Загрузка заданий...

Вариант 1117 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 11.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой A и цифрой: A0, A1, A2 и так далее. Лист формата A0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 кв. м. Если лист формата A0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получается два равных листа формата A1. Если лист A1 разрезать так же пополам, получается два листа формата A2. И так далее.

Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это сделано специально для того, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при уменьшении или увеличении шрифта при изменении формата листа.

1 Задание 1 1 балл

Установите соответствие между форматами и номерами листов. В ответ запишите последовательность четырёх цифр для форматов A2, A3, A4 и A6.

В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы A2, A3, A4, A6.

Номер листа	Длина (мм)	Ширина (мм)
1	594	420
2	420	297
3	148	105
4	297	210

Решение

A2 — 594 × 420 мм, это №1. A3 — 420 × 297 мм, это №2. A4 — 297 × 210 мм, это №4. A6 — 148 × 105 мм, это №3. Ответ: 1243.

Ответ: 1243

2 Задание 2 1 балл

Сколько листов формата A5 получится из одного листа формата A3?

Решение

Из A3 получают два листа A4, а из каждого A4 — два листа A5. Значит всего 2 · 2 = 4 листа A5. Ответ: 4.

Ответ: 4

3 Задание 3 1 балл

Найдите площадь листа формата A5. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение

Площадь A0 равна 1 м². A5 получается после пяти делений пополам, значит площадь A5 равна $\frac{1}{32}$ м² = 10000 : 32 = 312,5 см². Ответ: 312,5.

Ответ: 312.5

4 Задание 4 1 балл

Найдите длину листа бумаги формата A6. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.

Решение

Формат A6 имеет размеры примерно 148 × 105 мм. Длина листа равна 148 мм. Округляем до ближайшего числа, кратного 10: 150. Ответ: 150.

Ответ: 150

5 Задание 5 1 балл

Бумагу формата A1 упаковали в пачки по 80 листов. Найдите массу пачки, если масса бумаги площади 1 кв. м равна 120 г. Ответ дайте в граммах.

Решение

Площадь листа A1 равна половине площади A0: $\frac{1}{2}$ м². Масса одного листа: 120 · $\frac{1}{2}$ = 60 г. Масса 80 листов: 60 · 80 = 4800 г. Ответ: 4800.

Ответ: 4800

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4} : \frac{1}{2}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $\frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4} : \frac{1}{2}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{1}{4}) \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{16}$.

Шаг 2: $(\frac{3}{16}) : \frac{1}{2} = \frac{3}{8}$.

Получили дробь $\frac{3}{8}$.

Эта дробь равна конечной десятичной дроби $0,375$.

Ответ: $0,375$.

Ответ: 0,375

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какому из следующих чисел соответствует точка A на координатной прямой?

В ответе укажите номер правильного варианта.

$\frac{-23}{8}$

-0,23

$\frac{35}{13}$

$\sqrt{17}$

Решение

По чертежу видно, что точка A имеет координату между -1 и 0.

Сравним варианты по приближённым значениям:

1) $\frac{-23}{8}$ ≈ -2,875

2) -0,23 ≈ -0,23

3) $\frac{35}{13}$ ≈ 2,6923

4) $\sqrt{17}$ ≈ 4,1231

Точке A соответствует вариант 2.

Правильный ответ: 2.

Ответ: 2

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{18} + \sqrt{50})\sqrt{2}$$

Решение

Вычислим выражение: (√18 + √50)·√2.

Вынесем полные квадраты из-под корня: √18 = 3√2, √50 = 5√2.

Тогда получаем (3√2 + 5√2)·√2 = 8√2·√2.

Так как √2·√2 = 2, имеем 8·2 = 16.

Ответ: 16.

Ответ: 16

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите систему уравнений: $$\begin{cases} 5x + 5y = 70 \\ -4x + 8y = 16 \end{cases}$$

Решение

Решим систему:

5x + 5y = 70

-4x + 8y = 16

Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на -4, а второе — на 5.

Получим:

$(5x + 5y = 70) \cdot -4$: -20x - 20y = -280

$(-4x + 8y = 16) \cdot 5$: -20x + 40y = 80

Вычтем второе уравнение из первого:

-60y = -360

y = -360 / -60 = 6

Подставим y = 6 в первое уравнение:

5x + 5y = 70

Получаем x = 8.

Ответ: (8;6)

Ответ: 8;6

10 Статистика, вероятности 1 балл

В среднем из 200 карманных фонариков, поступивших в продажу, 48 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.

Решение

Всего равновозможных исходов: 200.

Благоприятных исходов: 152 (исправный фонарик).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = 152/200 = 0,76.

Ответ: 0,76.

Ответ: 0,76

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

ГРАФИКИ

ФОРМУЛЫ

А) $y = \dfrac{2}{3}x - 5$

Б) $y = -3x^2 + 9x - 4$

В) $y = -\dfrac{6}{x}$

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 213.

Ответ: 213

12 Расчёты по формулам 1 балл

В фирме «Чистая вода» стоимость (в рублях) колодца из железобетонных колец рассчитывается по формуле C = 6500 + 4000n, где n – число колец, установленных в колодце. Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость колодца из 13 колец.

Решение

Подставим n = 13 в формулу C = 6500 + 4000n.

C = 6500 + 4000·13 = 58500.

Ответ: 58 500.

Ответ: 58 500

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства:

5x - 5 > -6x + 6

(-∞;-1)

(0;+∞)

(-∞;0)

(1;+∞)

Решение

Решим неравенство: 5x - 5 > -6x + 6.

Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: 11x > 11.

Делим обе части на 11: x > 1.

Значит, x больше 1.

Этому соответствует промежуток (1;+∞).

Правильный ответ: 4.

Ответ: 4

14 Задачи на прогрессии 1 балл

У Тани есть теннисный мячик. Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока мячик подлетел на высоту 450 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в два раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 20 см?

Решение

Высоты отскоков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 450, q = $\frac{1}{2}$.

Проверяем последовательно: после 5-го отскока высота ещё не меньше 20 см, а после 6-го уже меньше.

Ответ: 6.

Ответ: 6

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC угол C равен 126°. Найдите внешний угол при вершине C. Ответ дайте в градусах.

Решение

Внешний угол при вершине C смежный с внутренним углом C.

Поэтому он равен 180° - 126° = 54°.

Ответ: 54.

Ответ: 54

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA = 32°. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.

Решение

Так как AB — диаметр, вписанный угол ANB равен 90°.

В треугольнике ANB угол NAB = 180° - 90° - 32° = 58°.

Углы NAB и NMB опираются на одну и ту же дугу NB, значит они равны.

Следовательно, ∠NMB = 58°.

Ответ: 58.

Ответ: 58

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Основания трапеции равны 3 и 11. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.

Решение

Диагональ делит среднюю линию трапеции на отрезки, равные половинам оснований.

Больший отрезок равен 11 / 2 = 5,5.

Ответ: 5,5.

Ответ: 5,5

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали.

Решение

Диагонали ромба на рисунке идут по горизонтали и вертикали.

По клеткам их длины равны 6 и 6.

Большая диагональ равна 6.

Ответ: 6.

Ответ: 6

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника.

Через заданную точку плоскости можно провести только одну прямую.

Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Неверно.

2) Неверно.

3) Верно.

Ответ: 3.

Ответ: 3

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Найдите значение выражения $11a-15b+22$, если $\dfrac{7a-6b+8}{6a-7b+8}=3$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из условия дроби выразить $11a-15b$ и подставить.

Шаг 1. Из условия: $7a-6b+8 = 3(6a-7b+8)$.

Шаг 2. Раскрываем: $7a-6b+8 = 18a-21b+24$.

Шаг 3. Переносим влево: $0 = 11a-15b+16$, откуда $11a-15b = -16$.

Шаг 4. Вычисляем: $11a-15b+22 = -16+22 = 6$.

Ответ: 6.

Правильный ответ: 6

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 93 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего в том же направлении параллельно путям по платформе со скоростью 3 км/ч, за 24 секунд. Найдите длину поезда в метрах.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: длина поезда = относительная скорость × время наблюдения (в метрах и секундах).

Шаг 1. Поезд и пешеход движутся в одном направлении. Относительная скорость:

93 − 3 = 90 км/ч.

Шаг 2. Переводим в м/с: 90 × 1000 / 3600 = 25 м/с.

Шаг 3. Поезд полностью минует пешехода за 24 с, значит его длина:

25 × 24 = 600 м.

Ответ: 600.

Правильный ответ: 600

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $ y=3-\dfrac{x+2}{x^2+2x} $. Определите, при каких значениях m прямая $ y=m $ не имеет с графиком общих точек.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Сократим одинаковый множитель в числителе и знаменателе.

Получаем график функции $ y=3-\frac1x $, но с выколотой точкой при $ x=-2 $.

У функции $ y=3-\frac1x $ нет значений $ y=3 $.

Из-за выколотой точки также отсутствует значение $ y=3,5 $.

Следовательно, прямая $ y=m $ не имеет общих точек с графиком при $ m=3; 3,5 $.

Ответ: 3; 3,5.

Правильный ответ: 3; 3,5

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Треугольники

Углы B и C треугольника ABC равны соответственно 65° и 85°. Найдите BC, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 9.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: применить теорему синусов BC/sin A = 2R.

Шаг 1. Находим угол A: A = 180° − 65° − 85° = 30°.

Шаг 2. По теореме синусов: BC/sin A = 2R.

Шаг 3. BC = 2R·sin 30° = 2·9·($\frac{1}{2}$) = 9.

Ответ: 9.

Правильный ответ: 9

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Окружности

Окружности с центрами в точках I и J пересекаются в точках A и B, причём точки I и J лежат по одну сторону от прямой AB. Докажите, что прямые IJ и AB перпендикулярны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: каждый центр лежит на серединном перпендикуляре к общей хорде.

Шаг 1. IA = IB (оба — радиусы первой окружности).

⟹ точка I равноудалена от A и B

⟹ I лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB.

Шаг 2. JA = JB (оба — радиусы второй окружности).

⟹ точка J тоже лежит на том же серединном перпендикуляре.

Шаг 3. Через два разных точки проходит единственная прямая.

Прямая IJ совпадает с серединным перпендикуляром к AB.

Следовательно, IJ ⟂ AB. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

Середина M стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если BC = 12, а углы B и C четырёхугольника равны соответственно 115° и 95°.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: если середина стороны равноудалена от всех вершин, она — центр описанной окружности, а сторона — диаметр.

Шаг 1. M — середина AD и MA = MB = MC = MD, значит M — центр описанной окружности.

Тогда AD = 2R (диаметр).

Шаг 2. ∠ABD = 90° (вписанный угол, опирающийся на диаметр AD).

∠DBC = ∠B − 90° = 115° − 90° = 25°.

Шаг 3. ∠ACD = 90° (аналогично). ∠ACB = ∠C − 90° = 95° − 90° = 5°.

Шаг 4. ∠CAD = ∠CBD = 25° (вписанные углы на одну дугу CD).

∠ADB = ∠ACB = 5° (вписанные углы на одну дугу AB).

∠DAB = 90° − ∠ADB = 90° − 5° = 85°.

Шаг 5. ∠BAC = ∠DAB − ∠CAD = 85° − 25° = 60°.

Шаг 6. По теореме синусов: BC = AD · sin(∠BAC).

AD = BC / sin(60°) = 12 / sin(60°) = 8√3.

Ответ: 8√3.

Правильный ответ: 8√3

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.