Расстояние между точками и от точки до прямой

Между двумя точками

Соединим точки отрезком. Его длина и есть расстояние: любой другой путь — по дуге, ломаной, вокруг — окажется длиннее.

От точки до прямой

Из точки к прямой можно провести много отрезков. Самый короткий — тот, что перпендикулярен прямой.

Наклонная всегда длиннее: она гипотенуза прямоугольного треугольника, а перпендикуляр — его катет.

Осторожно: отрезок — не прямая

Если вместо прямой дан отрезок, перпендикуляр может упасть мимо него. Тогда ближайшая точка — конец отрезка, и расстояние меряют до него.

Где это понадобится

Высота треугольника — расстояние от вершины до противоположной стороны. Именно поэтому она перпендикулярна основанию, а не просто «идёт вниз».

Тот же смысл в бытовых задачах: ширина реки меряется поперёк, а не наискось; кратчайший путь до дороги — перпендикулярно ей.

Измерим

Двигаем точку и смотрим, как меняется расстояние. Пусть класс скажет, где оно наименьшее.

Проверьте себя

Пять вопросов по разобранному, с объяснением к каждому ответу.

Главное

• Расстояние между точками — длина отрезка между ними.
• На координатной прямой: из большей координаты вычесть меньшую.
• Расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра.
• Любая наклонная длиннее перпендикуляра из той же точки.
• Высота треугольника — расстояние от вершины до противоположной прямой.