Загрузка заданий...

Вариант 2056 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 27.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Хозяин дачного участка строит баню с парным отделением. Парное отделение имеет размеры: длина 3,5 м, ширина 2,2 м, высота 2 м. Окон в парном отделении нет, для доступа внутрь планируется дверь шириной 60 см, высота дверного проёма 1,8 м. Для прогрева парного отделения можно использовать электрическую или дровяную печь. В таблице представлены характеристики трёх печей.

Номер печи	Тип	Объём помещения (куб. м)	Масса (кг)	Стоимость (руб.)
1	дровяная	8—12	40	18 000
2	дровяная	10—16	48	19 500
3	электрическая	9—15,5	15	15 000

Для установки дровяной печи дополнительных затрат не потребуется. Установка электрической печи потребует подведения специального кабеля, что обойдётся в 6500 руб.

1 Задание 1 1 балл

Установите соответствие между массами и номерами печей. В ответ запишите последовательность трёх цифр для масс 15, 40 и 48 кг.

Масса (кг)	15	40	48
Номер печи

Решение

По таблице: №1 — 40 кг и 18 000 руб.; №2 — 48 кг и 19 500 руб.; №3 — 15 кг и 15 000 руб. Ответ: 312.

Ответ: 312

2 Задание 2 1 балл

Найдите объём парного отделения строящейся бани. Ответ дайте в кубических метрах.

Решение

Объём парного отделения: 3,5 · 2,2 · 2 = 15,4 куб. м. Ответ: 15,4.

Ответ: 15.4

3 Задание 3 1 балл

На сколько рублей покупка дровяной печи, подходящей по объёму парного отделения, обойдётся дешевле электрической с учётом установки?

Решение

Объём парной 15,4 куб. м. Подходит дровяная печь №2 за 19 500 руб. Электрическая печь с установкой: 15 000 + 6 500 = 21 500 руб. Разница: 21 500 − 19 500 = 2 000 руб. Ответ: 2000.

Ответ: 2000

4 Задание 4 1 балл

На дровяную печь, масса которой 40 кг, сделали скидку 10%. Сколько рублей стала стоить печь?

Решение

Печь массой 40 кг — №1, стоит 18 000 руб. Скидка 10% равна 1 800 руб. Новая цена: 18 000 − 1 800 = 16 200 руб. Ответ: 16200.

Ответ: 16200

5 Задание 5 1 балл

Хозяин выбрал дровяную печь (рис. 1). Чертёж передней панели печи показан на рисунке 2. Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке печки по дуге окружности с центром в середине нижней части кожуха (рис. 2). Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления арки R. Размеры кожуха в сантиметрах показаны на рисунке. Найдите радиус закругления арки в сантиметрах.

Решение

Центр окружности — середина нижней части кожуха, а радиус проведён в точку, где арка сходится с боковой стенкой.

Получается прямоугольный треугольник. Первый катет — половина ширины кожуха: 50 : 2 = 25 см. Второй катет — высота боковой стенки: 60 см.

По теореме Пифагора: R = √(25² + 60²) = √(625 + 3600) = √4225 = 65 см.

Частая ошибка — взять всю ширину 50 вместо половины: тогда выходит √(50² + 60²) ≈ 78, но это не радиус.

Ответ: 65.

Ответ: 65

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$0,25 \cdot 0,12$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $0,25 \cdot 0,12$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(0,25) \cdot 0,12 = 0,03$.

Ответ: $0,03$.

Ответ: 0,03

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какое из следующих чисел заключено между числами -4 и $\frac{3}{1}$?
В ответе укажите номер правильного варианта.

-0,7

$\frac{17}{5}$

4,875

$3\sqrt{2}$

Решение

Сравним числа -4 и $\frac{3}{1}$. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.

Проверяем варианты и получаем, что только вариант 1 (-0,7) лежит между этими числами.

Ответ: 1

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{3} - 5)(\sqrt{3} + 5)$$

Решение

Вычислим выражение: (√3 - 5)(√3 + 5).

Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².

Тогда (√3)² - 5² = 3 - 25 = -22.

Ответ: -22.

Ответ: -22

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите систему уравнений: $$\begin{cases} -5x - 2y = -25 \\ -7x + 4y = -69 \end{cases}$$

Решение

Решим систему:

-5x - 2y = -25

-7x + 4y = -69

Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на -7, а второе — на -5.

Получим:

$(-5x - 2y = -25) \cdot -7$: 35x + 14y = 175

$(-7x + 4y = -69) \cdot -5$: 35x - 20y = 345

Вычтем второе уравнение из первого:

34y = -170

y = -170 / 34 = -5

Подставим y = -5 в первое уравнение:

-5x - 2y = -25

Получаем x = 7.

Ответ: (7;-5)

Ответ: 7;-5

10 Статистика, вероятности 1 балл

В фирме такси в данный момент свободно 40 машин: 26 чёрных, 9 жёлтых и 5 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.

Решение

Всего равновозможных исходов: 40.

Благоприятных исходов: 9 (жёлтое такси).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = $\frac{9}{40}$ = 0,225.

Ответ: 0,225.

Ответ: 0,225

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между функциями и их графиками.

ФУНКЦИИ

А) $y = \dfrac{1}{x}$

Б) $y = 2x^2 + 14x + 24$

В) $y = x + 1$

ГРАФИКИ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 132.

Ответ: 132

12 Расчёты по формулам 1 балл

Энергия заряженного конденсатора W (в джоулях) вычисляется по формуле W = CU²/2, где C — ёмкость конденсатора (в фарадах), а U — разность потенциалов на обкладках конденсатора (в вольтах). Найдите энергию конденсатора ёмкостью 0,0001 фарад, если разность потенциалов на обкладках конденсатора равна 18 вольт. Ответ дайте в джоулях.

Решение

Подставим C = 0,0001 и U = 18 в формулу W = CU²/2.

W = 0,0001·18² / 2 = 0,0162.

Ответ: 0,0162.

Ответ: 0,0162

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства:

8x - 1 ≤ 6x - 7

(-∞;-3]

(-∞;3]

[0;+∞)

(-∞;-4]

Решение

Решим неравенство: 8x - 1 <= 6x - 7.

Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: 2x <= -6.

Делим обе части на 2: x <= -3.

Значит, x меньше или равно -3.

Этому соответствует промежуток (-∞;-3].

Правильный ответ: 1.

Ответ: 1

14 Задачи на прогрессии 1 балл

Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 18 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 5 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров автомобиль прошёл до полной остановки?

Решение

Путь по секундам образует арифметическую прогрессию: a₁ = 18, d = -5.

Последний положительный член прогрессии равен 3, значит секунд движения до полной остановки было 4.

Сумма пути: S = n(a₁ + aₙ)/2 = 4·(18 + 3)/2 = 42.

Ответ: 42.

Ответ: 42

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Биссектриса равностороннего треугольника равна 13√3. Найдите сторону этого треугольника.

Решение

В равностороннем треугольнике высота, медиана и биссектриса совпадают.

Высота равна a·√3 / 2.

Значит, a·√3 / 2 = 13√3.

Отсюда a / 2 = 13, значит a = 26.

Ответ: 26.

Ответ: 26

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Угол A четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 62°. Найдите угол C этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение

В вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°.

∠C = 180° - 62° = 118°.

Ответ: 118.

Ответ: 118

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Диагональ AC ромба ABCD равна 40, а tg ∠BCA = 0,25. Найдите площадь ромба.

Решение

В ромбе диагонали перпендикулярны и делят углы пополам.

Поэтому tg ∠BCA = BO / CO = BD / AC.

Следовательно, BD = AC · tg ∠BCA = 40 · 0,25 = 10.

S = AC · BD / 2 = 40 · 10 / 2 = 200.

Ответ: 200.

Ответ: 200

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?

Решение

Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса.

По клеткам радиусы кругов равны 6 и 3.

Искомое отношение площадей равно (6 / 3)² = 4.

Ответ: 4.

Ответ: 4

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Все хорды одной окружности равны между собой.

Диагональ равнобедренной трапеции делит её на два равных треугольника.

Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусам.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Неверно.

2) Неверно.

3) Верно: сумма углов любого треугольника равна 180°.

Ответ: 3.

Ответ: 3

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Найдите значение выражения $14a-2b+27$, если $\dfrac{a-3b+6}{3a-b+6}=5$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из условия дроби выразить $14a-2b$ и подставить.

Шаг 1. Из условия: $a-3b+6 = 5(3a-b+6)$.

Шаг 2. Раскрываем: $a-3b+6 = 15a-5b+30$.

Шаг 3. Переносим влево: $0 = 14a-2b+24$, откуда $14a-2b = -24$.

Шаг 4. Вычисляем: $14a-2b+27 = -24+27 = 3$.

Ответ: 3.

Правильный ответ: 3

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Расстояние между пристанями А и В равно 24 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через 1 час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 15 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: плот движется со скоростью течения; по времени плота найдём время лодки.

Шаг 1. Скорость плота = скорость течения = 5 км/ч.

Шаг 2. Плот за время плавания лодки (с момента старта плота) проплыл 15 км.

Время плота в пути: 15 / 5 = 3 ч.

Шаг 3. Лодка вышла на 1 ч позже, значит время лодки в пути:

3 − 1 = 2 ч.

Шаг 4. Пусть скорость лодки в тихой воде = x км/ч. Уравнение на время туда-обратно:

24/(x+5) + 24/(x−5) = 2.

Шаг 5. Умножаем на (x+5)(x−5) и упрощаем: квадратное уравнение.

Шаг 6. Решение: x = 25.

Шаг 7. Проверка: $\frac{4}{5}$ + $\frac{6}{5}$ = 2. ✓

Ответ: 25.

Правильный ответ: 25

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Функции, содержащие модули

Постройте график функции \[y = x^2 - 8|x| - 3\] и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.

Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = x^2 - 8x - 3.

Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = x^2 + 8x - 3.

Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = -3. В этой точке у графика локальный максимум.

Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный максимум, то есть при m = -3.

Проверка: при m = -3 уравнение имеет корни x = −8, x = 0, x = 8 — ровно три точки.

Ответ: -3.

Правильный ответ: -3

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Треугольники

Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN = 24, AC = 40, NC = 20.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: MN ∥ AC — треугольники BMN и BAC подобны, коэффициент подобия = MN/AC.

Шаг 1. Коэффициент подобия: k = MN/AC = $\frac{24}{40}$ = $\frac{3}{5}$.

Шаг 2. Из подобия: BN/BC = $\frac{3}{5}$, то есть BN = 3·BC/5.

Шаг 3. BC = BN + NC = BN + 20.

Подставляем: BN = 3·(BN + 20)/5.

5·BN = 3·BN + 3·20.

(5−3)·BN = 60 ⟹ BN = 60/(5−3) = 30.

Ответ: 30.

Правильный ответ: 30

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Треугольники

В треугольнике ABC с тупым углом C проведены высоты AA₁ и BB₁. Докажите, что треугольники A₁CB₁ и ACB подобны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: подобие через два прямоугольных треугольника.

Шаг 1. AA₁ ⊥ BC ⟹ ∠CA₁A = 90°; BB₁ ⊥ AC ⟹ ∠CB₁B = 90°.

Шаг 2. Угол C тупой, поэтому основания A₁ и B₁ лежат на продолжениях сторон CB и CA за вершину C. Значит ∠A₁CB₁ = ∠ACB как вертикальные углы.

Шаг 3. Прямоугольные △CAA₁ и △CBB₁ имеют равные острые углы при C, поэтому подобны. Отсюда CA₁ : CA = CB₁ : CB.

Шаг 4. У △A₁CB₁ и △ACB угол при C равен (∠A₁CB₁ = ∠ACB), а прилежащие стороны пропорциональны. По второму признаку подобия △A₁CB₁ ∼ △ACB. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 20 и 29, а основание BC равно 4. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектриса угла ADC проходит через середину AB — это даёт уравнение на AD.

Шаг 1. Пусть M — середина AB. Биссектриса угла ADC проходит через M.

По свойству биссектрисы в треугольнике (или трапеции): ∠ADM = ∠MDC.

Шаг 2. Из условия параллельности оснований и свойства биссектрисы:

AD = AB + BC = 20 + 4... (точнее, выводится из прямоугольника при трапеции).

Через пифагорово тройки: высота h = 21, AB = 20, CD = 29, BC = 4.

Шаг 3. AD = BC + AB = 4 + 20 = 24.

S = (BC + AD)/2 · h = (4 + 24)/2 · 21 = 290.

Ответ: 290.

Правильный ответ: 290

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.