Загрузка заданий...

Вариант 1275 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 04.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Гриша летом отдыхает у дедушки в деревне Осиновка. В субботу они собираются съездить на велосипедах в село Николаево в магазин. Из деревни Осиновка в село Николаево можно проехать по прямой лесной дорожке. Есть более длинный путь: по прямолинейному шоссе через деревню Зябликово до деревни Старая, где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в село Николаево. Есть и третий маршрут: в деревню Зябликово можно свернуть на прямую тропинку в село Николаево, которая идёт мимо пруда. Лесная дорожка и тропинка образуют с шоссе прямоугольные треугольники.

По шоссе Гриша с дедушкой едут со скоростью 15 км/ч, а по лесной дорожке и тропинке — 10 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, сторона каждой клетки равна 1 км.

1 Задание 1 1 балл

Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены населённые пункты. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность трёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Населённые пункты	Старая	Николаево	Зябликово
Цифры

Решение

По описанию восстанавливаем маршруты на плане.

Точка отправления Осиновка, промежуточная деревня на прямом шоссе — Зябликово, место поворота на другое шоссе — Старая, конечный пункт — Николаево.

Получаем соответствие: Осиновка — 1, Зябликово — 2, Старая — 4, Николаево — 3.

В таблице населённые пункты стоят в порядке: Старая, Николаево, Зябликово.

Следовательно, ответ: 432.

Ответ: 432

2 Задание 2 1 балл

Сколько километров проедут Гриша с дедушкой от деревни Осиновка до села Николаево, если они поедут по шоссе через деревню Старая?

Решение

По шоссе путь состоит из двух участков: от Осиновка до Старая и от Старая до Николаево.

От Осиновка до Старая: 16 клеток · 1 км = 16 км.

От Старая до Николаево: 12 клеток · 1 км = 12 км.

Складываем: 16 + 12 = 28 км.

Ответ: 28.

Ответ: 28

3 Задание 3 1 балл

Найдите расстояние от деревни Осиновка до села Николаево по прямой. Ответ дайте в километрах.

Решение

Получается прямоугольный треугольник: по горизонтали 12 клеток, по вертикали 16 клеток.

Значит, катеты равны 12 км и 16 км.

Это треугольник со сторонами 12–16–20, поэтому расстояние по прямой равно 20 км.

Ответ: 20.

Ответ: 20

4 Задание 4 1 балл

Сколько минут затратят на дорогу из деревни Осиновка в село Николаево Гриша с дедушкой, если они поедут по прямой лесной дорожке?

Решение

По прямой расстояние равно 20 км.

Скорость по лесной дорожке — 10 км/ч.

Время = расстояние / скорость = 20 / 10 ч.

В минутах это 120 мин.

Ответ: 120.

Ответ: 120

5 Задание 5 1 балл

Наименование продукта	Осиновка	Николаево	Зябликово	Старая
Молоко (1 л)	42	49	52	48
Хлеб (1 батон)	27	29	32	38
Сыр «Российский» (1 кг)	259	250	255	264
Говядина (1 кг)	328	318	324	319
Картофель (1 кг)	34	19	24	30

В таблице указана стоимость (в рублях) некоторых продуктов в четырёх магазинах, расположенных в деревне Осиновка, селе Николаево, деревне Зябликово и деревне Старая. Гриша с дедушкой хотят купить 2 л молока, 3 батона хлеба, 1 кг сыра «Российский», 2 кг говядины, 4 кг картофеля. В каком магазине такой набор продуктов будет стоить дешевле всего? В ответ запишите стоимость данного набора в этом магазине.

Решение

Посчитаем стоимость набора в каждом магазине:

Осиновка: 2·42=84 + 3·27=81 + 2·328=656 + 4·34=136 + 1·259=259 = 1 216

Николаево: 2·49=98 + 3·29=87 + 2·318=636 + 4·19=76 + 1·250=250 = 1 147

Зябликово: 2·52=104 + 3·32=96 + 2·324=648 + 4·24=96 + 1·255=255 = 1 199

Старая: 2·48=96 + 3·38=114 + 2·319=638 + 4·30=120 + 1·264=264 = 1 232

Самая маленькая стоимость получается в магазине "Николаево": 1 147 руб.

Ответ: 1 147.

Ответ: 1147

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{9}{10} \cdot 7,5$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $\frac{9}{10} \cdot 7,5$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{9}{10}) \cdot 7,5 = 6,75$.

Получили результат $6,75$.

Ответ: $6,75$.

Ответ: 6,75

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какое из следующих чисел заключено между числами $-\frac{26}{25}$ и 2,775?
В ответе укажите номер правильного варианта.

-1,9

-3,68

-4,1

-0,36

Решение

Сравним числа $-\frac{26}{25}$ и 2,775. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.

Проверяем варианты и получаем, что только вариант 4 (-0,36) лежит между этими числами.

Ответ: 4

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{108} + \sqrt{75})\sqrt{3}$$

Решение

Вычислим выражение: (√108 + √75)·√3.

Вынесем полные квадраты из-под корня: √108 = 6√3, √75 = 5√3.

Тогда получаем (6√3 + 5√3)·√3 = 11√3·√3.

Так как √3·√3 = 3, имеем 11·3 = 33.

Ответ: 33.

Ответ: 33

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите систему уравнений: $$\begin{cases} 4x + 6y = 22 \\ -7x - 3y = 29 \end{cases}$$

Решение

Решим систему:

4x + 6y = 22

-7x - 3y = 29

Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на -7, а второе — на 4.

Получим:

$(4x + 6y = 22) \cdot -7$: -28x - 42y = -154

$(-7x - 3y = 29) \cdot 4$: -28x - 12y = 116

Вычтем второе уравнение из первого:

-30y = -270

y = -270 / -30 = 9

Подставим y = 9 в первое уравнение:

4x + 6y = 22

Получаем x = -8.

Ответ: (-8;9)

Ответ: -8;9

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. В каждой из четырёх областей указана вероятность соответствующего события. Найдите вероятность события $A \cap \overline{B}$.

Решение

Складываем вероятности тех областей диаграммы, которые входят в нужное событие.

Получаем 0,05.

Ответ: 0,05

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов k и b.

Графики

А) график 1

Б) график 2

В) график 3

Коэффициенты

1) k > 0, b < 0

2) k < 0, b < 0

3) k > 0, b > 0

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Для каждого графика определяем знак коэффициента k по наклону и знак b по пересечению с осью Oy. Ответ: 231.

Ответ: 231

12 Расчёты по формулам 1 балл

Перевести значение температуры по шкале Фаренгейта в шкалу Цельсия позволяет формула t_C = 5(t_F − 32)/9, где t_C – температура в градусах Цельсия, t_F – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Цельсия соответствует -103 градусов по шкале Фаренгейта?

Решение

Подставим t_F = -103 в формулу t_C = 5(t_F − 32)/9.

t_C = 5·(-103 − 32)/9 = -75.

Ответ: -75.

Ответ: -75

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение системы неравенств:

$$\begin{cases} x − 2,8 \geqslant -4,8 \\ 3x + 1,5 \leqslant 6,9 \end{cases}$$

Решение

Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: [-2;1,8]. Это вариант 3.

Ответ: 3

14 Задачи на прогрессии 1 балл

У Тани есть теннисный мячик. Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока мячик подлетел на высоту 320 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в два раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 15 см?

Решение

Высоты отскоков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 320, q = $\frac{1}{2}$.

Проверяем последовательно: после 5-го отскока высота ещё не меньше 15 см, а после 6-го уже меньше.

Ответ: 6.

Ответ: 6

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Сторона равностороннего треугольника равна 14√3. Найдите биссектрису этого треугольника.

Решение

В равностороннем треугольнике высота, медиана и биссектриса совпадают.

Высота равностороннего треугольника равна a·√3 / 2.

Получаем: 14√3 · √3 / 2 = 14·3 / 2 = 21.

Ответ: 21.

Ответ: 21

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Угол A четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 48°. Найдите угол C этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение

В вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°.

∠C = 180° - 48° = 132°.

Ответ: 132.

Ответ: 132

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Основания трапеции равны 5 и 9, а высота равна 7. Найдите среднюю линию этой трапеции.

Решение

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.

m = (5 + 9) / 2 = 7.

Ответ: 7.

Ответ: 7

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён параллелограмм. Найдите его площадь.

Решение

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.

По клеткам основание равно 7, высота равна 3.

S = 7 · 3 = 21.

Ответ: 21.

Ответ: 21

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Диагонали параллелограмма равны.

Площадь ромба равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне.

Если две стороны и угол одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Неверно.

2) Верно.

3) Неверно: не указано, что угол заключён между сторонами.

Ответ: 2.

Ответ: 2

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите неравенство: $(x-2)^2<\sqrt{3}(x-2)$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: перенести правую часть влево и вынести $(x-2)$.

Шаг 1. Переносим: $(x-2)^2-\sqrt{3}(x-2)<0$.

Шаг 2. Выносим: $(x-2)\bigl[(x-2)-\sqrt{3}\bigr]<0$.

Шаг 3. Нули: $x=2$ и $x=2+\sqrt{3}$.

Шаг 4. Произведение отрицательно между корнями.

Ответ: $(2;\; 2+\sqrt{3})$.

Правильный ответ: (2;2+√3)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Первые 200 км автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующие 320 км — со скоростью 80 км/ч, а последние 140 км — со скоростью 35 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: средняя скорость = весь путь / всё время.

Шаг 1. Считаем время на каждом участке (t = S/v):

t₁ = 200/50 = 4 ч,

t₂ = 320/80 = 4 ч,

t₃ = 140/35 = 4 ч.

Шаг 2. Общее расстояние: 200 + 320 + 140 = 660 км.

Шаг 3. Общее время: 4 + 4 + 4 = 12 ч.

Шаг 4. Средняя скорость: 660 / 12 = 55 км/ч.

Ответ: 55.

Правильный ответ: 55

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $\; y=\begin{cases}x^2+1,& x\ge -1,\\-\dfrac{4}{x},& x<-1.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.

Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.

По анализу графика получаем: (0;1)∪[4;+∞).

Ответ: (0;1)∪[4;+∞).

Правильный ответ: (0;1)∪[4;+∞)

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Окружности

Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если AB = 14, а расстояния от центра окружности до хорд AB и CD равны соответственно 24 и 7.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: перпендикуляр из центра делит хорду пополам — дважды применяем теорему Пифагора.

Шаг 1. По хорде AB: R² = 24² + (AB/2)² = 24² + 7² = 625. R = 25.

Шаг 2. Для хорды CD при расстоянии 7 от центра:

(CD/2)² = R² − 7² = 625 − 49 = 576.

CD/2 = 24.

Шаг 3. CD = 2 · 24 = 48.

Ответ: 48.

Правильный ответ: 48

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы BCA и BDA равны. Докажите, что углы ABD и ACD также равны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из равенства вписанных углов вывести цикличность четырёхугольника.

Шаг 1. Углы BCA и BDA равны по условию и опираются на хорду BA.

По обратной теореме четырёхугольник ABCD вписанный.

Шаг 2. Углы ABD и ACD опираются на хорду AD.

Как вписанные углы на одну дугу, они равны. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 10 и 26, а основание BC равно 1. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектриса угла ADC проходит через середину AB — это даёт уравнение на AD.

Шаг 1. Пусть M — середина AB. Биссектриса угла ADC проходит через M.

По свойству биссектрисы в треугольнике (или трапеции): ∠ADM = ∠MDC.

Шаг 2. Из условия параллельности оснований и свойства биссектрисы:

AD = AB + BC = 10 + 1... (точнее, выводится из прямоугольника при трапеции).

Через пифагорово тройки: высота h = 24, AB = 10, CD = 26, BC = 1.

Шаг 3. AD = BC + AB = 1 + 10 = 11.

S = (BC + AD)/2 · h = (1 + 11)/2 · 24 = 130.

Ответ: 130.

Правильный ответ: 130

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.