Загрузка заданий...

Вариант 1784 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 27.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.

Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 165/70 R13.

Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.

1 Задание 1 1 балл

Шины какой наименьшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 15 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.

Решение

Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 185.

Ответ: 185

2 Задание 2 1 балл

Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 165/65 R14?

Решение

В маркировке 165/65 R14 ширина шины равна 165 мм, а высота боковины составляет 65% от ширины. H = 165 · 65 / 100 = 107.25 мм. Ответ: 107.25.

Ответ: 107.25

3 Задание 3 1 балл

На сколько миллиметров увеличится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 195/50 R15?

Решение

Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 165/70 R13 и нового колеса 195/50 R15. Ответ: 14.8.

Ответ: 14.8

4 Задание 4 1 балл

Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.

Решение

Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 165/70 R13 получаем диаметр 561.2 мм. Ответ: 561.2.

Ответ: 561.2

5 Задание 5 1 балл

На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 175/60 R14? Результат округлите до десятых.

Решение

Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 165/70 R13 и колеса 175/60 R14, затем находим процентное изменение. Ответ: 0.8.

Ответ: 0.8

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{3}{1} - \frac{3}{4}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $\frac{3}{1} - \frac{3}{4}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{3}{1}) - \frac{3}{4} = \frac{9}{4}$.

Получили дробь $\frac{9}{4}$.

Эта дробь равна конечной десятичной дроби $2,25$.

Ответ: $2,25$.

Ответ: 2,25

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

a > -5

$\frac{1}{a} > 0$

-a > 5

-a > 6

Решение

По чертежу видно, что -6 < a < -5.

Проверим варианты ответа:

1) a > -5 ⇔ a > -5 — неверно.

2) $\frac{1}{a} > 0$ ⇔ a > 0 — неверно.

3) -a > 5 ⇔ a < -5 — верно.

4) -a > 6 ⇔ a < -6 — неверно.

Правильный ответ: 3.

Ответ: 3

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(4\sqrt{6})^2$$

Решение

Вычислим выражение: (4√6)².

Используем свойство степени произведения: (4√6)² = 4² · (√6)².

Получаем 16 · 6 = 96.

Ответ: 96.

Ответ: 96

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите систему уравнений: $$\begin{cases} 7x - 2y = -57 \\ -x + 5y = 27 \end{cases}$$

Решение

Решим систему:

7x - 2y = -57

-x + 5y = 27

Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на -1, а второе — на 7.

Получим:

$(7x - 2y = -57) \cdot -1$: -7x + 2y = 57

$(-x + 5y = 27) \cdot 7$: -7x + 35y = 189

Вычтем второе уравнение из первого:

-33y = -132

y = -132 / -33 = 4

Подставим y = 4 в первое уравнение:

7x - 2y = -57

Получаем x = -7.

Ответ: (-7;4)

Ответ: -7;4

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. В каждой из четырёх областей указана вероятность соответствующего события. Найдите вероятность события B.

Решение

Складываем вероятности тех областей диаграммы, которые входят в нужное событие.

Получаем 0,3.

Ответ: 0,3

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между функциями и их графиками.

ФУНКЦИИ

А) $y = \sqrt{x}$

Б) $y = x^2 - 4$

В) $y = 2x - 4$

ГРАФИКИ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 123.

Ответ: 123

12 Расчёты по формулам 1 балл

Если тело массой m кг подвешено на высоте h м над горизонтальной поверхностью земли, то его потенциальная энергия в джоулях вычисляется по формуле P = mgh, где g = 9,8 м/с² – ускорение свободного падения. Найдите массу тела, подвешенного на высоте 11 м над поверхностью земли, если его потенциальная энергия равна 539 джоулям. Ответ дайте в килограммах.

Решение

Из формулы P = mgh выразим массу: m = P/(gh).

m = 539/(9,8·11) = 5.

Ответ: 5.

Ответ: 5

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства:

4x - 4 ≤ 6x - 2

[3;+∞)

(-∞;0,2]

[-1;+∞)

[-0,2;+∞)

Решение

Решим неравенство: 4x - 4 <= 6x - 2.

Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: -2x >= 2.

Так как делим на отрицательное число, знак неравенства меняется.

Делим обе части на -2: x >= -1.

Значит, x больше или равно -1.

Этому соответствует промежуток [-1;+∞).

Правильный ответ: 3.

Ответ: 3

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В амфитеатре 12 рядов. В первом ряду 15 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?

Решение

Это арифметическая прогрессия: a₁ = 15, d = 2, n = 12.

Сначала найдём последний ряд: a12 = 15 + (12 - 1)·2 = 37.

Сумма первых 12 членов: S = n(a₁ + aₙ)/2 = 12·(15 + 37)/2 = 312.

Ответ: 312.

Ответ: 312

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Биссектриса равностороннего треугольника равна 9√3. Найдите сторону этого треугольника.

Решение

В равностороннем треугольнике высота, медиана и биссектриса совпадают.

Высота равна a·√3 / 2.

Значит, a·√3 / 2 = 9√3.

Отсюда a / 2 = 9, значит a = 18.

Ответ: 18.

Ответ: 18

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен 9√3. Найдите длину стороны этого треугольника.

Решение

Для равностороннего треугольника R = a√3 / 3.

Значит, a = 3R / √3 = 3 · 9√3 / √3 = 27.

Ответ: 27.

Ответ: 27

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

В равнобедренной трапеции известны высота, меньшее основание и угол при основании (см. рисунок). Найдите большее основание, если высота равна 5, меньшее основание равно 3, а угол при основании равен 45°.

Решение

При угле 45° каждый из двух боковых прямоугольных треугольников имеет горизонтальный катет, равный высоте.

Прибавляем по 5 с каждой стороны к меньшему основанию: 3 + 2·5 = 13.

Ответ: 13.

Ответ: 13

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена фигура. Найдите длину отрезка AB по данным чертежа.

Решение

A и B — точки пересечения горизонтальной прямой со сторонами фигуры.

На уровне y=3: t=(3−1)/(7−1)=$\frac{1}{3}$. x_A=1+$\frac{1}{3}$·3=2... нет: x_A=3, x_B=5. AB=2.

Ответ: 2.

Ответ: 2

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Треугольника со сторонами 1, 2, 4 не существует.

Медиана треугольника делит пополам угол, из вершины которого проведена.

Все диаметры окружности равны между собой.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

1) Верно.

2) Неверно: медиана вообще не обязана быть биссектрисой.

3) Верно.

Ответ: 13.

Ответ: 13

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите неравенство: $(x-8)^2<\sqrt{3}(x-8)$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: перенести правую часть влево и вынести $(x-8)$.

Шаг 1. Переносим: $(x-8)^2-\sqrt{3}(x-8)<0$.

Шаг 2. Выносим: $(x-8)\bigl[(x-8)-\sqrt{3}\bigr]<0$.

Шаг 3. Нули: $x=8$ и $x=8+\sqrt{3}$.

Шаг 4. Произведение отрицательно между корнями.

Ответ: $(8;\; 8+\sqrt{3})$.

Правильный ответ: (8;8+√3)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Проценты и сухое вещество

Свежие фрукты содержат 82% воды, а высушенные — 29%. Сколько сухих фруктов получится из 284 кг свежих фруктов?

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: масса сухого вещества при сушке не меняется.

Шаг 1. Свежие фрукты содержат 82% воды, значит сухого вещества 18%.

Шаг 2. Масса сухого вещества в 284 кг свежих фруктов:

284 · 18/100 = 51,12 кг.

Шаг 3. Высушенные фрукты содержат 29% воды, значит сухого вещества 71%.

Шаг 4. Пусть масса сухих фруктов = x кг. Тогда 0,71·x = 51,12.

x = 51,12 / 0,71 = 72 кг.

Ответ: 72.

Правильный ответ: 72

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $ y=\dfrac{7x-6}{7x^2-6x} $. Определите, при каких значениях k прямая $ y=kx $ имеет с графиком ровно одну общую точку.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Вынесем x в знаменателе и сократим одинаковый множитель в числителе и знаменателе.

Получаем график функции $ y=\frac1x $, но с выколотой точкой при $ x=6/7 $.

Пересечение с прямой $ y=kx $ задаётся уравнением $ \frac1x = kx $, то есть $ x^2=\frac1k $.

Обычно при $ k>0 $ получаются две точки пересечения. Ровно одна общая точка будет тогда, когда одна из них совпадёт с выколотой точкой.

Это происходит при $ x=6/7 $, откуда $ k=49/36 $.

Ответ: $\frac{49}{36}$.

Правильный ответ: 49/36

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Треугольники

Углы B и C треугольника ABC равны соответственно 65° и 85°. Найдите BC, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 13.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: применить теорему синусов BC/sin A = 2R.

Шаг 1. Находим угол A: A = 180° − 65° − 85° = 30°.

Шаг 2. По теореме синусов: BC/sin A = 2R.

Шаг 3. BC = 2R·sin 30° = 2·13·($\frac{1}{2}$) = 13.

Ответ: 13.

Правильный ответ: 13

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Треугольники

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и BB₁. Докажите, что ∠AA₁B₁ = ∠ABB₁.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: показать, что точки A, B, A₁, B₁ лежат на одной окружности.

Шаг 1. AA₁ — высота, поэтому ∠AA₁B = 90°. Значит из точки A₁ отрезок AB виден под прямым углом, и A₁ лежит на окружности с диаметром AB.

Шаг 2. BB₁ — высота, поэтому ∠AB₁B = 90°. Значит и точка B₁ лежит на окружности с диаметром AB.

Шаг 3. Итак, точки A, B, A₁, B₁ лежат на одной окружности.

Шаг 4. Вписанные углы ∠AA₁B₁ и ∠ABB₁ опираются на одну и ту же дугу AB₁, поэтому равны. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 120, а площадь равна 540, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: использовать свойства касательной трапеции и подобие треугольников, образованных диагоналями.

Шаг 1. Вписанная окружность в трапецию: a + b = 2l (сумма оснований = сумма боковых сторон).

P = 2(a+b) = 120 ⟹ a+b = 60.

Шаг 2. Высота: S = (a+b)·h/2 ⟹ h = 2S/(a+b) = 2·540/60 = 18.

Шаг 3. Находим основания. Для равнобедренной касательной трапеции:

Из системы a+b=60 и пифагорова прямоугольного треугольника с высотой h=18:

a = 6, b = 54.

Шаг 4. Диагонали трапеции пересекаются в точке O, делящей высоту в отношении a:b.

Расстояние от O до меньшего основания = h·a/(a+b) = 18·$\frac{6}{60}$ = 1,8.

Ответ: 1,8.

Правильный ответ: 1,8

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.