Загрузка заданий...

Вариант 14 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 06.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.

Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 185/70 R14.

Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.

1 Задание 1 1 балл

Шины какой наибольшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 15 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.

Решение

Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 225.

Ответ: 225

2 Задание 2 1 балл

Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 185/65 R15?

Решение

В маркировке 185/65 R15 ширина шины равна 185 мм, а высота боковины составляет 65% от ширины. H = 185 · 65 / 100 = 120.25 мм. Ответ: 120.25.

Ответ: 120.25

3 Задание 3 1 балл

На сколько миллиметров увеличится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 215/50 R16?

Решение

Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 185/70 R14 и нового колеса 215/50 R16. Ответ: 6.8.

Ответ: 6.8

4 Задание 4 1 балл

Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.

Решение

Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 185/70 R14 получаем диаметр 614.6 мм. Ответ: 614.6.

Ответ: 614.6

5 Задание 5 1 балл

На сколько процентов уменьшится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 205/55 R15? Результат округлите до десятых.

Решение

Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 185/70 R14 и колеса 205/55 R15, затем находим процентное изменение. Ответ: 1.3.

Ответ: 1.3

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{3}{20} - 0,035$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $\frac{3}{20} - 0,035$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{3}{20}) - 0,035 = 0,115$.

Получили результат $0,115$.

Ответ: $0,115$.

Ответ: 0,115

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

-a < 5

$\frac{1}{a} > 0$

-a < 6

a < -6

Решение

По чертежу видно, что -6 < a < -5.

Проверим варианты ответа:

1) -a < 5 ⇔ a > -5 — неверно.

2) $\frac{1}{a} > 0$ ⇔ a > 0 — неверно.

3) -a < 6 ⇔ a > -6 — верно.

4) a < -6 ⇔ a < -6 — неверно.

Правильный ответ: 3.

Ответ: 3

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$7^{-3} \cdot (7^3)^2$$

Решение

Вычислим выражение: 7^(-3) · (7^3)^2.

Сначала применим формулу (a^b)^c = a^(bc): (7^3)^2 = 7^6.

Теперь используем a^m · a^n = a^(m+n): 7^-3 · 7^6 = 7^3.

Получаем 7^3 = 343.

Ответ: 343.

Ответ: 343

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите систему уравнений: $$\begin{cases} -6x + 3y = -30 \\ 7x - 7y = 14 \end{cases}$$

Решение

Решим систему:

-6x + 3y = -30

7x - 7y = 14

Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на 7, а второе — на -6.

Получим:

$(-6x + 3y = -30) \cdot 7$: -42x + 21y = -210

$(7x - 7y = 14) \cdot -6$: -42x + 42y = -84

Вычтем второе уравнение из первого:

-21y = -126

y = -126 / -21 = 6

Подставим y = 6 в первое уравнение:

-6x + 3y = -30

Получаем x = 8.

Ответ: (8;6)

Ответ: 8;6

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. Точками показаны все элементарные события и около каждого указана его вероятность. Найдите вероятность события $A \cap \overline{B}$.

Решение

Складываем вероятности всех точек, принадлежащих нужному событию.

Получаем 0,2.

Ответ: 0,2

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между функциями и их графиками.

ФУНКЦИИ

А) y = -9/x

Б) y = -2x² - 10x - 13

В) y = 0.3333333333333333x + 1

ГРАФИКИ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 132.

Ответ: 132

12 Расчёты по формулам 1 балл

Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле P = I²R, где I – сила тока (в амперах), R – сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите сопротивление R, если мощность составляет 196 Вт, а сила тока равна 7 А. Ответ дайте в омах.

Решение

Из формулы P = I²R выразим сопротивление: R = P/I².

R = 196/(7²) = 4.

Ответ: 4.

Ответ: 4

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение системы неравенств:

$$\begin{cases} 3x − 1,2 \leqslant 2,7 \\ 2x − 0,6 \leqslant 3,4 \end{cases}$$

(-∞;-0,7) ∪ (1,3;+∞)

(1,3;+∞)

(-∞;1,3]

[1,3;+∞)

Решение

Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: (-∞;1,3]. Это вариант 3.

Ответ: 3

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 11 мг. За каждые 20 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 80 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение

Масса колонии образует геометрическую прогрессию: b₁ = 11, q = 3.

За 80 минут пройдёт 4 промежутков по 20 минут.

Получаем массу 11·3^4 = 891 мг.

Ответ: 891.

Ответ: 891

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Сторона треугольника равна 14, а высота, проведённая к этой стороне, равна 19. Найдите площадь этого треугольника.

Решение

Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведённую к этой стороне.

S = $\frac{1}{2}$ · 14 · 19 = 266/2 = 133.

Ответ: 133.

Ответ: 133

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC известно, что AC = 30, BC = 16, угол C равен 90°. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

Решение

В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности — середина гипотенузы.

По теореме Пифагора AB = 34.

Следовательно, R = AB / 2 = 34 / 2 = 17.

Ответ: 17.

Ответ: 17

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 50° и 85°. Найдите меньший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение

Диагональ BD делит угол B на два данных угла.

Угол B равен 50° + 85° = 135°.

Тогда меньший угол параллелограмма равен 180° - 135° = 45°.

Ответ: 45.

Ответ: 45

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?

Решение

Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса.

По клеткам радиусы кругов равны 12 и 4.

Искомое отношение площадей равно (12 / 4)² = 9.

Ответ: 9.

Ответ: 9

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Диагонали параллелограмма равны.

Площадь ромба равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне.

Если две стороны и угол одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Неверно.

2) Верно.

3) Неверно: не указано, что угол заключён между сторонами.

Ответ: 2.

Ответ: 2

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Найдите значение выражения $18a-30b+25$, если $\dfrac{7a-5b+4}{5a-7b+4}=5$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из условия дроби выразить $18a-30b$ и подставить.

Шаг 1. Из условия: $7a-5b+4 = 5(5a-7b+4)$.

Шаг 2. Раскрываем: $7a-5b+4 = 25a-35b+20$.

Шаг 3. Переносим влево: $0 = 18a-30b+16$, откуда $18a-30b = -16$.

Шаг 4. Вычисляем: $18a-30b+25 = -16+25 = 9$.

Ответ: 9.

Правильный ответ: 9

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 176 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 19 км/ч, стоянка длится 1 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 20 часов после отплытия из него.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: путь по течению + стоянка + путь против течения = полное время.

Шаг 1. Пусть скорость течения равна x км/ч.

По течению: 19 + x. Против течения: 19 − x.

Шаг 2. Составляем уравнение:

176/(19+x) + 1 + 176/(19−x) = 20.

Шаг 3. Переносим стоянку: 176/(19+x) + 176/(19−x) = 19.

Шаг 4. Умножаем на (19+x)(19−x) = 361−x²:

176(19−x) + 176(19+x) = 19(361−x²).

Шаг 5. Левая часть: 2·176·19 = 6688. Квадратное уравнение относительно x.

Шаг 6. Решение: x = 3.

Шаг 7. Проверка: 8 + 1 + 11 = 20. ✓

Ответ: 3.

Правильный ответ: 3

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $ y=1-\dfrac{x+5}{x^2+5x} $. Определите, при каких значениях m прямая $ y=m $ не имеет с графиком общих точек.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Сократим одинаковый множитель в числителе и знаменателе.

Получаем график функции $ y=1-\frac1x $, но с выколотой точкой при $ x=-5 $.

У функции $ y=1-\frac1x $ нет значений $ y=1 $.

Из-за выколотой точки также отсутствует значение $ y=1,2 $.

Следовательно, прямая $ y=m $ не имеет общих точек с графиком при $ m=1; 1,2 $.

Ответ: 1; 1,2.

Правильный ответ: 1; 1,2

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Треугольники

Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH = 6, AC = 54.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: в прямоугольном треугольнике катет² = гипотенуза · проекция катета на гипотенузу.

Шаг 1. Точка H — основание высоты из B, значит AH — проекция катета AB на гипотенузу AC.

Шаг 2. По свойству: AB² = AH · AC = 6 · 54 = 324.

Шаг 3. AB = √324 = 18.

Ответ: 18.

Правильный ответ: 18

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Треугольники

В треугольнике ABC с тупым углом C проведены высоты AA₁ и BB₁. Докажите, что треугольники A₁CB₁ и ACB подобны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: подобие через два прямоугольных треугольника.

Шаг 1. AA₁ ⊥ BC ⟹ ∠CA₁A = 90°; BB₁ ⊥ AC ⟹ ∠CB₁B = 90°.

Шаг 2. Угол C тупой, поэтому основания A₁ и B₁ лежат на продолжениях сторон CB и CA за вершину C. Значит ∠A₁CB₁ = ∠ACB как вертикальные углы.

Шаг 3. Прямоугольные △CAA₁ и △CBB₁ имеют равные острые углы при C, поэтому подобны. Отсюда CA₁ : CA = CB₁ : CB.

Шаг 4. У △A₁CB₁ и △ACB угол при C равен (∠A₁CB₁ = ∠ACB), а прилежащие стороны пропорциональны. По второму признаку подобия △A₁CB₁ ∼ △ACB. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC = 6, а расстояние от точки K до стороны AB равно 9.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектрисы смежных углов параллелограмма — свойство равноудалённости — дают высоту.

Шаг 1. Углы A и B смежные: ∠A + ∠B = 180°.

Биссектрисы делят их пополам: ∠KAB + ∠KBA = 90°.

В △AKB угол при K = 90°, то есть AK ⊥ BK.

Шаг 2. K лежит на биссектрисе угла A:

dist(K, AB) = dist(K, AD) = 9.

Шаг 3. K лежит на биссектрисе угла B:

dist(K, AB) = dist(K, BC) = 9.

Шаг 4. Расстояние между сторонами AD и BC:

dist(AD, BC) = dist(K, AD) + dist(K, BC) = 9 + 9 = 18.

Шаг 5. Площадь = BC · dist(AD, BC) = 6 · 18 = 108.

Ответ: 108.

Правильный ответ: 108

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.