Что такое отношение двух чисел, чем оно отличается от разности, как его сокращать и что значит «отношение 3 : 2».
Главная идея:Отношение двух чисел — это их частное: $a : b$ показывает, во сколько раз одно больше другого. Разность отвечает на вопрос «на сколько», отношение — «во сколько раз». Отношение можно сокращать, как дробь: $12 : 8 = 3 : 2$.
В школе на тему отводится
2 урока: здесь собрано главное, что на них разбирают,
а решать можно сколько угодно — задачник ниже выдаёт новые задачи
без конца.
Раздел 1
Отношение и разность
В корзине 12 яблок и 8 груш. Яблок на 4 больше — это
разность. И яблок в полтора раза больше — это отношение.
$12 : 8 = \dfrac{12}{8} = \dfrac{3}{2} = 1{,}5$ —
все четыре записи об одном и том же.
Отношение — это частное, поэтому его записывают и дробью.
Отношение сокращают, как дробь: $12 : 8 = 3 : 2$.
Порядок важен: $3 : 2$ и $2 : 3$ — разные отношения.
Раздел 2
Отношение как части
Запись $3 : 2$ удобно читать как «три части к двум».
Тогда всего частей пять, и величину можно делить.
Ленту 40 см разрезали в отношении $3 : 2$.
Частей $3 + 2 = 5$, одна часть — $40 : 5 = 8$ см. Значит куски
$3 \cdot 8 = 24$ см и $2 \cdot 8 = 16$ см. Проверка: $24 + 16 = 40$.
Складываем части — узнаём, на сколько долей делится целое.
Делим целое на число частей — получаем одну часть.
Умножаем часть на числа отношения — получаем куски.
Раздел 3
Где встречается
Рецепты: рис и вода $1 : 2$.
Карты: масштаб — то же отношение, $1 : 1000$.
Смеси и сплавы: «на две части песка одну часть цемента».
Экраны: соотношение сторон $16 : 9$.
Частая путаница: «отношение 3 : 2» не значит, что
чего-то ровно 3 и 2 штуки. Это значит «в полтора раза больше» — величины
могут быть 30 и 20, 300 и 200.
Попробуйте сами
Во сколько раз, а не на сколько
Две величины и то же самое отношение, применённое к
целому. Меняйте числа и смотрите, как режется лента.
Задачник
Решайте, пока не надоест
Каждая задача собирается заново, поэтому они не закончатся.
Ответ проверяется сразу, а разбор показывает, как считать.
Для класса есть другой режим:
два варианта решают задачи одного типа с разными числами, по 30 секунд
на задачу. Ответов на экране нет — они появятся на разборе.
Проверьте себя
Тренажёр по теме
На каждый ответ — объяснение, даже если он неверный.
На что обратить внимание
Частые ошибки
Путают отношение с разностью: отвечают «на сколько» вместо «во сколько раз».
Меняют порядок чисел в отношении.
Не сокращают отношение до конца.
Делят величину на числа отношения, забыв сложить части.
Считают, что отношение 3 : 2 означает ровно 3 и 2 предмета.
Коротко
Шпаргалка
Отношение $a : b$ — это частное $\dfrac{a}{b}$, «во сколько раз».
Отношение сокращают, как дробь.
Порядок важен: $3 : 2 \ne 2 : 3$.
Деление в отношении: сложить части, найти одну, умножить.
Проверка: сложить полученные куски — должно выйти целое.
Курс: математика 6 класс
Тема пройдена — возвращайтесь к карте курса и выбирайте следующую.