Загрузка заданий...

Вариант 1541 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 27.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

На рисунке изображён план двухкомнатной квартиры в многоэтажном жилом доме. Сторона одной клетки на плане соответствует 0,4 м, а условные обозначения двери и окна приведены в правой части рисунка. Вход в квартиру находится в коридоре. Слева от входа в квартиру находится санузел, а в противоположном конце коридора — дверь в кладовую. Рядом с кладовой находится спальня, из которой можно пройти на одну из застеклённых лоджий. Самое большое по площади помещение — гостиная, откуда можно попасть в коридор и на кухню. Из кухни также можно попасть на застеклённую лоджию.

1 Задание 1 1 балл

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Объекты	коридор	спальня	кухня	гостиная
Цифры

Решение

Сопоставляем описание помещений с планом квартиры.

Получаем соответствие: коридор — 1, спальня — 2, кухня — 3, гостиная — 8.

В таблице объекты стоят в порядке: коридор, спальня, кухня, гостиная.

Следовательно, ответ: 1238.

Ответ: 1238

2 Задание 2 1 балл

Плитка для пола размером 40 см на 40 см продаётся в упаковках по 5 штук. Сколько упаковок плитки понадобилось, чтобы выложить пол в санузле?

Решение

По плану площадь покрытия санузла составляет 36 клеток.

Площадь одной клетки: 0,4 · 0,4 = 0,16 кв. м, поэтому площадь равна 36 · 0,16 = 5,76 кв. м.

Площадь одной плитки: 0,4 · 0,4 = 0,16 кв. м.

Нужно элементов: 5,76 / 0,16 = 36.

В одной упаковке 5 штук, значит понадобится 8 упаковок.

Ответ: 8.

Ответ: 8

3 Задание 3 1 балл

Найдите площадь меньшей лоджии. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение

По плану площадь нужного помещения составляет 27 клеток.

Площадь одной клетки: 0,4 · 0,4 = 0,16 кв. м.

Значит, площадь равна 27 · 0,16 = 4,32 кв. м.

Ответ: 4,32.

Ответ: 4,32

4 Задание 4 1 балл

На сколько процентов площадь кухни больше площади кладовой?

Решение

Площадь помещений пропорциональна числу клеток на плане.

Первое помещение: 72 клетки, второе: 24 клетки.

На сколько процентов первое больше второго: ((72 − 24) / 24) · 100% = 200%.

Ответ: 200.

Ответ: 200

5 Задание 5 1 балл

Тарифный план	Абонентская плата	Плата за трафик
План «800»	900 руб. за 800 Мб трафика в месяц	2 руб. за 1 Мб сверх 800 Мб
План «1000»	1 050 руб. за 1000 Мб трафика в месяц	1,5 руб. за 1 Мб сверх 1000 Мб
План «Безлимитный»	1 100 руб. за неограниченное количество Мб трафика	—

В квартире планируется подключить интернет. Предполагается, что трафик составит 850 Мб в месяц, и исходя из этого выбирается наиболее дешёвый вариант. Интернет-провайдер предлагает три тарифных плана. Сколько рублей нужно будет заплатить за интернет за месяц, если трафик действительно будет равен 850 Мб?

Решение

Считаем стоимость интернета при трафике 850 Мб:

План «800»: 900 + 50 · 2 = 1 000 руб.

План «1000»: 1 050 руб.

План «Безлимитный»: 1 100 руб.

Самым дешёвым оказывается План «800»: 1 000 руб.

Ответ: 1 000.

Ответ: 1000

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{7}{2} - 0,125$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $\frac{7}{2} - 0,125$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{7}{2}) - 0,125 = 3,375$.

Получили результат $3,375$.

Ответ: $3,375$.

Ответ: 3,375

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какое из следующих чисел заключено между числами -2 и 1,29?
В ответе укажите номер правильного варианта.

0,08

$-\frac{53}{20}$

$\frac{53}{20}$

$\sqrt{2}$

Решение

Сравним числа -2 и 1,29. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.

Проверяем варианты и получаем, что только вариант 1 (0,08) лежит между этими числами.

Ответ: 1

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$6\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{15}$$

Решение

Вычислим выражение: 6√5 · 2√3 · √15.

Перемножим коэффициенты: 6 · 2 = 12.

Подкоренные выражения дают: √5 · √3 · √15 = √(5·3·15) = √(225) = 15.

Тогда всё выражение равно 12 · 15 = 180.

Ответ: 180.

Ответ: 180

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: $$\frac{7}{x - 7} = -7$$

Решение

Решим уравнение: 7/(x - 7) = -7

Область допустимых значений: x != 7.

Умножим обе части уравнения на x - 7:

7 = -7(x - 7)

Раскроем скобки:

7 = -7x + 49

Перенесём число в левую часть:

-42 = -7x

x = -42 / -7

x = 6

Проверка ОДЗ: x = 6, x != 7, условие выполняется.

Ответ: 6

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. В каждой из четырёх областей указана вероятность соответствующего события. Найдите вероятность события $\overline{A} \cap B$.

Решение

Складываем вероятности тех областей диаграммы, которые входят в нужное событие.

Получаем 0,05.

Ответ: 0,05

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.

Графики

А) график 1

Б) график 2

В) график 3

Коэффициенты

1) a < 0, c > 0

2) a > 0, c > 0

3) a > 0, c < 0

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Определяем знак a по направлению ветвей и знак c по пересечению с осью Oy, затем сопоставляем с вариантами. Ответ: 123.

Ответ: 123

12 Расчёты по формулам 1 балл

Кинетическая энергия тела массой m кг, двигающегося со скоростью v м/с, вычисляется по формуле E = mv²/2 и измеряется в джоулях (Дж). Известно, что автомобиль массой 1200 кг обладает кинетической энергией 173,4 тысяч джоулей. Найдите скорость этого автомобиля в метрах в секунду.

Решение

Из формулы E = mv²/2 выразим скорость: v = √(2E/m).

E = 173,4·1000 = 173 400 Дж.

v = √(2·173 400/1200) = 17.

Ответ: 17.

Ответ: 17

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.

x² - 49 > 0

x² - 49 < 0

x² - 49 ≥ 0

x² - 49 ≤ 0

Решение

Смотрим на отмеченные корни и закрашенные промежутки. Этому соответствует вариант 3.

Ответ: 3

14 Задачи на прогрессии 1 балл

Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 28 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 5 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров автомобиль прошёл до полной остановки?

Решение

Путь по секундам образует арифметическую прогрессию: a₁ = 28, d = -5.

Последний положительный член прогрессии равен 3, значит секунд движения до полной остановки было 6.

Сумма пути: S = n(a₁ + aₙ)/2 = 6·(28 + 3)/2 = 93.

Ответ: 93.

Ответ: 93

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC угол C равен 90°, sin B = 3/7, AB = 21. Найдите AC.

Решение

В прямоугольном треугольнике sin B = AC / AB.

Значит, AC = AB · sin B = 21 · $\frac{3}{7}$ = 9.

Ответ: 9.

Ответ: 9

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Трапеция ABCD с основаниями AD и BC описана около окружности, AB = 10, BC = 8, CD = 12. Найдите AD.

Решение

В четырёхугольнике, описанном около окружности, суммы противоположных сторон равны.

Для трапеции ABCD: AB + CD = AD + BC.

AD = AB + CD - BC = 10 + 12 - 8 = 14.

Ответ: 14.

Ответ: 14

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, AC = 12, BD = 20, AB = 7. Найдите DO.

Решение

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Следовательно, DO = BD / 2 = 20 / 2 = 10.

Ответ: 10.

Ответ: 10

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне AC.

Решение

Средняя линия треугольника, параллельная стороне AC, равна половине стороны AC.

По клеткам AC = 8.

Средняя линия равна 8 / 2 = 4.

Ответ: 4.

Ответ: 4

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Площадь треугольника меньше произведения двух его сторон.

Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

1) Верно: S = $\frac{1}{2}$ ab sin γ, а sin γ ≤ 1, значит S ≤ ab/2 < ab.

2) Неверно: средняя линия равна полусумме оснований.

3) Верно: по признаку подобия по двум углам.

Ответ: 13.

Ответ: 13

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Найдите значение выражения $39a-15b+25$, если $\dfrac{3a-6b+3}{6a-3b+3}=7$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из условия дроби выразить $39a-15b$ и подставить.

Шаг 1. Из условия: $3a-6b+3 = 7(6a-3b+3)$.

Шаг 2. Раскрываем: $3a-6b+3 = 42a-21b+21$.

Шаг 3. Переносим влево: $0 = 39a-15b+18$, откуда $39a-15b = -18$.

Шаг 4. Вычисляем: $39a-15b+25 = -18+25 = 7$.

Ответ: 7.

Правильный ответ: 7

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Первый рабочий за час делает на 5 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 200 деталей, на 2 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает первый рабочий?

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: составить уравнение на время выполнения заказа, используя формулу t = N/p.

Шаг 1. Пусть первый рабочий делает x дет/ч, тогда второй — (x − 5) дет/ч.

Шаг 2. Время выполнения: первым — 200/x ч, вторым — 200/(x−5) ч.

Шаг 3. Второй тратит на 2 ч больше:

200/(x−5) − 200/x = 2.

Шаг 4. Умножаем на x(x−5):

200·x − 200·(x−5) = 2·x·(x−5).

1000 = 2·x² − 10·x.

2x² − 10x − 1000 = 0.

Шаг 5. Дискриминант: D = 10² + 4·2·1000 = 100 + 8000 = 8100, √D = 90.

x = (10 + 90) / (2·2) = 25 (отрицательный корень не подходит по смыслу).

Шаг 6. Проверка: первый — 200/25 = 8 ч, второй — 200/20 = 10 ч.

10 − 8 = 2 = 2. ✓

Ответ: 25.

Правильный ответ: 25

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $ y=\dfrac{2x+5}{2x^2+5x} $. Определите, при каких значениях k прямая $ y=kx $ имеет с графиком ровно одну общую точку.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Вынесем x в знаменателе и сократим одинаковый множитель в числителе и знаменателе.

Получаем график функции $ y=\frac1x $, но с выколотой точкой при $ x=-5/2 $.

Пересечение с прямой $ y=kx $ задаётся уравнением $ \frac1x = kx $, то есть $ x^2=\frac1k $.

Обычно при $ k>0 $ получаются две точки пересечения. Ровно одна общая точка будет тогда, когда одна из них совпадёт с выколотой точкой.

Это происходит при $ x=-5/2 $, откуда $ k=4/25 $.

Ответ: $\frac{4}{25}$.

Правильный ответ: 4/25

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники

Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 20 и CH = 5. Найдите высоту ромба.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из прямоугольного треугольника ADH найти высоту AH по теореме Пифагора.

Шаг 1. Находим сторону ромба: AD = CD = DH + CH = 20 + 5 = 25.

Шаг 2. AH ⊥ CD, значит △ADH — прямоугольный с гипотенузой AD = 25 и катетом DH = 20.

Шаг 3. AH = √(AD² − DH²) = √(25² − 20²) = √(225) = 15.

Ответ: 15.

Правильный ответ: 15

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Окружности

Окружности с центрами в точках M и N пересекаются в точках S и T, причём точки M и N лежат по одну сторону от прямой ST. Докажите, что прямые MN и ST перпендикулярны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: каждый центр лежит на серединном перпендикуляре к общей хорде.

Шаг 1. MS = MT (оба — радиусы первой окружности).

⟹ точка M равноудалена от S и T

⟹ M лежит на серединном перпендикуляре к отрезку ST.

Шаг 2. NS = NT (оба — радиусы второй окружности).

⟹ точка N тоже лежит на том же серединном перпендикуляре.

Шаг 3. Через два разных точки проходит единственная прямая.

Прямая MN совпадает с серединным перпендикуляром к ST.

Следовательно, MN ⟂ ST. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

Окружности радиусов 12 и 20 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: точки касания общих касательных и центры окружностей образуют прямоугольники.

Шаг 1. Пусть O₁ и O₂ — центры окружностей радиусов r=12 и R=20.

O₁O₂ = r + R = 32 (внешнее касание).

Шаг 2. AC — общая внешняя касательная. O₁A ⊥ AC и O₂C ⊥ AC.

Точки A и C — основания перпендикуляров из центров на касательную.

Шаг 3. AB — хорда первой окружности, перпендикулярная AC (AB ⊥ O₁O₂).

Аналогично CD ⊥ O₁O₂.

Шаг 4. Расстояние между AB и CD = проекция O₁O₂ на перпендикулярное направление.

По теореме Пифагора в трапеции: dist = 2√(Rr) = 2√(20·12) = 2√240 = 8√15.

Ответ: 8√15.

Правильный ответ: 8√15

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.