Математика · 6 класс · Наглядная геометрия: прямые на плоскости
Расстояние между точками и от точки до прямой
Как измеряют расстояние между точками на прямой и на плоскости, почему от точки до прямой ближе всего по перпендикуляру и как это считать.
Главная идея: Расстояние между двумя точками — это длина отрезка, который их соединяет. А расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую: любой другой путь длиннее.
В школе на тему отводится
3 урока: здесь собрано главное, что на них разбирают,
а решать можно сколько угодно — задачник ниже выдаёт новые задачи
без конца.
Раздел 1
Расстояние между точками
Между двумя точками можно провести сколько угодно линий, но
отрезок среди них один — и он самый короткий. Его длину и называют
расстоянием между точками.
На координатной прямой расстояние считают вычитанием:
от большей координаты отнимают меньшую. Между $A(3)$ и $B(11)$ расстояние
$11 - 3 = 8$ единиц.
Расстояние не бывает отрицательным: важна длина, а не направление.
От $A$ до $B$ и от $B$ до $A$ — одно и то же расстояние.
Если точки совпали, расстояние равно нулю.
Раздел 2
От точки до прямой
Из точки к прямой можно провести множество отрезков.
Тот, что встречает прямую под прямым углом, называют перпендикуляром,
остальные — наклонными.
Расстояние от точки до прямой — это длина
перпендикуляра. Он всегда короче любой наклонной, проведённой из той же
точки.
Житейская проверка: чтобы быстрее выйти на дорогу, идут
к ней напрямик под прямым углом, а не наискосок. Наискосок — дальше.
Основание перпендикуляра — точка, где он встречает прямую.
Если точка лежит на прямой, расстояние равно нулю.
Чем дальше основание наклонной от основания перпендикуляра,
тем наклонная длиннее.
Раздел 3
Где это встречается
Расстояние от точки до прямой — не школьная выдумка, а
рабочая мерка.
Высота треугольника — это расстояние от вершины до прямой,
содержащей противоположную сторону.
Ширина полосы между параллельными прямыми — расстояние от
любой точки одной до другой.
На карте: «сколько метров от дома до дороги» считают
именно по перпендикуляру.
Частая ошибка — измерить «до ближайшего конца
отрезка» вместо перпендикуляра. Если основание перпендикуляра попадает
внутрь отрезка, расстояние именно до него, а не до концов.
Попробуйте сами
Кратчайший путь — перпендикуляр
Синий отрезок — перпендикуляр, оранжевый — наклонная.
Двигайте её основание и сравнивайте длины.
Задачник
Решайте, пока не надоест
Каждая задача собирается заново, поэтому они не закончатся.
Ответ проверяется сразу, а разбор показывает, как считать.
Для класса есть другой режим:
два варианта решают задачи одного типа с разными числами, по 30 секунд
на задачу. Ответов на экране нет — они появятся на разборе.
Проверьте себя
Тренажёр по теме
На каждый ответ — объяснение, даже если он неверный.
На что обратить внимание
Частые ошибки
Считают расстояние между точками вычитанием наоборот и получают минус.
Измеряют расстояние до прямой по наклонной, а не по перпендикуляру.
Меряют «до ближайшего конца отрезка», когда основание перпендикуляра внутри него.
Забывают, что расстояние от точки на прямой до этой прямой равно нулю.
Путают высоту треугольника со стороной или с медианой.
Коротко
Шпаргалка
Расстояние между точками — длина отрезка между ними.
На координатной прямой: из большей координаты вычесть меньшую.
Расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра.
Любая наклонная длиннее перпендикуляра из той же точки.
Высота треугольника — расстояние от вершины до противоположной прямой.
Курс: математика 6 класс
Тема пройдена — возвращайтесь к карте курса и выбирайте следующую.