Отношение отвечает на вопрос «во сколько раз», а разность — «на сколько». Это разные вопросы к одной паре чисел, и путать их дороже всего в задачах.
Два вопроса к одной паре
12 и 4: на 8 больше, в 3 раза больше
Возьмём числа 12 и 4. На сколько первое больше?
На восемь — это разность. Во сколько раз? В три — это отношение.
Отношение a : b — это частное, то есть $\dfrac{a}{b}$.
Слова в условии прямо называют нужное действие:
«на сколько» — вычитание, «во сколько раз» — деление.
Что спросить у класса
На сколько 20 больше 5? А во сколько раз?
Какое слово в условии подсказывает деление?
Придумайте вопрос со словом «во сколько раз».
1 из 7
Отношение сокращают, как дробь
12 : 8 = 3 : 2
Отношение — это частное, а частное не меняется, если
оба числа разделить на одно и то же.
12 : 8 = 3 : 2. Смысл тот же: на каждые три
единицы одного приходится две другого.
Порядок менять нельзя: 3 : 2 и 2 : 3 — разные
отношения. Первым пишут то, что названо первым.
Что спросить у класса
Сократите отношение 15 : 25.
Чем 3 : 2 отличается от 2 : 3?
До каких пор сокращать?
2 из 7
Отношение как части
3 : 2 → всего 5 частей
Запись 3 : 2 удобно читать как «три части к двум».
Тогда всего частей пять — и с этим уже можно работать.
Сумма частей — это то целое, которое делят.
Отсюда следующая тема: если известно целое, одну часть
находят делением, а дальше умножают.
Что спросить у класса
Сколько всего частей в отношении 4 : 3?
А в отношении 2 : 3 : 5?
Что означает «одна часть»?
3 из 7
Где встречается
цемент к песку 1 : 3 · карта 1 : 100 000
Отношением задают состав смеси, крепость раствора,
масштаб карты, соотношение сторон экрана.
Во всех этих случаях важно именно отношение,
а не сами числа: раствор из одного ведра цемента и трёх вёдер песка
и из двух и шести — один и тот же.
Что спросить у класса
Что означает «цемент к песку 1 : 3»?
Изменится ли раствор, если взять 2 и 6?
Где ещё вы видели запись с двоеточием?
4 из 7
Посмотрим на отношение
Меняем числа и следим за отношением. Пусть класс
называет сокращённый вид раньше экрана.
Показать классу
Две величины и то же самое отношение, применённое к
целому. Меняйте числа и смотрите, как режется лента.
5 из 7
Проверьте себя
Пять вопросов по разобранному, с объяснением
к каждому ответу.
Показать классу
6 из 7
Главное
Отношение a : b — это частное, «во сколько раз».
Разность — «на сколько», отношение — «во сколько раз».
Отношение сокращают, как дробь.
Порядок важен: 3 : 2 не то же, что 2 : 3.
Отношение удобно читать как части; их сумма — целое.
7 из 7
После урока
Выдайте эту тему
классу домашним заданием
Задание собирается из тех же
генераторов, что и задачник курса: у каждого ученика свои числа,
списывать нечего. Ученику нужна только ссылка — ни регистрации,
ни установки. Результат придёт таблицей: кто что решил и где споткнулся.
Первые две недели — бесплатно, карта не нужна.