Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 11.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
На плане изображён дачный участок по адресу: п. Сосновка, ул. Зелёная, д. 19.
Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота. При входе на участок слева от ворот находится гараж. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв. м, а чуть подальше — жилой дом.
Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки. Также на участке есть баня, к которой ведёт дорожка, выложенная плиткой, и огород с теплицей внутри. Огород отмечен на плане цифрой 6. Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1 м × 1 м. Между гаражом и сараем находится площадка, вымощенная такой же плиткой. К участку подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.
1Задание 11 балл
Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без дополнительных символов.
Объекты
жилой дом
баня
гараж
теплица
Цифры
Решение
Сопоставляем описание объектов и их расположение на плане: жилой дом — 7, баня — 4, гараж — 2, теплица — 5.
В таблице объекты стоят в порядке: жилой дом, баня, гараж, теплица.
Получаем последовательность: 7425.
Ответ: 7425
2Задание 21 балл
Плитки для садовых дорожек продаются в упаковках по 10 штук. Сколько упаковок плиток понадобилось, чтобы выложить все дорожки и площадку между сараем и гаражом?
Решение
На все дорожки уходит 25 плиток, на площадку между сараем и гаражом — 40 плиток. Всего нужно 65 плиток.
В одной упаковке 10 плиток, поэтому потребуется ⌈65 / 10⌉ = 7 упаковок.
Ответ: 7.
Ответ: 7
3Задание 31 балл
Найдите периметр фундамента жилого дома. Ответ дайте в метрах.
Решение
По плану у жилого дома длины сторон в сумме дают 18 клеточных отрезков. Одна сторона клетки равна 2 м, значит периметр равен 18 · 2 = 36 м.
Ответ: 36.
Ответ: 36
4Задание 41 балл
Сколько процентов от площади всего участка занимают строения (жилой дом, гараж, сарай, баня)? Ответ округлите до целого.
Решение
Площадь строений: 60 + 48 + 24 + 36 = 168 кв. м. Площадь участка равна 576 кв. м. Тогда 168 / 576 · 100% ≈ 29,167%. После округления получаем 29%.
Ответ: 29.
Ответ: 29
5Задание 51 балл
Хозяин участка планирует установить в жилом доме систему отопления. Он рассматривает два варианта: электрическое или газовое отопление. Цены на оборудование и стоимость его установки, данные о расходе газа, электроэнергии и их стоимости даны в таблице.
Обдумав оба варианта, хозяин решил установить газовое отопление. Через сколько часов непрерывной работы отопления экономия от использования газа вместо электричества компенсирует разницу в стоимости покупки и установки газового и электрического оборудования?
Нагреватель (котёл)
Прочее оборудование и монтаж
Средн. расход газа / средн. мощность
Стоимость газа / электроэнергии
Газовое отопление
20 000 руб.
15 370 руб.
1,6 куб. м/ч
4,9 руб./куб. м
Электр. отопление
15 000 руб.
14 000 руб.
4,9 кВт
4,2 руб./(кВт·ч)
Решение
Начальные расходы на газовое отопление: 35370 руб.
Начальные расходы на электрическое отопление: 29000 руб.
Разница в начальных расходах: 35370 - 29000 = 6370 руб.
Почасовая стоимость газового отопления: 1,6 · 4,9 = 7,84 руб./ч.
Почасовая стоимость электрического отопления: 4,9 · 4,2 = 20,58 руб./ч.
Экономия за час: 20,58 - 7,84 = 12,74 руб./ч.
Ищем время окупаемости: 6370 / 12,74 = 500.
Ответ: 500.
Ответ: 500
6Числа и вычисления1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{4}{1} + \frac{3}{5}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(\frac{4}{1} + \frac{3}{5}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Домножим обе части на НОК знаменателей 3 и 2, то есть на 6.
Получим:
(-12x - 12) - (27x + 3) - 36x = 60
Приведём подобные слагаемые:
-75x - 15 = 60
Перенесём число в правую часть:
-75x = 75
Разделим обе части на -75:
x = 75 / -75
x = -1
Ответ: -1
Ответ: -1
10Статистика, вероятности1 балл
В фирме такси в данный момент свободно 40 машин: 6 чёрных, 15 жёлтых и 19 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.
Решение
Всего равновозможных исходов: 40.
Благоприятных исходов: 15 (жёлтое такси).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{15}{40}\) = 0,375.
Ответ: 0,375.
Ответ: 0,375
11Графики функций1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов k и b.
Графики
А) график 1
Б) график 2
В) график 3
Коэффициенты
1) k > 0, b > 0
2) k > 0, b < 0
3) k < 0, b > 0
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А
Б
В
Решение
Для каждого графика определяем знак коэффициента k по наклону и знак b по пересечению с осью Oy. Ответ: 123.
Ответ: 123
12Расчёты по формулам1 балл
Центростремительное ускорение при движении по окружности (в м/с2) можно вычислить по формуле a = ω2R, где ω – угловая скорость (в с-1), а R – радиус окружности (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите радиус R, если угловая скорость равна 5 с-1, а центростремительное ускорение равно 13,5 м/с2. Ответ дайте в метрах.
Решение
Из формулы a = ω²R выразим радиус: R = a/ω².
R = 13,5/(5²) = 0,54.
Ответ: 0,54.
Ответ: 0,54
13Неравенства, системы неравенств1 балл
Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.
1
x2 - 6x < 0
2
x2 - 6x > 0
3
x2 - 36 < 0
4
x2 - 36 > 0
Решение
Смотрим на отмеченные корни и закрашенные промежутки. Этому соответствует вариант 1.
Ответ: 1
14Задачи на прогрессии1 балл
У Тани есть теннисный мячик. Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока мячик подлетел на высоту 540 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в три раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 10 см?
Решение
Высоты отскоков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 540, q = \(\frac{1}{3}\).
Проверяем последовательно: после 4-го отскока высота ещё не меньше 10 см, а после 5-го уже меньше.
Ответ: 5.
Ответ: 5
15Треугольники и их элементы1 балл
В треугольнике ABC известно, что AB = 14, BC = 5, sin ∠ABC = 6/7. Найдите площадь треугольника ABC.
Решение
Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними вычисляется по формуле:
Свежие фрукты содержат 82% воды, а высушенные — 29%. Сколько сухих фруктов получится из 284 кг свежих фруктов?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: масса сухого вещества при сушке не меняется.
Шаг 1. Свежие фрукты содержат 82% воды, значит сухого вещества 18%.
Шаг 2. Масса сухого вещества в 284 кг свежих фруктов:
284 · 18/100 = 51,12 кг.
Шаг 3. Высушенные фрукты содержат 29% воды, значит сухого вещества 71%.
Шаг 4. Пусть масса сухих фруктов = x кг. Тогда 0,71·x = 51,12.
x = 51,12 / 0,71 = 72 кг.
Ответ: 72.
Правильный ответ: 72
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22Функции и их свойства. Графики функций2 балла
Постройте график функции \(\; y=\begin{cases}2{,}5x-1,& x<2,\\-3{,}5x+11,& 2\le x\le 3,\\x-1,& x>3.\end{cases}\) Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком две общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.
Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.
По анализу графика получаем: [0,5;2]∪{4}.
Ответ: [0,5;2]∪{4}.
Правильный ответ: [0,5;2]∪{4}
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23Геометрические задачи на вычисление2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Окружности
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK = 6, а сторона AC в 1,2 раза больше стороны BC.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: четыре точки K, P, B, C лежат на окружности — треугольники AKP и ABC подобны.
Шаг 1. Угол A общий для △AKP и △ABC.
∠AKP = ∠ABC (вписанные углы, опирающиеся на одну дугу KPBC).
По двум углам: △AKP ∼ △ABC.
Шаг 2. Коэффициент подобия = AK/AB = KP/BC.
По условию AC = 1,2·BC, поэтому AK/AC = KP/BC.
KP = AK · BC/AC = AK / 1,2 = 6 / 1,2 = 5.
Ответ: 5.
Правильный ответ: 5
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24Геометрические задачи на доказательство2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Окружности
Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AB и CD четырёхугольника пересекаются в точке M. Докажите, что треугольники MBC и MDA подобны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: использовать равенство вписанных углов на одну дугу в ABCD.
Шаг 2. ∠MBC = ∠MDA: оба опираются на дугу BC (вписанные в одну окружность).
Шаг 3. ∠MCB = ∠MAD: оба опираются на дугу CD.
Шаг 4. По двум равным углам △MBC ∼ △MDA. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25Геометрические задачи повышенной сложности2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 8 и 10, а основание BC равно 2. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: биссектриса угла ADC проходит через середину AB — это даёт уравнение на AD.
Шаг 1. Пусть M — середина AB. Биссектриса угла ADC проходит через M.
По свойству биссектрисы в треугольнике (или трапеции): ∠ADM = ∠MDC.
Шаг 2. Из условия параллельности оснований и свойства биссектрисы:
AD = AB + BC = 8 + 2... (точнее, выводится из прямоугольника при трапеции).
Через пифагорово тройки: высота h = 6, AB = 8, CD = 10, BC = 2.
