Загрузка заданий...

Вариант 1680 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 27.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Хозяин дачного участка строит баню с парным отделением. Парное отделение имеет размеры: длина 3,5 м, ширина 2,2 м, высота 2 м. Окон в парном отделении нет, для доступа внутрь планируется дверь шириной 60 см, высота дверного проёма 1,8 м. Для прогрева парного отделения можно использовать электрическую или дровяную печь. В таблице представлены характеристики трёх печей.

Номер печи	Тип	Объём помещения (куб. м)	Масса (кг)	Стоимость (руб.)
1	дровяная	8—12	40	18 000
2	дровяная	10—16	48	19 500
3	электрическая	9—15,5	15	15 000

Для установки дровяной печи дополнительных затрат не потребуется. Установка электрической печи потребует подведения специального кабеля, что обойдётся в 6500 руб.

1 Задание 1 1 балл

Установите соответствие между массами и номерами печей. В ответ запишите последовательность трёх цифр для масс 15, 40 и 48 кг.

Масса (кг)	15	40	48
Номер печи

Решение

По таблице: №1 — 40 кг и 18 000 руб.; №2 — 48 кг и 19 500 руб.; №3 — 15 кг и 15 000 руб. Ответ: 312.

Ответ: 312

2 Задание 2 1 балл

Найдите объём парного отделения строящейся бани. Ответ дайте в кубических метрах.

Решение

Объём парного отделения: 3,5 · 2,2 · 2 = 15,4 куб. м. Ответ: 15,4.

Ответ: 15.4

3 Задание 3 1 балл

На сколько рублей покупка дровяной печи, подходящей по объёму парного отделения, обойдётся дешевле электрической с учётом установки?

Решение

Объём парной 15,4 куб. м. Подходит дровяная печь №2 за 19 500 руб. Электрическая печь с установкой: 15 000 + 6 500 = 21 500 руб. Разница: 21 500 − 19 500 = 2 000 руб. Ответ: 2000.

Ответ: 2000

4 Задание 4 1 балл

На дровяную печь, масса которой 40 кг, сделали скидку 10%. Сколько рублей стала стоить печь?

Решение

Печь массой 40 кг — №1, стоит 18 000 руб. Скидка 10% равна 1 800 руб. Новая цена: 18 000 − 1 800 = 16 200 руб. Ответ: 16200.

Ответ: 16200

5 Задание 5 1 балл

Хозяин выбрал дровяную печь (рис. 1). Чертёж передней панели печи показан на рисунке 2. Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке печки по дуге окружности с центром в середине нижней части кожуха (рис. 2). Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления арки R. Размеры кожуха в сантиметрах показаны на рисунке. Найдите радиус закругления арки в сантиметрах.

Решение

Центр окружности — середина нижней части кожуха, а радиус проведён в точку, где арка сходится с боковой стенкой.

Получается прямоугольный треугольник. Первый катет — половина ширины кожуха: 50 : 2 = 25 см. Второй катет — высота боковой стенки: 60 см.

По теореме Пифагора: R = √(25² + 60²) = √(625 + 3600) = √4225 = 65 см.

Частая ошибка — взять всю ширину 50 вместо половины: тогда выходит √(50² + 60²) ≈ 78, но это не радиус.

Ответ: 65.

Ответ: 65

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{1}{1} : \frac{1}{3}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $\frac{1}{1} : \frac{1}{3}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{1}{1}) : \frac{1}{3} = \frac{3}{1}$.

Получили дробь 3.

Эта дробь равна конечной десятичной дроби $3$.

Ответ: $3$.

Ответ: 3

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Одно из чисел -1,1, $\frac{-1}{2}$, $\frac{\sqrt{28}}{2}$, $\sqrt{8}$ отмечено на координатной прямой точкой A. Укажите это число.

В ответе укажите номер правильного варианта.

-1,1

$\frac{-1}{2}$

$\frac{\sqrt{28}}{2}$

$\sqrt{8}$

Решение

По чертежу видно, что точка A имеет координату между -1 и 0.

Сравним варианты по приближённым значениям:

1) -1,1 ≈ -1,1

2) $\frac{-1}{2}$ ≈ -0,5

3) $\frac{\sqrt{28}}{2}$ ≈ 2,6458

4) $\sqrt{8}$ ≈ 2,8284

Точке A соответствует вариант 2.

Правильный ответ: 2.

Ответ: 2

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{18} + \sqrt{8})\sqrt{2}$$

Решение

Вычислим выражение: (√18 + √8)·√2.

Вынесем полные квадраты из-под корня: √18 = 3√2, √8 = 2√2.

Тогда получаем (3√2 + 2√2)·√2 = 5√2·√2.

Так как √2·√2 = 2, имеем 5·2 = 10.

Ответ: 10.

Ответ: 10

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Найдите корни уравнения: x² - 2x + 1 = 0 Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.

Решение

Решим уравнение: x² - 2x + 1 = 0

Коэффициенты: a = 1, b = -2, c = 1.

Найдём дискриминант:

D = b² - 4ac = -2² - 4·1·1 = 0.

Так как D = 0, уравнение имеет один корень.

x = 2 / 2 = 1

Ответ: 1

10 Статистика, вероятности 1 балл

В среднем из 125 карманных фонариков, поступивших в продажу, 122 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.

Решение

Всего равновозможных исходов: 125.

Благоприятных исходов: 3 (исправный фонарик).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = 3/125 = 0,024.

Ответ: 0,024.

Ответ: 0,024

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между функциями и их графиками.

ФУНКЦИИ

А) $y = \dfrac{1}{x}$

Б) $y = -x^2 + 4x - 3$

В) $y = \dfrac{1}{3}x + 2$

ГРАФИКИ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 321.

Ответ: 321

12 Расчёты по формулам 1 балл

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле S = d₁d₂sinα / 2, где d₁ и d₂ – длины диагоналей четырёхугольника, α – угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали d₂, если d₁ = 16, sinα = 0,417, а S = 30.

Решение

Из формулы S = d₁d₂sinα / 2 выразим d₂: d₂ = 2S/(d₁sinα).

d₂ = 2·30/(16·0,417) = 9.

Ответ: 9.

Ответ: 9

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства

(x + 5)(x - 5) ≤ 0

(-∞;-5) ∪ (5;+∞)

(-∞;-5] ∪ [5;+∞)

[-5;5]

(-∞;-5)

Решение

Нули выражения: x = -5 и x = 5. На числовой прямой отмечаем точки -5 и 5 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 5)(x - 5) <= 0 получаем решение [-5;5]. Это вариант 3.

Ответ: 3

14 Задачи на прогрессии 1 балл

Поезд начал движение от станции. За первую секунду состав сдвинулся на 0,9 м, а за каждую следующую секунду он проходил на 0,5 м больше, чем за предыдущую. Сколько метров состав прошёл за первые 7 секунд движения?

Решение

Это арифметическая прогрессия: a₁ = 0,9, d = 0,5, n = 7.

Сумма первых 7 членов: S = n(2a₁ + (n - 1)d)/2 = 16,8.

Ответ: 16,8.

Ответ: 16,8

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Биссектриса равностороннего треугольника равна 11√3. Найдите сторону этого треугольника.

Решение

В равностороннем треугольнике высота, медиана и биссектриса совпадают.

Высота равна a·√3 / 2.

Значит, a·√3 / 2 = 11√3.

Отсюда a / 2 = 11, значит a = 22.

Ответ: 22.

Ответ: 22

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Точки O и C лежат в одной полуплоскости относительно прямой AB. Найдите угол ACB, если угол AOB равен 67°. Ответ дайте в градусах.

Решение

Вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, что и центральный, равен половине центрального угла.

Поэтому ∠ACB = ∠AOB / 2 = 67° / 2 = 33,5°.

Ответ: 33,5.

Ответ: 33,5

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Высота равнобедренной трапеции, проведённая из конца её меньшего основания, делит большее основание на отрезки длиной 4 и 7. Найдите меньшее основание трапеции.

Решение

При такой высоте большее основание делится на отрезки x и x + меньшее основание.

Следовательно, меньшее основание равно 7 - 4 = 3.

Ответ: 3.

Ответ: 3

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите площадь этого ромба.

Решение

Площадь ромба равна половине произведения диагоналей.

По клеткам диагонали равны 8 и 10.

S = 8 · 10 / 2 = 40.

Ответ: 40.

Ответ: 40

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу.

Площадь трапеции равна произведению основания трапеции на высоту.

Треугольника со сторонами 1, 2, 4 не существует.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

1) Верно: по определению окружности.

2) Неверно: площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

3) Верно: 1 + 2 < 4, не выполняется неравенство треугольника.

Ответ: 13.

Ответ: 13

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Найдите значение выражения $2a-5b+16$, если $\dfrac{4a-3b+6}{3a-4b+6}=2$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из условия дроби выразить $2a-5b$ и подставить.

Шаг 1. Из условия: $4a-3b+6 = 2(3a-4b+6)$.

Шаг 2. Раскрываем: $4a-3b+6 = 6a-8b+12$.

Шаг 3. Переносим влево: $0 = 2a-5b+6$, откуда $2a-5b = -6$.

Шаг 4. Вычисляем: $2a-5b+16 = -6+16 = 10$.

Ответ: 10.

Правильный ответ: 10

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Проценты и сухое вещество

Свежие фрукты содержат 84% воды, а высушенные — 20%. Сколько сухих фруктов получится из 305 кг свежих фруктов?

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: масса сухого вещества при сушке не меняется.

Шаг 1. Свежие фрукты содержат 84% воды, значит сухого вещества 16%.

Шаг 2. Масса сухого вещества в 305 кг свежих фруктов:

305 · 16/100 = 48,8 кг.

Шаг 3. Высушенные фрукты содержат 20% воды, значит сухого вещества 80%.

Шаг 4. Пусть масса сухих фруктов = x кг. Тогда 0,80·x = 48,8.

x = 48,8 / 0,80 = 61 кг.

Ответ: 61.

Правильный ответ: 61

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $ y=-5-\dfrac{x-1}{x^2-1x} $. Определите, при каких значениях m прямая $ y=m $ не имеет с графиком общих точек.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Сократим одинаковый множитель в числителе и знаменателе.

Получаем график функции $ y=-5-\frac1x $, но с выколотой точкой при $ x=1 $.

У функции $ y=-5-\frac1x $ нет значений $ y=-5 $.

Из-за выколотой точки также отсутствует значение $ y=-6 $.

Следовательно, прямая $ y=m $ не имеет общих точек с графиком при $ m=-6; -5 $.

Ответ: -6; -5.

Правильный ответ: -6; -5

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Окружности

Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если AB = 14, а расстояния от центра окружности до хорд AB и CD равны соответственно 24 и 7.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: перпендикуляр из центра делит хорду пополам — дважды применяем теорему Пифагора.

Шаг 1. По хорде AB: R² = 24² + (AB/2)² = 24² + 7² = 625. R = 25.

Шаг 2. Для хорды CD при расстоянии 7 от центра:

(CD/2)² = R² − 7² = 625 − 49 = 576.

CD/2 = 24.

Шаг 3. CD = 2 · 24 = 48.

Ответ: 48.

Правильный ответ: 48

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Треугольники

В треугольнике ABC с тупым углом B проведены высоты AA₁ и CC₁. Докажите, что треугольники A₁BC₁ и ABC подобны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: подобие через два прямоугольных треугольника.

Шаг 1. AA₁ ⊥ BC ⟹ ∠BA₁A = 90°; CC₁ ⊥ AB ⟹ ∠BC₁C = 90°.

Шаг 2. Угол B тупой, поэтому основания A₁ и C₁ лежат на продолжениях сторон BC и BA за вершину B. Значит ∠A₁BC₁ = ∠ABC как вертикальные углы.

Шаг 3. Прямоугольные △BAA₁ и △BCC₁ имеют равные острые углы при B, поэтому подобны. Отсюда BA₁ : BA = BC₁ : BC.

Шаг 4. У △A₁BC₁ и △ABC угол при B равен (∠A₁BC₁ = ∠ABC), а прилежащие стороны пропорциональны. По второму признаку подобия △A₁BC₁ ∼ △ABC. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 4 и 5, а основание BC равно 1. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектриса угла ADC проходит через середину AB — это даёт уравнение на AD.

Шаг 1. Пусть M — середина AB. Биссектриса угла ADC проходит через M.

По свойству биссектрисы в треугольнике (или трапеции): ∠ADM = ∠MDC.

Шаг 2. Из условия параллельности оснований и свойства биссектрисы:

AD = AB + BC = 4 + 1... (точнее, выводится из прямоугольника при трапеции).

Через пифагорово тройки: высота h = 3, AB = 4, CD = 5, BC = 1.

Шаг 3. AD = BC + AB = 1 + 4 = 5.

S = (BC + AD)/2 · h = (1 + 5)/2 · 3 = 10.

Ответ: 10.

Правильный ответ: 10

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.