Разделить с остатком — значит узнать, сколько полных частей помещается и что осталось. Разберём запись, почему остаток всегда меньше делителя и что с ним делать в задачах.
Как это записывают
17 = 5 · 3 + 2
Семнадцать конфет раздаём по пять. Полных пятёрок
получилось три, две конфеты остались.
a = b · q + r
a — делимое, b — делитель, q — неполное частное, r — остаток.
Проверка всегда одна: умножить частное на делитель
и прибавить остаток — должно выйти делимое.
Что спросить у класса
Что здесь делимое, а что делитель?
Проверьте запись 17 = 5 · 3 + 2.
Запишите деление 23 на 4 с остатком.
1 из 7
Остаток меньше делителя
17 = 5 · 2 + 7 — так нельзя
Запись 17 = 5 · 2 + 7 арифметически верна, но остаток
равен семи, а делитель — пяти. Из семи собирается ещё одна полная
пятёрка, значит частей мы взяли не все.
Остаток всегда меньше делителя: 0 ≤ r < b.
Отсюда сразу видно, сколько разных остатков бывает
при делении на 5: пять штук — 0, 1, 2, 3, 4.
Что спросить у класса
Какие остатки бывают при делении на 3?
Сколько их всего при делении на 7?
Что означает остаток 0?
2 из 7
Остатки идут по кругу
0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, … — при делении на 3
Выпишем остатки чисел 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 при делении
на три. Получится 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0 — узор повторяется.
Прибавили делитель — остаток не изменился.
Поэтому по остатку удобно отвечать на вопросы вроде
«какой день недели будет через 100 дней»: считать надо не дни,
а остаток от деления на семь.
Что спросить у класса
Какой остаток у 100 при делении на 7?
Если сегодня среда, какой день через 100 дней?
Почему остаток повторяется?
3 из 7
Что спрашивают на самом деле
23 книги, по 4 в коробку: полных 5, коробок нужно 6
23 = 4 · 5 + 3. Одно и то же деление отвечает
на разные вопросы — и ответы разные.
Сколько полных коробок — 5, это частное.
Сколько книг осталось — 3, это остаток.
Сколько коробок понадобится — 6: три книги тоже надо
куда-то положить.
И ещё: если считаем предметы, ответ не бывает
дробным. «5,75 коробки» — не ответ ни на один из трёх вопросов.
Что спросить у класса
Сколько автобусов на 50 человек по 30 мест?
А сколько мест останется свободными?
Чем «полных» отличается от «понадобится»?
4 из 7
Посмотрим на круге
Смотрим, как остаток повторяется. Пусть класс называет
остаток раньше экрана.
Показать классу
Остатки при делении ходят по кругу: дошли до
последнего — и снова ноль. Поэтому остаток всегда меньше делителя.
17
5
5 из 7
Проверьте себя
Пять вопросов по разобранному, с объяснением
к каждому ответу.
Показать классу
6 из 7
Главное
a = b · q + r: частное и остаток.
Остаток всегда меньше делителя.
При делении на b ровно b разных остатков: от 0 до b − 1.
Задание собирается из тех же
генераторов, что и задачник курса: у каждого ученика свои числа,
списывать нечего. Ученику нужна только ссылка — ни регистрации,
ни установки. Результат придёт таблицей: кто что решил и где споткнулся.
Первые две недели — бесплатно, карта не нужна.