Загрузка заданий...

Вариант 1679 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 20.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Хозяин дачного участка строит баню с парным отделением. Парное отделение имеет размеры: длина 3,5 м, ширина 2,2 м, высота 2 м. Окон в парном отделении нет, для доступа внутрь планируется дверь шириной 60 см, высота дверного проёма 1,8 м. Для прогрева парного отделения можно использовать электрическую или дровяную печь. В таблице представлены характеристики трёх печей.

Номер печи	Тип	Объём помещения (куб. м)	Масса (кг)	Стоимость (руб.)
1	дровяная	8—12	40	18 000
2	дровяная	10—16	48	19 500
3	электрическая	9—15,5	15	15 000

Для установки дровяной печи дополнительных затрат не потребуется. Установка электрической печи потребует подведения специального кабеля, что обойдётся в 6500 руб.

1 Задание 1 1 балл

Установите соответствие между массами и номерами печей. В ответ запишите последовательность трёх цифр для масс 15, 40 и 48 кг.

Масса (кг)	15	40	48
Номер печи

Решение

По таблице: №1 — 40 кг и 18 000 руб.; №2 — 48 кг и 19 500 руб.; №3 — 15 кг и 15 000 руб. Ответ: 312.

Ответ: 312

2 Задание 2 1 балл

Найдите объём парного отделения строящейся бани. Ответ дайте в кубических метрах.

Решение

Объём парного отделения: 3,5 · 2,2 · 2 = 15,4 куб. м. Ответ: 15,4.

Ответ: 15.4

3 Задание 3 1 балл

На сколько рублей покупка дровяной печи, подходящей по объёму парного отделения, обойдётся дешевле электрической с учётом установки?

Решение

Объём парной 15,4 куб. м. Подходит дровяная печь №2 за 19 500 руб. Электрическая печь с установкой: 15 000 + 6 500 = 21 500 руб. Разница: 21 500 − 19 500 = 2 000 руб. Ответ: 2000.

Ответ: 2000

4 Задание 4 1 балл

На дровяную печь, масса которой 40 кг, сделали скидку 10%. Сколько рублей стала стоить печь?

Решение

Печь массой 40 кг — №1, стоит 18 000 руб. Скидка 10% равна 1 800 руб. Новая цена: 18 000 − 1 800 = 16 200 руб. Ответ: 16200.

Ответ: 16200

5 Задание 5 1 балл

Хозяин выбрал дровяную печь (рис. 1). Чертёж передней панели печи показан на рисунке 2. Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке печки по дуге окружности с центром в середине нижней части кожуха (рис. 2). Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления арки R. Размеры кожуха в сантиметрах показаны на рисунке. Найдите радиус закругления арки в сантиметрах.

Решение

Центр окружности — середина нижней части кожуха, а радиус проведён в точку, где арка сходится с боковой стенкой.

Получается прямоугольный треугольник. Первый катет — половина ширины кожуха: 50 : 2 = 25 см. Второй катет — высота боковой стенки: 60 см.

По теореме Пифагора: R = √(25² + 60²) = √(625 + 3600) = √4225 = 65 см.

Частая ошибка — взять всю ширину 50 вместо половины: тогда выходит √(50² + 60²) ≈ 78, но это не радиус.

Ответ: 65.

Ответ: 65

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$5 \cdot 0,07 + 0,009$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $5 \cdot 0,07 + 0,009$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(5) \cdot 0,07 = 0,35$.

Шаг 2: $(0,35) + 0,009 = 0,359$.

Ответ: $0,359$.

Ответ: 0,359

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какому из следующих чисел соответствует точка A на координатной прямой?

В ответе укажите номер правильного варианта.

-3,446

$\frac{-13}{4}$

-0,5

$\frac{\sqrt{5}}{2}$

Решение

По чертежу видно, что точка A имеет координату между 1 и 2.

Сравним варианты по приближённым значениям:

1) -3,446 ≈ -3,446

2) $\frac{-13}{4}$ ≈ -3,25

3) -0,5 ≈ -0,5

4) $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ≈ 1,118

Точке A соответствует вариант 4.

Правильный ответ: 4.

Ответ: 4

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{8} - 5)(\sqrt{8} + 5)$$

Решение

Вычислим выражение: (√8 - 5)(√8 + 5).

Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².

Тогда (√8)² - 5² = 8 - 25 = -17.

Ответ: -17.

Ответ: -17

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: $$\frac{-1}{x + 6} = -1$$

Решение

Решим уравнение: -1/(x + 6) = -1

Область допустимых значений: x != -6.

Умножим обе части уравнения на x + 6:

-1 = -1(x + 6)

Раскроем скобки:

-1 = -1x - 6

Перенесём число в левую часть:

5 = -1x

x = 5 / -1

x = -5

Проверка ОДЗ: x = -5, x != -6, условие выполняется.

Ответ: -5

10 Статистика, вероятности 1 балл

На экзамене 50 билетов, Серёжа не выучил 37 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

Решение

Всего равновозможных исходов: 50.

Благоприятных исходов: 13 (выученный билет).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = $\frac{13}{50}$ = 0,26.

Ответ: 0,26.

Ответ: 0,26

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

ГРАФИКИ

ФОРМУЛЫ

А) $y = \sqrt{x}$

Б) $y = -x^2 - 2$

В) $y = -2x - 4$

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 312.

Ответ: 312

12 Расчёты по формулам 1 балл

Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой t_F = 1,8t_C + 32, где t_C – температура в градусах Цельсия, t_F – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Фаренгейта соответствует -35 градусов по шкале Цельсия?

Решение

Подставим t_C = -35 в формулу t_F = 1,8t_C + 32.

t_F = 1,8·(-35) + 32 = -31.

Ответ: -31.

Ответ: -31

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.

x² - 36 > 0

x² - 36 < 0

x² - 36 ≥ 0

x² - 36 ≤ 0

Решение

Смотрим на отмеченные корни и закрашенные промежутки. Этому соответствует вариант 3.

Ответ: 3

14 Задачи на прогрессии 1 балл

Поезд начал движение от станции. За первую секунду состав сдвинулся на 0,5 м, а за каждую следующую секунду он проходил на 0,4 м больше, чем за предыдущую. Сколько метров состав прошёл за первые 6 секунд движения?

Решение

Это арифметическая прогрессия: a₁ = 0,5, d = 0,4, n = 6.

Сумма первых 6 членов: S = n(2a₁ + (n - 1)d)/2 = 9.

Ответ: 9.

Ответ: 9

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 11, AB = 20. Найдите sin B.

Решение

В прямоугольном треугольнике sin острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.

Для угла B противолежащий катет — AC, гипотенуза — AB.

sin B = AC / AB = $\frac{11}{20}$ = 0,55.

Ответ: 0,55.

Ответ: 0,55

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Сторона равностороннего треугольника равна 2√3. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Решение

Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника равен a√3 / 6.

r = (2√3 · √3) / 6 = $\frac{6}{6}$ = 1.

Ответ: 1.

Ответ: 1

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Диагональ AC параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 40° и 35°. Найдите больший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение

Диагональ AC делит угол A на два угла, равные данным значениям.

Следовательно, угол A равен 40° + 35° = 75°.

Больший угол параллелограмма равен 180° - 75° = 105°.

Ответ: 105.

Ответ: 105

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?

Решение

Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса.

По клеткам радиусы кругов равны 12 и 4.

Искомое отношение площадей равно (12 / 4)² = 9.

Ответ: 9.

Ответ: 9

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Все углы ромба равны.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, прямой.

Если две стороны и угол одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Неверно.

2) Верно.

3) Неверно: данных недостаточно без уточнения положения угла.

Ответ: 2.

Ответ: 2

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите неравенство: $(8-x)(x^2-64)\ge 0$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: разложить через $(x-8)$.

Шаг 1. $x^2-64=(x-8)(x+8)$ и $8-x=-(x-8)$.

Шаг 2. Перемножаем: $(8-x)(x^2-64)=-(x-8)^2(x+8)$.

Шаг 3. Неравенство: $-(x-8)^2(x+8)\ge0$.

Шаг 4. Делим на $-1$: $(x-8)^2(x+8)\le0$.

Шаг 5. Произведение $\le0$ когда $x+8\le0\Rightarrow x\le-8$, или $x=8$.

Ответ: $(-\infty;\;-8]\cup\{8\}$.

Правильный ответ: (-∞;-8]∪{8}

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Первая труба пропускает на 13 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объёмом 208 литров она заполняет на 8 минут быстрее, чем первая труба?

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: составить уравнение на время заполнения резервуара, используя формулу t = V/q.

Шаг 1. Пусть вторая труба пропускает x л/мин, тогда первая — (x − 13) л/мин.

Шаг 2. Время заполнения: первой — 208/(x−13) мин, второй — 208/x мин.

Шаг 3. Первая заполняет на 8 мин дольше:

208/(x−13) − 208/x = 8.

Шаг 4. Умножаем на x(x−13):

208·x − 208·(x−13) = 8·x·(x−13).

2704 = 8·x² − 104·x.

8x² − 104x − 2704 = 0.

Шаг 5. Дискриминант: D = 104² + 4·8·2704 = 10816 + 86528 = 97344, √D = 312.

x = (104 + 312) / (2·8) = 26 (отрицательный корень не подходит по смыслу).

Шаг 6. Проверка: первая труба — 208/13 = 16 мин, вторая — 208/26 = 8 мин.

16 − 8 = 8 = 8. ✓

Ответ: 26.

Правильный ответ: 26

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Функции, содержащие модули

Постройте график функции \[y = -x^2 + 4|x| - 4\] и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.

Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = -x^2 + 4x - 4.

Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = -x^2 - 4x - 4.

Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = -4. В этой точке у графика локальный минимум.

Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный минимум, то есть при m = -4.

Проверка: при m = -4 уравнение имеет корни x = −4, x = 0, x = 4 — ровно три точки.

Ответ: -4.

Правильный ответ: -4

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники

Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 6, CK = 12.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектриса угла A параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник ABK.

Шаг 1. AB ∥ CD, значит биссектриса AK образует с AB угол ∠BAK = ∠A/2.

Угол ∠ABK = ∠A/2 (AB ∥ CD, накрест лежащие).

Значит △ABK равнобедренный: BK = AB.

Шаг 2. AB = BK = 6.

Шаг 3. BC = BK + CK = 6 + 12 = 18.

Шаг 4. Периметр = 2·(AB + BC) = 2·(6 + 18) = 48.

Ответ: 48.

Правильный ответ: 48

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

Биссектрисы углов A и B четырёхугольника ABCD пересекаются в точке K, лежащей на стороне CD. Докажите, что точка K равноудалена от прямых AB, BC и AD.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: точка на биссектрисе угла равноудалена от сторон этого угла.

Шаг 1. Точка K лежит на биссектрисе угла A.

⟹ расстояние от K до обеих сторон угла A одинаково.

Шаг 2. Точка K лежит на биссектрисе угла B.

⟹ расстояние от K до обеих сторон угла B одинаково.

Шаг 3. Объединяя: расстояние от K до каждой из прямых AB, BC и AD одинаково. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 80, а площадь равна 320, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: использовать свойства касательной трапеции и подобие треугольников, образованных диагоналями.

Шаг 1. Вписанная окружность в трапецию: a + b = 2l (сумма оснований = сумма боковых сторон).

P = 2(a+b) = 80 ⟹ a+b = 40.

Шаг 2. Высота: S = (a+b)·h/2 ⟹ h = 2S/(a+b) = 2·320/40 = 16.

Шаг 3. Находим основания. Для равнобедренной касательной трапеции:

Из системы a+b=40 и пифагорова прямоугольного треугольника с высотой h=16:

a = 8, b = 32.

Шаг 4. Диагонали трапеции пересекаются в точке O, делящей высоту в отношении a:b.

Расстояние от O до меньшего основания = h·a/(a+b) = 16·$\frac{8}{40}$ = 3,2.

Ответ: 3,2.

Правильный ответ: 3,2

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.