Загрузка заданий...

Вариант 993 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 11.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой A и цифрой: A0, A1, A2 и так далее. Лист формата A0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 кв. м. Если лист формата A0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получается два равных листа формата A1. Если лист A1 разрезать так же пополам, получается два листа формата A2. И так далее.

Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это сделано специально для того, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при уменьшении или увеличении шрифта при изменении формата листа.

1 Задание 1 1 балл

Установите соответствие между форматами и номерами листов. В ответ запишите последовательность четырёх цифр для форматов A0, A1, A2 и A4.

В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы A0, A1, A2, A4.

Номер листа	Длина (мм)	Ширина (мм)
1	841	594
2	1189	841
3	297	210
4	594	420

Решение

A0 — 1189 × 841 мм, это №2. A1 — 841 × 594 мм, это №1. A2 — 594 × 420 мм, это №4. A4 — 297 × 210 мм, это №3. Ответ: 2143.

Ответ: 2143

2 Задание 2 1 балл

Сколько листов формата A4 получится из одного листа формата A2?

Решение

Из A2 получают два листа A3, а из каждого A3 — два листа A4. Всего 2 · 2 = 4 листа A4. Ответ: 4.

Ответ: 4

3 Задание 3 1 балл

Найдите ширину листа бумаги формата A0. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.

Решение

Формат A0 имеет размеры примерно 1189 × 841 мм. Ширина равна 841 мм. Округляем до ближайшего числа, кратного 10: 840. Ответ: 840.

Ответ: 840

4 Задание 4 1 балл

Найдите отношение длины меньшей стороны листа формата A4 к большей. Ответ округлите до десятых.

Решение

Размер A4: 297 × 210 мм. Отношение меньшей стороны к большей: 210 : 297 ≈ 0,707. Округляем до десятых: 0,7. Ответ: 0,7.

Ответ: 0.7

5 Задание 5 1 балл

Размер типографского шрифта измеряется в пунктах. Один пункт равен 1/72 дюйма, то есть 0,3528 мм. Какой высоты нужен шрифт, чтобы текст был расположен на листе формата A3 так же, как этот же текст, напечатанный шрифтом высотой 15 пунктов на листе формата A4? Размер шрифта округляется до целого.

Решение

При переходе от A4 к A3 линейные размеры увеличиваются примерно в √2 раза. Поэтому размер шрифта: 15 · √2 ≈ 21,2. Округляем до целого: 21. Ответ: 21.

Ответ: 21

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{4}{3} \cdot \frac{3}{5} : \frac{1}{9}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $\frac{4}{3} \cdot \frac{3}{5} : \frac{1}{9}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{4}{3}) \cdot \frac{3}{5} = \frac{4}{5}$.

Шаг 2: $(\frac{4}{5}) : \frac{1}{9} = \frac{36}{5}$.

Получили дробь $\frac{36}{5}$.

Эта дробь равна конечной десятичной дроби $7,2$.

Ответ: $7,2$.

Ответ: 7,2

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

4 - a < 0

$\frac{1}{a} < 0$

a - 3 < 0

-a < -3

Решение

По чертежу видно, что 3 < a < 4.

Проверим варианты ответа:

1) 4 - a < 0 ⇔ a > 4 — неверно.

2) $\frac{1}{a} < 0$ ⇔ a < 0 — неверно.

3) a - 3 < 0 ⇔ a < 3 — неверно.

4) -a < -3 ⇔ a > 3 — верно.

Правильный ответ: 4.

Ответ: 4

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$2\sqrt{2} \cdot 6\sqrt{10} \cdot \sqrt{20}$$

Решение

Вычислим выражение: 2√2 · 6√10 · √20.

Перемножим коэффициенты: 2 · 6 = 12.

Подкоренные выражения дают: √2 · √10 · √20 = √(2·10·20) = √(400) = 20.

Тогда всё выражение равно 12 · 20 = 240.

Ответ: 240.

Ответ: 240

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: $$\frac{(-6x - 9)}{6} - \frac{(-9x + 3)}{6} - 4x = 19$$

Решение

Решим уравнение: (-6x - 9)/6 - (-9x + 3)/6 - 4x = 19

Домножим обе части на НОК знаменателей 6 и 6, то есть на 6.

Получим:

(-6x - 9) - (-9x + 3) - 24x = 114

Приведём подобные слагаемые:

-21x - 12 = 114

Перенесём число в правую часть:

-21x = 126

Разделим обе части на -21:

x = 126 / -21

x = -6

Ответ: -6

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. Точками показаны все элементарные события и около каждого указана его вероятность. Найдите вероятность события A.

Решение

Складываем вероятности всех точек, принадлежащих нужному событию.

Получаем 0,65.

Ответ: 0,65

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов k и b.

Графики

А) график 1

Б) график 2

В) график 3

Коэффициенты

1) k > 0, b > 0

2) k > 0, b < 0

3) k < 0, b < 0

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Для каждого графика определяем знак коэффициента k по наклону и знак b по пересечению с осью Oy. Ответ: 312.

Ответ: 312

12 Расчёты по формулам 1 балл

Кинетическая энергия тела массой m кг, двигающегося со скоростью v м/с, вычисляется по формуле E = mv²/2 и измеряется в джоулях (Дж). Известно, что автомобиль массой 1000 кг обладает кинетической энергией 144,5 тысяч джоулей. Найдите скорость этого автомобиля в метрах в секунду.

Решение

Из формулы E = mv²/2 выразим скорость: v = √(2E/m).

E = 144,5·1000 = 144 500 Дж.

v = √(2·144 500/1000) = 17.

Ответ: 17.

Ответ: 17

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение системы неравенств:

$$\begin{cases} 4x − 1,8 > -6,2 \\ 0,3 − 2x < 6,5 \end{cases}$$

(-∞;-1,1] ∪ [0,9;+∞)

нет решений

(-1,1;+∞)

(-1,1;0,9)

Решение

Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: (-1,1;+∞). Это вариант 3.

Ответ: 3

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 14 мг. За каждые 20 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 80 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение

Масса колонии образует геометрическую прогрессию: b₁ = 14, q = 3.

За 80 минут пройдёт 4 промежутков по 20 минут.

Получаем массу 14·3^4 = 1134 мг.

Ответ: 1134.

Ответ: 1134

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC известно, что AC = 36, BM – медиана, BM = 10. Найдите AM.

Решение

Медиана делит сторону, к которой проведена, пополам.

Поэтому AM = AC : 2 = 36 : 2 = 18.

Ответ: 18.

Ответ: 18

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 78°, угол CAD равен 54°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

Решение

Углы ABD и ACD опираются на одну и ту же дугу AD, значит ∠ACD = ∠ABD.

Следовательно, ∠ACD = 78°.

Угол ABC опирается на дугу AC, состоящую из дуг AD и DC, поэтому

∠ABC = ∠ABD + ∠DBC, а здесь эквивалентно удобно взять в треугольнике ACD:

угол между AC и CD равен сумме углов, опирающихся на соответствующие дуги.

Получаем ∠ABC = 78° + 54° = 132°.

Ответ: 132.

Ответ: 132

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

В равнобедренной трапеции с основаниями AD и BC угол D равен 67°. Диагональ AC образует со стороной CD угол 148°. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и меньшим основанием трапеции?

Решение

Угол между диагональю AC и основанием AD равен 148° - (180° - 67°).

Получаем 148 - 113 = 35°.

Так как основания параллельны, угол с меньшим основанием такой же.

Ответ: 35.

Ответ: 35

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён прямоугольный треугольник. Найдите длину его большего катета.

Решение

Катеты лежат на линиях сетки, поэтому их длины равны числу клеток по горизонтали и вертикали.

Катеты равны 7 и 9.

Больший катет равен 9.

Ответ: 9.

Ответ: 9

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.

Все углы ромба равны.

Площадь квадрата равна произведению двух его смежных сторон.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

1) Верно.

2) Неверно.

3) Верно.

Ответ: 13.

Ответ: 13

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите систему уравнений: $\begin{cases}4x^2-5x=y,\\8x-10=y.\end{cases}$

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: приравниваем правые части.

Шаг 1. $4x^2-5x=8x-10$.

Шаг 2. Переносим влево: $4x^2-13x+10=0$.

Шаг 3. Разложим: $(4x-5)(x-2)=0$.

Корни: $x=\dfrac{5}{4}$ или $x=2$.

Шаг 4. Находим $y$:

При $x=\dfrac{5}{4}$: $y=8\cdot\dfrac{5}{4}-10=0$.

При $x=2$: $y=8\cdot2-10=6$.

Ответ: $\left(\dfrac{5}{4};\,0\right);\ (2;\,6)$.

Правильный ответ: (5/4;0);(2;6)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 210 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длится 9 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 27 часов после отплытия из него.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: путь по течению + стоянка + путь против течения = полное время.

Шаг 1. Пусть скорость теплохода в неподвижной воде равна x км/ч.

По течению: x + 4. Против течения: x − 4.

Шаг 2. Составляем уравнение:

210/(x+4) + 9 + 210/(x−4) = 27.

Шаг 3. Переносим стоянку: 210/(x+4) + 210/(x−4) = 18.

Шаг 4. Умножаем на (x+4)(x−4) = x²−16:

210(x−4) + 210(x+4) = 18(x²−16).

Шаг 5. Левая часть: 2·210·x = 420x. Квадратное уравнение.

Шаг 6. Решение (положительный корень): x = 24.

Шаг 7. Проверка: $\frac{15}{2}$ + 9 + $\frac{21}{2}$ = 27. ✓

Ответ: 24.

Правильный ответ: 24

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Функции, содержащие модули

Постройте график функции \[y = -x^2 + 6|x| + 3\] и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.

Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = -x^2 + 6x + 3.

Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = -x^2 - 6x + 3.

Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 3. В этой точке у графика локальный минимум.

Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный минимум, то есть при m = 3.

Проверка: при m = 3 уравнение имеет корни x = −6, x = 0, x = 6 — ровно три точки.

Ответ: 3.

Правильный ответ: 3

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Окружности

Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках P и K соответственно. Найдите PK, если BH = 11.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: угол вписанный в диаметр = 90° — точки P и K лежат на окружности с диаметром BH.

Шаг 1. Так как BH — диаметр, любой вписанный угол, опирающийся на него, равен 90°.

Значит ∠BPH = 90° и ∠BKH = 90°, то есть P и K — основания перпендикуляров из H.

Шаг 2. В прямоугольном треугольнике ABC точка H — основание высоты из B.

Четырёхугольник BPHK — прямоугольник (у него все углы прямые).

Шаг 3. В прямоугольнике PK = BH (противоположные стороны).

PK = BH = 11.

Ответ: 11.

Правильный ответ: 11

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Окружности

Окружности с центрами в точках M и N не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении r:s. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как r:s.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: точка T пересечения касательной с линией центров — центр гомотетии.

Шаг 1. Проведём радиусы MA и NB к точкам касания касательной.

Оба радиуса ⊥ касательной ⟹ MA ∥ NB.

Шаг 2. В треугольниках TMA и TNB (T — точка на MN):

∠ATM = ∠BTN (вертикальные), MA ∥ NB ⟹ оба треугольника подобны.

Коэффициент подобия = TM/TN = r:s.

Шаг 3. TM/TN = r₁/r₂ = d₁/d₂.

Следовательно, диаметры относятся как r:s. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 24. Найдите стороны треугольника ABC.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектриса BE оказывается высотой во вспомогательном треугольнике ABD.

Шаг 1. Точка D лежит на BC, поэтому BE делит угол ABD пополам; по условию BE ⊥ AD.

Биссектриса треугольника ABD, перпендикулярная стороне AD, является в нём также высотой и медианой ⟹ △ABD равнобедренный: BA = BD.

Так как D — середина BC, то BD = BC/2, поэтому BC = 2·AB.

Шаг 2. Пусть O = AD ∩ BE. Возьмём O = (0, 0), ось x — вдоль AD: A = (−12, 0), D = (12, 0) (|AD| = 24).

В равнобедренном △ABD высота BO попадает в середину AD, поэтому B = (0, −h), где h = BO.

Шаг 3. D — середина BC ⟹ C = 2D − B = (24, h). На прямой BE точка E = (0, 24 − h), так как BE = 24.

Шаг 4. Условие «E лежит на AC» даёт h = 3·$\frac{24}{4}$ = 18.

Шаг 5. AB = √(h² + (12)²) = √(324 + 144) = 6√13;

BC = 2·AB = 12√13; CA = 18√5.

Ответ: 6√13; 12√13; 18√5.

Правильный ответ: 6√13; 12√13; 18√5

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.