^2-9=(x-3)(x+3)$ и $3-x=-(x-3)$.

Шаг 2. Перемножаем: $(3-x)(x^2-9)=-(x-3)^2(x+3)$.

Шаг 3. Неравенство: $-(x-3)^2(x+3)\ge0$.

Шаг 4. Делим на $-1$: $(x-3)^2(x+3)\le0$.

Шаг 5. Произведение $\le0$ когда $x+3\le0\Rightarrow x\le-3$, или $x=3$.

Ответ: $(-\infty;\;-3]\cup\{3\}$.

Правильный ответ: (-∞;-3]∪{3}

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 36 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего по платформе параллельно путям со скоростью 4 км/ч навстречу поезду, за 54 секунд. Найдите длину поезда в метрах.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: длина поезда = относительная скорость × время наблюдения (в метрах и секундах).

Шаг 1. Поезд и пешеход движутся навстречу. Относительная скорость:

36 + 4 = 40 км/ч.

Шаг 2. Переводим в м/с: 40 × 1000 / 3600 = 100/9 м/с.

Шаг 3. Поезд полностью минует пешехода за 54 с, значит его длина:

100/9 × 54 = 600 м.

Ответ: 600.

Правильный ответ: 600

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $ y=\dfrac{(x^2+4)((x-1))}{1-x} $. Определите, при каких значениях k прямая $ y=kx $ имеет с графиком ровно одну общую точку.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Сократим дробь, учитывая, что в точке, обращающей знаменатель в ноль, график имеет выколотую точку.

После сокращения получаем $ y=-(x^2+4),\ x\ne 1 $.

После сокращения получаем параболу $ y=-(x^2+a) $, но точка при $ x=1 $ выколота. Прямая $ y=kx $ имеет одну общую точку в трёх случаях: касается параболы в вершине; проходит через выколотую точку и ещё пересекает график один раз; проходит через выколотую точку как касательная к полной параболе.

Из анализа пересечений с прямой $ y=kx $ получаем: $ k=-5; -4; 4 $.

Ответ: $ -5; -4; 4 $.

Правильный ответ: -5; -4; 4

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Треугольники

Катеты прямоугольного треугольника равны 14 и 48. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: выразить высоту к гипотенузе через площадь, вычисленную двумя способами.

Шаг 1. Находим гипотенузу: c = √(14² + 48²) = √2500 = 50.

Шаг 2. Площадь треугольника через катеты: S = 14·$\frac{48}{2}$ = 336.

Шаг 3. Площадь через гипотенузу и высоту h: S = 50·h/2.

Шаг 4. Приравниваем: 50·h/2 = 336 ⟹ h = 14·$\frac{48}{50}$ = 13,44.

Ответ: 13,44.

Правильный ответ: 13,44

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Треугольники

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BB₁ и CC₁. Докажите, что ∠BB₁C₁ = ∠BCC₁.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: показать, что точки B, C, B₁, C₁ лежат на одной окружности.

Шаг 1. BB₁ — высота, поэтому ∠BB₁C = 90°. Значит из точки B₁ отрезок BC виден под прямым углом, и B₁ лежит на окружности с диаметром BC.

Шаг 2. CC₁ — высота, поэтому ∠BC₁C = 90°. Значит и точка C₁ лежит на окружности с диаметром BC.

Шаг 3. Итак, точки B, C, B₁, C₁ лежат на одной окружности.

Шаг 4. Вписанные углы ∠BB₁C₁ и ∠BCC₁ опираются на одну и ту же дугу BC₁, поэтому равны. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

Середина M стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если BC = 8, а углы B и C четырёхугольника равны соответственно 129° и 96°.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: если середина стороны равноудалена от всех вершин, она — центр описанной окружности, а сторона — диаметр.

Шаг 1. M — середина AD и MA = MB = MC = MD, значит M — центр описанной окружности.

Тогда AD = 2R (диаметр).

Шаг 2. ∠ABD = 90° (вписанный угол, опирающийся на диаметр AD).

∠DBC = ∠B − 90° = 129° − 90° = 39°.

Шаг 3. ∠ACD = 90° (аналогично). ∠ACB = ∠C − 90° = 96° − 90° = 6°.

Шаг 4. ∠CAD = ∠CBD = 39° (вписанные углы на одну дугу CD).

∠ADB = ∠ACB = 6° (вписанные углы на одну дугу AB).

∠DAB = 90° − ∠ADB = 90° − 6° = 84°.

Шаг 5. ∠BAC = ∠DAB − ∠CAD = 84° − 39° = 45°.

Шаг 6. По теореме синусов: BC = AD · sin(∠BAC).

AD = BC / sin(45°) = 8 / sin(45°) = 8√2.

Ответ: 8√2.

Правильный ответ: 8√2

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.