Загрузка заданий...
Вариант 15 — ОГЭ по математике
Реши задания, а в конце нажми “Проверить экзамен”. Решение можно открыть у отдельного задания, если нужно разобрать ход решения.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 07.06.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
На рисунке изображён план двухкомнатной квартиры в многоэтажном жилом доме. Сторона одной клетки на плане соответствует 0,8 м, а условные обозначения двери и окна приведены в правой части рисунка. Вход в квартиру находится в коридоре. Слева от входа в квартиру находится санузел, а в противоположном конце коридора — дверь в кладовую. Рядом с кладовой находится спальня, из которой можно пройти на одну из застеклённых лоджий. Самое большое по площади помещение — гостиная, откуда можно попасть в коридор и на кухню. Из кухни также можно попасть на застеклённую лоджию.
1
Задание 1
1 балл
Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
| Объекты | коридор | кладовая | спальня | кухня |
|---|---|---|---|---|
| Цифры |
Решение
Сопоставляем описание помещений с планом квартиры.
Получаем соответствие: коридор — 6, кладовая — 7, спальня — 2, кухня — 3.
В таблице объекты стоят в порядке: коридор, кладовая, спальня, кухня.
Следовательно, ответ: 6723.
Ответ: 6723
2
Задание 2
1 балл
Паркетная доска размером 20 см на 40 см продаётся в упаковках по 8 штук. Сколько упаковок паркетной доски понадобилось, чтобы выложить пол в гостиной?
Решение
По плану площадь покрытия гостиной составляет 154 клетки.
Площадь одной клетки: 0,4 · 0,4 = 0,16 кв. м, поэтому площадь равна 154 · 0,16 = 24,64 кв. м.
Площадь одной доски: 0,2 · 0,4 = 0,08 кв. м.
Нужно элементов: 24,64 / 0,08 = 308.
В одной упаковке 8 штук, значит понадобится 39 упаковок.
Ответ: 39.
Ответ: 39
3
Задание 3
1 балл
Найдите площадь санузла. Ответ дайте в квадратных метрах.
Решение
По плану площадь нужного помещения составляет 36 клеток.
Площадь одной клетки: 0,6 · 0,6 = 0,36 кв. м.
Значит, площадь равна 36 · 0,36 = 12,96 кв. м.
Ответ: 12,96.
Ответ: 12,96
4
Задание 4
1 балл
На сколько процентов площадь коридора больше площади кладовой?
Решение
Площадь помещений пропорциональна числу клеток на плане.
Первое помещение: 144 клетки, второе: 24 клетки.
На сколько процентов первое больше второго: ((144 − 24) / 24) · 100% = 500%.
Ответ: 500.
Ответ: 500
5
Задание 5
1 балл
| Модель | Вместимость барабана (кг) | Тип загрузки | Стоимость (руб.) | Стоимость подключения (руб.) | Стоимость доставки (% от стоимости машины) | Габариты (высота × ширина × глубина, см) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| А | 7 | верт. | 28 000 | 1 700 | бесплатно | 85 × 60 × 45 |
| Б | 5 | фронт. | 24 000 | 4 500 | 10 | 85 × 60 × 40 |
| В | 5 | фронт. | 25 000 | 5 000 | 10 | 85 × 60 × 40 |
| Г | 6,5 | фронт. | 24 000 | 4 500 | 10 | 85 × 60 × 44 |
| Д | 6 | фронт. | 28 000 | 1 700 | бесплатно | 85 × 60 × 45 |
| Е | 6 | верт. | 27 600 | 2 300 | бесплатно | 89 × 60 × 40 |
| Ж | 6 | верт. | 27 585 | 1 900 | 10 | 89 × 60 × 40 |
| З | 6 | фронт. | 20 000 | 6 300 | 15 | 85 × 60 × 42 |
| И | 5 | фронт. | 27 000 | 1 800 | бесплатно | 85 × 60 × 40 |
| К | 5 | верт. | 27 000 | 1 800 | бесплатно | 85 × 60 × 40 |
В квартире планируется установить стиральную машину. Характеристики стиральных машин, условия подключения и доставки приведены в таблице. Планируется купить стиральную машину с вертикальной загрузкой, не превосходящую 85 см по высоте.
Решение
Проверяем модели, которые удовлетворяют условию задачи.
Модель А: 28 000 + 1 700 + доставка бесплатная = 29 700 руб.
Модель К: 27 000 + 1 800 + доставка бесплатная = 28 800 руб.
Наименьшая стоимость у модели К: 28 800 руб.
Ответ: 28 800.
Ответ: 28800
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$0,25 + 0,1 \cdot \frac{1}{1}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(0,25 + 0,1 \cdot \frac{1}{1}\).
Последовательно выполняем действия (сложение, умножение):
Шаг 1: \((0,25) + 0,1 = 0,35\).
Шаг 2: \((0,35) \cdot \frac{1}{1} = 0,35\).
Получили результат \(0,35\).
Ответ: \(0,35\).
Ответ: 0,35
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Какое из следующих чисел заключено между числами \(\frac{5}{8}\) и \(\frac{2}{1}\)?
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Сравним числа \(\frac{5}{8}\) и \(\frac{2}{1}\). Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.
Проверяем варианты и получаем, что только вариант 1 (1,48) лежит между этими числами.
Ответ: 1
Ответ: 1
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$(\sqrt{3} - 4)(\sqrt{3} + 4)$$
Решение
Вычислим выражение: (√3 - 4)(√3 + 4).
Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².
Тогда (√3)² - 4² = 3 - 16 = -13.
Ответ: -13.
Ответ: -13
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите уравнение: 4 + 2(2x + 9) = -4x + 14
Решение
Решим уравнение: 4 + 2(2x + 9) = -4x + 14
Раскроем скобки:
4 + 2(2x + 9) = -4x + 14
4 + 4x + 18 = -4x + 14
Приведём подобные слагаемые в левой части:
4x + 22 = -4x + 14
Перенесём слагаемые с x в левую часть, числа — в правую:
8x = -8
Разделим обе части на 8:
x = -8 / 8
x = -1
Ответ: -1
Ответ: -1
10
Статистика, вероятности
1 балл
На экзамене 40 билетов, Олег не выучил 28 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.
Решение
Всего равновозможных исходов: 40.
Благоприятных исходов: 12 (выученный билет).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{12}{40}\) = 0,3.
Ответ: 0,3.
Ответ: 0,3
11
Графики функций
1 балл
Установите соответствие между функциями и их графиками.
ФУНКЦИИ
А) y = -2x² - 6x + 1
Б) y = 0.8x + 2
В) y = 0.1/x
ГРАФИКИ
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 132.
Ответ: 132
12
Расчёты по формулам
1 балл
Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле P = I2R, где I – сила тока (в амперах), R – сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите сопротивление R, если мощность составляет 332,75 Вт, а сила тока равна 5,5 А. Ответ дайте в омах.
Решение
Из формулы P = I²R выразим сопротивление: R = P/I².
R = 332,75/(5,5²) = 11.
Ответ: 11.
Ответ: 11
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства
(x + 9)(x - 10) > 0
Решение
Нули выражения: x = -9 и x = 10. На числовой прямой отмечаем точки -9 и 10 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 9)(x - 10) > 0 получаем решение (-∞;-9) ∪ (10;+∞). Это вариант 1.
Ответ: 1
14
Задачи на прогрессии
1 балл
У Тани есть теннисный мячик. Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока мячик подлетел на высоту 630 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в два раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 7 см?
Решение
Высоты отскоков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 630, q = \(\frac{1}{2}\).
Проверяем последовательно: после 7-го отскока высота ещё не меньше 7 см, а после 8-го уже меньше.
Ответ: 8.
Ответ: 8
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC угол C равен 90°, cos B = 11/15, AB = 75. Найдите BC.
Решение
В прямоугольном треугольнике cos B = BC / AB.\nЗначит, BC = AB · cos B = 75 · \(\frac{11}{15}\) = 55.\nОтвет: 55.
Ответ: 55
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен 0,28. Диаметр описанной около него окружности равен 25. Найдите площадь прямоугольника.
Решение
Диаметр описанной около прямоугольника окружности равен диагонали прямоугольника.\nЗначит, диагональ равна 25.\nЕсли sin угла между стороной и диагональю известен, то можно найти вторую тригонометрическую функцию и катеты прямоугольного треугольника, образованного сторонами и диагональю.\nПосле вычисления сторон получаем площадь 168.\nОтвет: 168.
Ответ: 168
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.
Решение
Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.
Основание равно 12 + 8 = 20.
S = 20 · 5 = 100.
Ответ: 100.
Ответ: 100
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали.
Решение
Диагонали ромба на рисунке идут по горизонтали и вертикали.\nПо клеткам их длины равны 8 и 4.\nБольшая диагональ равна 8.\nОтвет: 8.
Ответ: 8
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
Решение
1) Верно: площадь квадрата равна a·a = a².
2) Неверно: диагональ произвольной трапеции не делит её на два равных треугольника.
3) Неверно: равенства двух сторон недостаточно для равенства треугольников.
Ответ: 1.
Ответ: 1
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите неравенство: \((x-4)^2<\sqrt{6}(x-4)\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: перенести правую часть влево и вынести \((x-4)\).
Шаг 1. Переносим: \((x-4)^2-\sqrt{6}(x-4)<0\).
Шаг 2. Выносим: \((x-4)\bigl[(x-4)-\sqrt{6}\bigr]<0\).
Шаг 3. Нули: \(x=4\) и \(x=4+\sqrt{6}\).
Шаг 4. Произведение отрицательно между корнями.
Ответ: \((4;\; 4+\sqrt{6})\).
Правильный ответ: (4;4+√6)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Первый рабочий за час делает на 13 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 208 деталей, на 8 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает второй рабочий?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: составить уравнение на время выполнения заказа, используя формулу t = N/p.
Шаг 1. Пусть второй рабочий делает x дет/ч, тогда первый — (x + 13) дет/ч.
Шаг 2. Время выполнения: вторым — 208/x ч, первым — 208/(x+13) ч.
Шаг 3. Второй тратит на 8 ч больше:
208/x − 208/(x+13) = 8.
Шаг 4. Умножаем на x(x+13):
208·(x+13) − 208·x = 8·x·(x+13).
2704 = 8·x² + 104·x.
8x² + 104x − 2704 = 0.
Шаг 5. Дискриминант: D = 104² + 4·8·2704 = 10816 + 86528 = 97344, √D = 312.
x = (−104 + 312) / (2·8) = 13 (отрицательный корень не подходит по смыслу).
Шаг 6. Проверка: второй — 208/13 = 16 ч, первый — 208/26 = 8 ч.
16 − 8 = 8 = 8. ✓
Ответ: 13.
Правильный ответ: 13
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \( y=\dfrac{(x^2+6,25)((x-1))}{1-x} \). Определите, при каких значениях k прямая \( y=kx \) имеет с графиком ровно одну общую точку.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Сократим дробь, учитывая, что в точке, обращающей знаменатель в ноль, график имеет выколотую точку.
После сокращения получаем \( y=-(x^2+6,25),\ x\ne 1 \).
После сокращения получаем параболу \( y=-(x^2+a) \), но точка при \( x=1 \) выколота. Прямая \( y=kx \) имеет одну общую точку в трёх случаях: касается параболы в вершине; проходит через выколотую точку и ещё пересекает график один раз; проходит через выколотую точку как касательная к полной параболе.
Из анализа пересечений с прямой \( y=kx \) получаем: \( k=-7,25; -5; 5 \).
Ответ: \( -7,25; -5; 5 \).
Правильный ответ: -7,25; -5; 5
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Окружности
Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды CD, если AB = 36, CD = 48, а расстояние от центра окружности до хорды AB равно 24.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: перпендикуляр из центра на хорду делит её пополам — применяем теорему Пифагора.
Шаг 1. Для хорды AB: перпендикуляр из центра = 24, полухорда = AB/2 = 18.
R² = 24² + 18² = 576 + 324 = 900. R = 30.
Шаг 2. Для хорды CD: полухорда = CD/2 = 24.
d² = R² − 24² = 900 − 576 = 324. d = 18.
Ответ: 18.
Правильный ответ: 18
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники
В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы BCA и BDA равны. Докажите, что углы ABD и ACD также равны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: из равенства вписанных углов вывести цикличность четырёхугольника.
Шаг 1. Углы BCA и BDA равны по условию и опираются на хорду BA.
По обратной теореме четырёхугольник ABCD вписанный.
Шаг 2. Углы ABD и ACD опираются на хорду AD.
Как вписанные углы на одну дугу, они равны. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
В треугольнике ABC известны длины сторон AB = 36, AC = 54, точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BD, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC в точке D. Найдите CD.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: BD ⊥ AO; центр O описанной окружности — AO является серединным перпендикуляром к BC.
Шаг 1. O — центр описанной окружности △ABC. AO — это не медиана, а направление из A к O.
Шаг 2. BD ⊥ AO. Рассмотрим проекцию: в треугольнике ABD ∠BDA = 90° (BD ⊥ AO, т.е. BD ⊥ AD?).
Точнее: AO — биссектриса ∠BAC тогда и только тогда, когда AB = AC. Иначе используем другой подход.
Шаг 3. Из подобия △ABD ~ △ACB (доказывается через равенство углов):
AD/AB = AB/AC ⟹ AD = AB²/AC = 36²/54 = 1296/54.
Шаг 4. CD = AC − AD = 54 − 1296/54 = 30.
Ответ: 30.
Правильный ответ: 30
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл: