Загрузка заданий...

Вариант 2055 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 27.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

На рисунке изображён план двухкомнатной квартиры в многоэтажном жилом доме. Сторона одной клетки на плане соответствует 0,5 м, а условные обозначения двери и окна приведены в правой части рисунка. Вход в квартиру находится в коридоре. Слева от входа в квартиру находится санузел, а в противоположном конце коридора — дверь в кладовую. Рядом с кладовой находится спальня, из которой можно пройти на одну из застеклённых лоджий. Самое большое по площади помещение — гостиная, откуда можно попасть в коридор и на кухню. Из кухни также можно попасть на застеклённую лоджию.

1 Задание 1 1 балл

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Объекты	санузел	кладовая	спальня	гостиная
Цифры

Решение

Сопоставляем описание помещений с планом квартиры.

Получаем соответствие: санузел — 7, кладовая — 1, спальня — 8, гостиная — 5.

В таблице объекты стоят в порядке: санузел, кладовая, спальня, гостиная.

Следовательно, ответ: 7185.

Ответ: 7185

2 Задание 2 1 балл

Паркетная доска размером 15 см на 60 см продаётся в упаковках по 6 штук. Сколько упаковок паркетной доски понадобилось, чтобы выложить пол в коридоре?

Решение

По плану площадь покрытия коридора составляет 144 клетки.

Площадь одной клетки: 0,5 · 0,5 = 0,25 кв. м, поэтому площадь равна 144 · 0,25 = 36 кв. м.

Площадь одной доски: 0,15 · 0,6 = 0,09 кв. м.

Нужно элементов: 36 / 0,09 = 400.

В одной упаковке 6 штук, значит понадобится 67 упаковок.

Ответ: 67.

Ответ: 67

3 Задание 3 1 балл

Найдите площадь кухни. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение

По плану площадь нужного помещения составляет 72 клетки.

Площадь одной клетки: 0,5 · 0,5 = 0,25 кв. м.

Значит, площадь равна 72 · 0,25 = 18 кв. м.

Ответ: 18.

Ответ: 18

4 Задание 4 1 балл

На сколько процентов площадь кухни больше площади санузла?

Решение

Площадь помещений пропорциональна числу клеток на плане.

Первое помещение: 72 клетки, второе: 36 клеток.

На сколько процентов первое больше второго: ((72 − 36) / 36) · 100% = 100%.

Ответ: 100.

Ответ: 100

5 Задание 5 1 балл

Тарифный план	Абонентская плата	Плата за трафик
План «500»	600 руб. за 500 Мб трафика в месяц	2 руб. за 1 Мб сверх 500 Мб
План «1000»	820 руб. за 1000 Мб трафика в месяц	1,5 руб. за 1 Мб сверх 1000 Мб
План «Безлимитный»	900 руб. за неограниченное количество Мб трафика	—

В квартире планируется подключить интернет. Предполагается, что трафик составит 650 Мб в месяц, и исходя из этого выбирается наиболее дешёвый вариант. Интернет-провайдер предлагает три тарифных плана. Сколько рублей нужно будет заплатить за интернет за месяц, если трафик действительно будет равен 650 Мб?

Решение

Считаем стоимость интернета при трафике 650 Мб:

План «500»: 600 + 150 · 2 = 900 руб.

План «1000»: 820 руб.

План «Безлимитный»: 900 руб.

Самым дешёвым оказывается План «1000»: 820 руб.

Ответ: 820.

Ответ: 820

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{3}{8} : \frac{2}{3}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $\frac{3}{8} : \frac{2}{3}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{3}{8}) : \frac{2}{3} = \frac{9}{16}$.

Получили дробь $\frac{9}{16}$.

Эта дробь равна конечной десятичной дроби $0,5625$.

Ответ: $0,5625$.

Ответ: 0,5625

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

5 - a < 0

$\frac{1}{a} < 0$

a < 4

-a > -5

Решение

По чертежу видно, что 4 < a < 5.

Проверим варианты ответа:

1) 5 - a < 0 ⇔ a > 5 — неверно.

2) $\frac{1}{a} < 0$ ⇔ a < 0 — неверно.

3) a < 4 ⇔ a < 4 — неверно.

4) -a > -5 ⇔ a < 5 — верно.

Правильный ответ: 4.

Ответ: 4

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{8} - 3)(\sqrt{8} + 3)$$

Решение

Вычислим выражение: (√8 - 3)(√8 + 3).

Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².

Тогда (√8)² - 3² = 8 - 9 = -1.

Ответ: -1.

Ответ: -1

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: 2 + 4(6x - 2) = -2x + 98

Решение

Решим уравнение: 2 + 4(6x - 2) = -2x + 98

Раскроем скобки:

2 + 4(6x - 2) = -2x + 98

2 + 24x - 8 = -2x + 98

Приведём подобные слагаемые в левой части:

24x - 6 = -2x + 98

Перенесём слагаемые с x в левую часть, числа — в правую:

26x = 104

Разделим обе части на 26:

x = 104 / 26

x = 4

Ответ: 4

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. В каждой из четырёх областей указана вероятность соответствующего события. Найдите вероятность события $\overline{A} \cap B$.

Решение

Складываем вероятности тех областей диаграммы, которые входят в нужное событие.

Получаем 0,3.

Ответ: 0,3

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов k и b.

Графики

А) график 1

Б) график 2

В) график 3

Коэффициенты

1) k < 0, b > 0

2) k > 0, b < 0

3) k < 0, b < 0

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Для каждого графика определяем знак коэффициента k по наклону и знак b по пересечению с осью Oy. Ответ: 213.

Ответ: 213

12 Расчёты по формулам 1 балл

Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле P = I²R, где I – сила тока (в амперах), R – сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите сопротивление R, если мощность составляет 112 Вт, а сила тока равна 4 А. Ответ дайте в омах.

Решение

Из формулы P = I²R выразим сопротивление: R = P/I².

R = 112/(4²) = 7.

Ответ: 7.

Ответ: 7

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение системы неравенств:

$$\begin{cases} 6x − 3,6 > -4,2 \\ 5x − 2,4 \leqslant 10,6 \end{cases}$$

Решение

Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: (-0,1;2,6]. Это вариант 3.

Ответ: 3

14 Задачи на прогрессии 1 балл

Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 25 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 2 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров автомобиль прошёл до полной остановки?

Решение

Путь по секундам образует арифметическую прогрессию: a₁ = 25, d = -2.

Последний положительный член прогрессии равен 1, значит секунд движения до полной остановки было 13.

Сумма пути: S = n(a₁ + aₙ)/2 = 13·(25 + 1)/2 = 169.

Ответ: 169.

Ответ: 169

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC угол C равен 90°, cos B = 5/12, AB = 60. Найдите BC.

Решение

В прямоугольном треугольнике cos B = BC / AB.

Значит, BC = AB · cos B = 60 · $\frac{5}{12}$ = 25.

Ответ: 25.

Ответ: 25

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Периметр треугольника равен 54, одна из сторон равна 21, а радиус вписанной в него окружности равен 2. Найдите площадь этого треугольника.

Решение

Площадь треугольника выражается через полупериметр и радиус вписанной окружности: S = pr, где p — полупериметр.

p = 54 / 2 = 27.

S = p·r = 27 · 2 = 54.

Ответ: 54.

Ответ: 54

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

В равнобедренной трапеции с основаниями AD и BC угол D равен 78°. Диагональ AC образует со стороной AB угол 18°. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и меньшим основанием трапеции?

Решение

Угол A трапеции равен 180° - 78° = 102°.

Диагональ делит угол A на два: 18° и искомый.

Искомый угол равен 102° - 18° = 84°.

Ответ: 84.

Ответ: 84

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Во сколько раз отрезок AM длиннее отрезка BM?

Решение

Точка M лежит на стороне треугольника. Определяем соотношение по клеткам.

M делит AB: вектор AM=(3,6)=$\frac{3}{4}$·AB=(4,8). AM=3·BM.

Ответ: 3.

Ответ: 3

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Один из углов треугольника всегда не превышает 60 градусов.

Площадь ромба равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне.

Две прямые, параллельные третьей прямой, перпендикулярны.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

1) Верно.

2) Верно.

3) Неверно.

Ответ: 12.

Ответ: 12

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите неравенство: $(x-8)^2<\sqrt{3}(x-8)$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: перенести правую часть влево и вынести $(x-8)$.

Шаг 1. Переносим: $(x-8)^2-\sqrt{3}(x-8)<0$.

Шаг 2. Выносим: $(x-8)\bigl[(x-8)-\sqrt{3}\bigr]<0$.

Шаг 3. Нули: $x=8$ и $x=8+\sqrt{3}$.

Шаг 4. Произведение отрицательно между корнями.

Ответ: $(8;\; 8+\sqrt{3})$.

Правильный ответ: (8;8+√3)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Первый рабочий за час делает на 5 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 200 деталей, на 2 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает первый рабочий?

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: составить уравнение на время выполнения заказа, используя формулу t = N/p.

Шаг 1. Пусть первый рабочий делает x дет/ч, тогда второй — (x − 5) дет/ч.

Шаг 2. Время выполнения: первым — 200/x ч, вторым — 200/(x−5) ч.

Шаг 3. Второй тратит на 2 ч больше:

200/(x−5) − 200/x = 2.

Шаг 4. Умножаем на x(x−5):

200·x − 200·(x−5) = 2·x·(x−5).

1000 = 2·x² − 10·x.

2x² − 10x − 1000 = 0.

Шаг 5. Дискриминант: D = 10² + 4·2·1000 = 100 + 8000 = 8100, √D = 90.

x = (10 + 90) / (2·2) = 25 (отрицательный корень не подходит по смыслу).

Шаг 6. Проверка: первый — 200/25 = 8 ч, второй — 200/20 = 10 ч.

10 − 8 = 2 = 2. ✓

Ответ: 25.

Правильный ответ: 25

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $\; y=\begin{cases}-x^2-2x+2,& x\ge -3,\\-x-2,& x<-3.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком две общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.

Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.

По анализу графика получаем: [-1;1]∪{3}.

Ответ: [-1;1]∪{3}.

Правильный ответ: [-1;1]∪{3}

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Треугольники

Катеты прямоугольного треугольника равны 14 и 48. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: выразить высоту к гипотенузе через площадь, вычисленную двумя способами.

Шаг 1. Находим гипотенузу: c = √(14² + 48²) = √2500 = 50.

Шаг 2. Площадь треугольника через катеты: S = 14·$\frac{48}{2}$ = 336.

Шаг 3. Площадь через гипотенузу и высоту h: S = 50·h/2.

Шаг 4. Приравниваем: 50·h/2 = 336 ⟹ h = 14·$\frac{48}{50}$ = 13,44.

Ответ: 13,44.

Правильный ответ: 13,44

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Окружности

Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AB и CD четырёхугольника пересекаются в точке M. Докажите, что треугольники MBC и MDA подобны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: использовать равенство вписанных углов на одну дугу в ABCD.

Шаг 1. ABCD — вписанный четырёхугольник; ∠ABD = ∠ACD (на дугу AD).

Шаг 2. ∠MBC = ∠MDA: оба опираются на дугу BC (вписанные в одну окружность).

Шаг 3. ∠MCB = ∠MAD: оба опираются на дугу CD.

Шаг 4. По двум равным углам △MBC ∼ △MDA. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

В треугольнике ABC известны длины сторон AB = 28, AC = 56, точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BD, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC в точке D. Найдите CD.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: BD ⊥ AO; центр O описанной окружности — AO является серединным перпендикуляром к BC.

Шаг 1. O — центр описанной окружности △ABC. AO — это не медиана, а направление из A к O.

Шаг 2. BD ⊥ AO. Рассмотрим проекцию: в треугольнике ABD ∠BDA = 90° (BD ⊥ AO, т.е. BD ⊥ AD?).

Точнее: AO — биссектриса ∠BAC тогда и только тогда, когда AB = AC. Иначе используем другой подход.

Шаг 3. Из подобия △ABD ~ △ACB (доказывается через равенство углов):

AD/AB = AB/AC ⟹ AD = AB²/AC = 28²/56 = 784/56.

Шаг 4. CD = AC − AD = 56 − 784/56 = 42.

Ответ: 42.

Правильный ответ: 42

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.