Действия с обыкновенными и десятичными дробями

Складывать можно только одинаковые доли

$\dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{4} = \dfrac{3}{4}$

Четверть плюс две четверти — это три четверти. Доли одинаковые, поэтому их просто пересчитали.

Знаменатель при сложении не меняется: он говорит, какого размера доли, а размер не изменился.

Складывать знаменатели — самая частая ошибка темы. $\dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{4}$ не равно $\dfrac{3}{8}$: восьмые здесь взяться неоткуда.

Что спросить у класса

Почему знаменатель не меняется?
Сколько будет $\tfrac{2}{7} + \tfrac{3}{7}$?
Что означало бы сложение знаменателей?

1 из 8

Если доли разные

$\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}$ → $\dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{5}{6}$

Половину и треть сложить напрямую нельзя: доли разного размера. Приведём обе к шестым — теперь доли одинаковые.

Общий знаменатель — НОК знаменателей. Множитель у каждой дроби свой.

Вычитание устроено точно так же: сначала общий знаменатель, потом вычитаем числители.

Что спросить у класса

Какой общий знаменатель у 4 и 6?
На что умножить каждую дробь?
Нужно ли приводить обе или хватит одной?

2 из 8

Умножение — проще

$\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{4}{5} = \dfrac{8}{15}$

Числитель на числитель, знаменатель на знаменатель. Приводить ничего не нужно.

Половина от трети — это шестая часть: $\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}$. Слово «от» здесь и означает умножение.

Сокращать удобнее до умножения: перечеркнуть общий множитель числителя одной дроби и знаменателя другой. Иначе придётся сокращать большие числа.

Что спросить у класса

Сколько будет $\tfrac{3}{4} \cdot \tfrac{2}{5}$?
Почему при умножении не нужен общий знаменатель?
Когда удобнее сокращать — до или после?

3 из 8

Деление — умножение на перевёрнутую

$\dfrac{3}{4} : \dfrac{2}{5} = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{5}{2} = \dfrac{15}{8}$

Разделить на дробь — значит умножить на дробь, перевёрнутую вверх ногами.

Переворачиваем вторую дробь — делитель. Первая остаётся как была.

Перевернуть первую — распространённая ошибка, и ответ выходит совсем другой. Смотрите на знак деления: переворот относится к тому, что стоит после него.

Проверка смыслом: делили на число меньше единицы — ответ должен получиться больше исходного.

Что спросить у класса

Какую дробь переворачиваем?
Сколько будет $\tfrac{1}{2} : \tfrac{1}{4}$ и почему больше единицы?
Как проверить ответ?

4 из 8

И те же действия с десятичными

0,5 = $\dfrac{1}{2}$ · 0,25 = $\dfrac{1}{4}$ · 0,2 = $\dfrac{1}{5}$

Иногда проще перевести десятичную в обыкновенную — особенно если в примере есть и те и другие.

Стоит знать наизусть: 0,5 = $\dfrac{1}{2}$, 0,25 = $\dfrac{1}{4}$, 0,75 = $\dfrac{3}{4}$, 0,2 = $\dfrac{1}{5}$, 0,1 = $\dfrac{1}{10}$.

Правила для десятичных остались прежними: при сложении запятая под запятой, при умножении считаем без запятых и отделяем столько знаков, сколько их было у обоих множителей вместе.

Что спросить у класса

Чему равно 0,25 обыкновенной дробью?
Как удобнее посчитать 0,5 · $\tfrac{2}{3}$?
Сколько знаков отделим в 1,2 · 0,5?

5 из 8

Сложим на полосках

Смотрим, как разные доли приводятся к одинаковым. Пусть класс называет общий знаменатель раньше экрана.

Показать классу

Соберите две дроби и посмотрите, что происходит с числителями и что — со знаменателем.

числитель знаменатель

Для полосок нужен включённый JavaScript. Правило: дроби с одинаковым знаменателем складывают по числителям, знаменатель оставляют прежним. Если знаменатели разные, дроби сначала приводят к общему знаменателю.

6 из 8

Проверьте себя

Пять вопросов по разобранному, с объяснением к каждому ответу.

Показать классу

7 из 8

Главное

Складывать можно только одинаковые доли — сначала общий знаменатель.
Знаменатели при сложении не складывают.
Умножение: числитель на числитель, знаменатель на знаменатель.
Деление — умножение на перевёрнутый делитель.
0,5 = $\dfrac{1}{2}$, 0,25 = $\dfrac{1}{4}$, 0,2 = $\dfrac{1}{5}$ — стоит знать наизусть.

8 из 8

Действия с обыкновенными и десятичными дробями

Складывать можно только одинаковые доли

Если доли разные

Умножение — проще

Деление — умножение на перевёрнутую

И те же действия с десятичными

Сложим на полосках

Проверьте себя

Главное

Выдайте эту тему классу домашним заданием