Загрузка заданий...

Вариант 1540 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 27.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Хозяин дачного участка строит баню с парным отделением. Парное отделение имеет размеры: длина 3,5 м, ширина 2,2 м, высота 2 м. Окон в парном отделении нет, для доступа внутрь планируется дверь шириной 60 см, высота дверного проёма 1,8 м. Для прогрева парного отделения можно использовать электрическую или дровяную печь. В таблице представлены характеристики трёх печей.

Номер печи	Тип	Объём помещения (куб. м)	Масса (кг)	Стоимость (руб.)
1	дровяная	8—12	40	18 000
2	дровяная	10—16	48	19 500
3	электрическая	9—15,5	15	15 000

Для установки дровяной печи дополнительных затрат не потребуется. Установка электрической печи потребует подведения специального кабеля, что обойдётся в 6500 руб.

1 Задание 1 1 балл

Установите соответствие между стоимостями и номерами печей. В ответ запишите последовательность трёх цифр для стоимостей 15 000, 19 500 и 18 000 руб.

Стоимость (руб.)	15 000	19 500	18 000
Номер печи

Решение

По таблице: №1 — 40 кг и 18 000 руб.; №2 — 48 кг и 19 500 руб.; №3 — 15 кг и 15 000 руб. Ответ: 321.

Ответ: 321

2 Задание 2 1 балл

Найдите площадь пола парного отделения строящейся бани. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение

Площадь пола: 3,5 · 2,2 = 7,7 кв. м. Ответ: 7,7.

Ответ: 7.7

3 Задание 3 1 балл

На сколько рублей покупка дровяной печи, подходящей по объёму парного отделения, обойдётся дороже электрической без учёта установки?

Решение

Объём парной 15,4 куб. м. Подходит дровяная печь №2 за 19 500 руб. Электрическая печь стоит 15 000 руб. Без установки разница: 19 500 − 15 000 = 4 500 руб. Ответ: 4500.

Ответ: 4500

4 Задание 4 1 балл

На дровяную печь, масса которой 48 кг, сделали скидку 10%. Сколько рублей стала стоить печь?

Решение

Печь массой 48 кг — №2, стоит 19 500 руб. Скидка 10% равна 1 950 руб. Новая цена: 19 500 − 1 950 = 17 550 руб. Ответ: 17550.

Ответ: 17550

5 Задание 5 1 балл

Хозяин выбрал дровяную печь (рис. 1). Чертёж передней панели печи показан на рисунке 2. Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке печки по дуге окружности с центром в середине нижней части кожуха (рис. 2). Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления арки R. Размеры кожуха в сантиметрах показаны на рисунке. Найдите радиус закругления арки в сантиметрах.

Решение

Центр окружности — середина нижней части кожуха, а радиус проведён в точку, где арка сходится с боковой стенкой.

Получается прямоугольный треугольник. Первый катет — половина ширины кожуха: 60 : 2 = 30 см. Второй катет — высота боковой стенки: 40 см.

По теореме Пифагора: R = √(30² + 40²) = √(900 + 1600) = √2500 = 50 см.

Частая ошибка — взять всю ширину 60 вместо половины: тогда выходит √(60² + 40²) ≈ 72, но это не радиус.

Ответ: 50.

Ответ: 50

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$6 : 0,375$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $6 : 0,375$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(6) : 0,375 = 16$.

Ответ: $16$.

Ответ: 16

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Укажите число, которое больше -0,5, но меньше $\frac{27}{20}$.
В ответе укажите номер правильного варианта.

0,09

$-\frac{13}{8}$

$-\frac{79}{20}$

Решение

Сравним числа -0,5 и $\frac{27}{20}$. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.

Проверяем варианты и получаем, что только вариант 1 (0,09) лежит между этими числами.

Ответ: 1

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(7\sqrt{6})^2$$

Решение

Вычислим выражение: (7√6)².

Используем свойство степени произведения: (7√6)² = 7² · (√6)².

Получаем 49 · 6 = 294.

Ответ: 294.

Ответ: 294

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: $$\frac{(-5x - 6)}{7} - \frac{(-4x + 2)}{6} - 8x = 31$$

Решение

Решим уравнение: (-5x - 6)/7 - (-4x + 2)/6 - 8x = 31

Домножим обе части на НОК знаменателей 7 и 6, то есть на 42.

Получим:

(-30x - 36) - (-28x + 14) - 336x = 1302

Приведём подобные слагаемые:

-338x - 50 = 1302

Перенесём число в правую часть:

-338x = 1352

Разделим обе части на -338:

x = 1352 / -338

x = -4

Ответ: -4

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображено дерево случайного опыта. Найдите вероятность события $B$.

Решение

Читаем дерево слева направо.

Из точки S выходят две ветки — это событие A и противоположное ему. На них написано 0.5 и 0.5: вероятности того, что опыт пойдёт по верхнему или по нижнему пути.

От каждой из них идут ещё две ветки — к B и к «не B». Число на ветке — вероятность B при условии, что до неё дошли: по верхнему пути 0.35, по нижнему 0.25.

Событие B наступает двумя способами, поэтому проходим оба пути и складываем. Вероятность пути — произведение чисел на его ветках.

Верхний путь: 0.5 · 0.35 = 0.175.

Нижний путь: 0.5 · 0.25 = 0.125.

Складываем: 0.175 + 0.125 = 0.3.

Ответ: 0,3

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.

Коэффициенты

А) a > 0, c < 0

Б) a > 0, c > 0

В) a < 0, c > 0

Графики

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Знак a определяется направлением ветвей параболы, знак c — значением функции при x = 0, то есть точкой пересечения с осью Oy. Ответ: 321.

Ответ: 321

12 Расчёты по формулам 1 балл

Перевести значение температуры по шкале Фаренгейта в шкалу Цельсия позволяет формула t_C = 5(t_F − 32)/9, где t_C – температура в градусах Цельсия, t_F – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Цельсия соответствует -40 градусов по шкале Фаренгейта?

Решение

Подставим t_F = -40 в формулу t_C = 5(t_F − 32)/9.

t_C = 5·(-40 − 32)/9 = -40.

Ответ: -40.

Ответ: -40

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение системы неравенств:

$$\begin{cases} x − 0,5 \geqslant 1,9 \\ x + 0,8 > 1,2 \end{cases}$$

Решение

Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: [2,4;+∞). Это вариант 3.

Ответ: 3

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В амфитеатре 13 рядов. В первом ряду 22 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в десятом ряду амфитеатра?

Решение

Это арифметическая прогрессия: a₁ = 22, d = 2.

Найдём 10-й член: a10 = a₁ + (10 - 1)·d = 22 + 9·2 = 40.

Ответ: 40.

Ответ: 40

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC проведена биссектриса AK. Найдите градусную меру угла B, если ∠C = 11° и AK = CK.

Решение

Так как AK = CK, треугольник AKC равнобедренный, значит ∠KAC = ∠ACK.

Но ∠ACK = ∠C = 11°.

Так как AK — биссектриса, ∠A = 2·11° = 22°.

Тогда ∠B = 180° - 22° - 11° = 147°.

Ответ: 147.

Ответ: 147

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 11√3. Найдите длину стороны этого треугольника.

Решение

Для равностороннего треугольника r = a√3 / 6.

Значит, a = 2r√3 = 2 · 11√3 · √3 = 66.

Ответ: 66.

Ответ: 66

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Диагональ AC параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 35° и 30°. Найдите больший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение

Диагональ AC делит угол A на два угла, равные данным значениям.

Следовательно, угол A равен 35° + 30° = 65°.

Больший угол параллелограмма равен 180° - 65° = 115°.

Ответ: 115.

Ответ: 115

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображены две точки. Найдите расстояние между ними.

Решение

По клеткам горизонтальное и вертикальное расстояния между точками равны 4 и 3.

Ищем расстояние по теореме Пифагора.

d = √(4² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5.

Ответ: 5.

Ответ: 5

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.

Все углы прямоугольника равны.

Существуют три прямые, которые проходят через одну точку.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

1) Неверно.

2) Верно.

3) Верно.

Ответ: 23.

Ответ: 23

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите уравнение: $(x+2)^4-4(x+2)^2-5=0$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: замена $t=(x+2)^2\ge0$.

Шаг 1. После замены:

$t^2-4t-5=0$.

Шаг 2. Разложим: $(t-5)(t+1)=0$.

Корни: $t_1=5$, $t_2=-1$.

Шаг 3. Берём только $t=5$ (так как $t\ge0$).

Шаг 4. Решаем $(x+2)^2=5$:

$x+2=\pm\sqrt{5}\Rightarrow x=-2\pm\sqrt{5}$.

Ответ: $-2-\sqrt{5};\quad -2+\sqrt{5}$.

Правильный ответ: -2-√5;-2+√5

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Первая труба пропускает на 16 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 105 литров она заполняет на 4 минут дольше, чем вторая труба?

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: составить уравнение на время заполнения резервуара, используя формулу t = V/q.

Шаг 1. Пусть первая труба пропускает x л/мин, тогда вторая — (x + 16) л/мин.

Шаг 2. Время заполнения: первой — 105/x мин, второй — 105/(x+16) мин.

Шаг 3. Первая заполняет на 4 мин дольше:

105/x − 105/(x+16) = 4.

Шаг 4. Умножаем на x(x+16):

105·(x+16) − 105·x = 4·x·(x+16).

1680 = 4·x² + 64·x.

4x² + 64x − 1680 = 0.

Шаг 5. Дискриминант: D = 64² + 4·4·1680 = 4096 + 26880 = 30976, √D = 176.

x = (−64 + 176) / (2·4) = 14 (отрицательный корень не подходит по смыслу).

Шаг 6. Проверка: первая труба — 105/14 = $\frac{15}{2}$ мин, вторая — 105/30 = $\frac{7}{2}$ мин.

$\frac{15}{2}$ − $\frac{7}{2}$ = 4 = 4. ✓

Ответ: 14.

Правильный ответ: 14

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $\; y=\begin{cases}x-2{,}5,& x<2,\\-x+1{,}5,& 2\le x\le 3,\\x-5,& x>3.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком две общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.

Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.

По анализу графика получаем: (-2;-1,5)∪{-0,5}.

Ответ: (-2;-1,5)∪{-0,5}.

Правильный ответ: (-2;-1,5)∪{-0,5}

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники

Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD = 30, BC = 20, CF : DF = 3 : 2.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: EF параллельна основаниям — применяем свойство линейного изменения при параллельном сечении.

Шаг 1. Точка F делит боковую сторону CD в отношении CF:DF = 3:2 (от C).

Точка E делит AB в том же отношении AE:EB = 3:2 (из подобия трапеций).

Шаг 2. Длина EF определяется взвешенным средним оснований:

EF = (DF·BC + CF·AD) / (CF + DF) = (2·20 + 3·30) / (3+2).

Шаг 3. EF = (40 + 90) / 5 = 130 / 5 = 26.

Ответ: 26.

Правильный ответ: 26

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Докажите, что отрезки AE и CF равны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: диагонали параллелограмма делятся пополам — O является центром симметрии.

Шаг 1. Точка O — центр симметрии параллелограмма (точка пересечения диагоналей).

Шаг 2. Прямая через O пересекает AB в точке E и CD в точке F.

Центральная симметрия переводит AB в CD и E в F (так как O — центр).

Шаг 3. При центральной симметрии расстояния сохраняются, значит AE = CF. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

Углы при одном из оснований трапеции равны 80° и 10°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 19 и 17. Найдите основания трапеции.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: при сумме углов при основании 90° — особые свойства средних линий трапеции.

Шаг 1. Углы 80° + 10° = 90° при одном основании.

При таком условии диагонали трапеции перпендикулярны.

Шаг 2. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции:

• Отрезок, соединяющий середины оснований = средняя линия = (a+b)/2.

• Отрезок, соединяющий середины боковых сторон зависит от (b-a)/2.

Для данного случая: отрезки равны 19 и 17.

Шаг 3. Решаем: (a+b)/2 = 19 и (b-a)/2 = 17 (или наоборот).

a+b = 38, b-a = 34.

b = 36, a = 2.

Ответ: 2; 36.

Правильный ответ: 2; 36

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.