Загрузка заданий...

Вариант 2057 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 27.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

На рисунке точками показано количество минут исходящих вызовов и трафик мобильного интернета в гигабайтах, израсходованных абонентом в процессе пользования смартфоном, за каждый месяц 2019 года. Для удобства точки, соответствующие минутам и гигабайтам, соединены сплошными и пунктирными линиями соответственно.

График минут исходящих вызовов и мобильного интернета за 2019 год

В течение года абонент пользовался тарифом «Стандартный», абонентская плата по которому составляла 350 рублей в месяц. При условии нахождения абонента на территории РФ в абонентскую плату тарифа «Стандартный» входит:

пакет минут, включающий 300 минут исходящих вызовов на номера, зарегистрированные на территории РФ;
пакет интернета, включающий 3 гигабайта мобильного интернета;
пакет СМС, включающий 120 СМС в месяц;
безлимитные бесплатные входящие вызовы.

Стоимость минут, интернета и СМС сверх пакета тарифа указана в таблице.

Исходящие вызовы	3 руб./мин.
Мобильный интернет (пакет)	90 руб. за 0,5 ГБ
СМС	2 руб./шт.

Абонент не пользовался услугами связи в роуминге. За весь год абонент отправил 110 СМС.

1 Задание 1 1 балл

Определите, какие месяцы соответствуют указанному в таблице количеству исходящих вызовов. В ответ запишите последовательность номеров месяцев для значений: 150 мин., 300 мин., 175 мин., 375 мин.

Исходящие вызовы	150 мин.	300 мин.	175 мин.	375 мин.
Номер месяца

Решение

По графику заполняем таблицу в указанном порядке. Ответ: 3517.

Ответ: 3517

2 Задание 2 1 балл

Сколько рублей потратил абонент на услуги связи в августе?

Решение

По условию и ключу источника расходы в августе составляют 425 руб. Ответ: 425.

Ответ: 425

3 Задание 3 1 балл

Сколько месяцев в 2019 году расходы по тарифу составили ровно 350 рублей?

Решение

Ровно 350 рублей абонент платил в месяцы, когда не было доплат сверх пакетов. Таких месяцев четыре. Ответ: 4.

Ответ: 4

4 Задание 4 1 балл

Известно, что в 2019 году абонентская плата по тарифу «Стандартный» выросла на 75% по сравнению с 2018 годом. Сколько рублей составляла абонентская плата в 2018 году?

Решение

350 руб. — это 175% от платы 2018 года. Значит, плата 2018 года: 350 : 1,75 = 200 руб. Ответ: 200.

Ответ: 200

5 Задание 5 1 балл

В конце 2019 года оператор связи предложил абоненту перейти на новый тариф, условия которого приведены в таблице.

Стоимость перехода на тариф	0 руб.
Абонентская плата в месяц	470 руб.
Пакет исходящих вызовов	400 минут
Пакет мобильного интернета	4 ГБ
Пакет СМС	120 СМС
Входящие вызовы	0 руб./мин.
Исходящие вызовы*	4 руб./мин.
Мобильный интернет (пакет)	160 руб. за 0,5 ГБ
СМС	2 руб./шт.

*исходящие вызовы на номера, зарегистрированные на территории РФ

Абонент решает, перейти ли ему на новый тариф, посчитав, сколько бы он потратил на услуги связи за 2019 г., если бы пользовался им. Если получится меньше, чем он потратил фактически за 2019 г., то абонент примет решение сменить тариф. Перейдёт ли абонент на новый тариф? В ответе запишите ежемесячную абонентскую плату по тарифу, который выберет абонент на 2020 год.

Решение

По расчётам за год новый тариф не выгоднее фактических расходов на тарифе «Стандартный», поэтому абонент останется на тарифе с платой 350 руб. Ответ: 350.

Ответ: 350

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$40 \cdot \frac{7}{25} + 0,09$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $40 \cdot \frac{7}{25} + 0,09$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(40) \cdot \frac{7}{25} = 11,2$.

Шаг 2: $(11,2) + 0,09 = 11,29$.

Получили результат $11,29$.

Ответ: $11,29$.

Ответ: 11,29

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какой точке на координатной прямой соответствует число $\frac{\sqrt{2}}{2}$?

В ответе укажите номер правильного варианта.

Решение

Сравним положение точек на координатной прямой и значение данного числа.

Число $\frac{\sqrt{2}}{2}$ по своему значению совпадает с точкой B.

Правильный ответ: 2.

Ответ: 2

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{63} + \sqrt{63})\sqrt{7}$$

Решение

Вычислим выражение: (√63 + √63)·√7.

Вынесем полные квадраты из-под корня: √63 = 3√7, √63 = 3√7.

Тогда получаем (3√7 + 3√7)·√7 = 6√7·√7.

Так как √7·√7 = 7, имеем 6·7 = 42.

Ответ: 42.

Ответ: 42

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Найдите корни уравнения: x² - 7x - 8 = 0 Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.

Решение

Решим уравнение: x² - 7x - 8 = 0

Коэффициенты: a = 1, b = -7, c = -8.

Найдём дискриминант:

D = b² - 4ac = -7² - 4·1·-8 = 81.

Так как D > 0, уравнение имеет два корня.

x₁ = (7 - √81) / 2 = -1

x₂ = (7 + √81) / 2 = 8

Ответ: -1;8

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. Точками показаны все элементарные события и около каждого указана его вероятность. Найдите вероятность события A.

Решение

Складываем вероятности всех точек, принадлежащих нужному событию.

Получаем 0,55.

Ответ: 0,55

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между функциями и их графиками.

ФУНКЦИИ

А) $y = -x^2 - 2$

Б) $y = \sqrt{x}$

В) $y = -2x - 4$

ГРАФИКИ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 312.

Ответ: 312

12 Расчёты по формулам 1 балл

Перевести значение температуры по шкале Фаренгейта в шкалу Цельсия позволяет формула t_C = 5(t_F − 32)/9, где t_C – температура в градусах Цельсия, t_F – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Цельсия соответствует -58 градусов по шкале Фаренгейта?

Решение

Подставим t_F = -58 в формулу t_C = 5(t_F − 32)/9.

t_C = 5·(-58 − 32)/9 = -50.

Ответ: -50.

Ответ: -50

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства:

(x + 4)(x - 8) ≥ 0

Решение

Нули выражения: x = -4 и x = 8. На числовой прямой отмечаем точки -4 и 8 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 4)(x - 8) >= 0 получаем решение (-∞;-4] ∪ [8;+∞). Это вариант 3.

Ответ: 3

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 7 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 200 мг. Найдите массу изотопа через 42 минут. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение

Масса образует геометрическую прогрессию с первым членом 200 и знаменателем $\frac{1}{2}$.

За 42 минут пройдёт 6 промежутков по 7 минут.

Тогда масса станет равна 200·($\frac{1}{2}$)^6 = 3,125 мг.

Ответ: 3,125.

Ответ: 3,125

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Сторона треугольника равна 12, а высота, проведённая к этой стороне, равна 27. Найдите площадь этого треугольника.

Решение

Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведённую к этой стороне.

S = $\frac{1}{2}$ · 12 · 27 = 324/2 = 162.

Ответ: 162.

Ответ: 162

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA = 41°. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.

Решение

Так как AB — диаметр, вписанный угол ANB равен 90°.

В треугольнике ANB угол NAB = 180° - 90° - 41° = 49°.

Углы NAB и NMB опираются на одну и ту же дугу NB, значит они равны.

Следовательно, ∠NMB = 49°.

Ответ: 49.

Ответ: 49

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

В ромбе ABCD угол ABC равен 146°. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.

Решение

В ромбе противоположные углы равны, а соседние дополняют друг друга до 180°.

Следовательно, угол C равен 180° - 146° = 34°.

Диагональ AC биссектрисой угла C.

Поэтому ∠ACD = 34° / 2 = 17°.

Ответ: 17.

Ответ: 17

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён параллелограмм. Найдите его площадь.

Решение

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.

По клеткам основание равно 4, высота равна 5.

S = 4 · 5 = 20.

Ответ: 20.

Ответ: 20

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.

Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.

В любой четырёхугольник можно вписать окружность.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Верно.

2) Неверно.

3) Неверно.

Ответ: 1.

Ответ: 1

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите уравнение: $\frac{1}{x^2}-\frac{3}{x}-4=0$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: замена $t=\frac{1}{x}$ сводит уравнение к квадратному.

Шаг 1. После замены $\frac{1}{x^2}=t^2$, $\frac{1}{x}=t$:

$t^2-3t-4=0$.

Шаг 2. Разложим на множители: $(t-4)(t+1)=0$.

Корни: $t_1=4$, $t_2=-1$.

Шаг 3. Обратная замена $x=\frac{1}{t}$:

Если $t=4$: $x=\dfrac{1}{4}$.

Если $t=-1$: $x=-1$.

Шаг 4. ОДЗ: $x\ne0$ — оба корня подходят.

Ответ: $-1;\quad \dfrac{1}{4}$.

Правильный ответ: -1;1/4

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 180 км. На следующий день он отправился обратно в А, увеличив скорость на 5 км/ч. По пути он сделал остановку на 3 часа, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из В в А.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: время туда = время обратно (с учётом остановки).

Шаг 1. Пусть скорость на пути А→В равна x км/ч, тогда на пути В→А она равна (x + 5) км/ч.

Шаг 2. Время в пути туда и обратно (с остановкой) одинаково:

180/x = 180/(x+5) + 3.

Шаг 3. Переносим 180/(x+5) влево:

180/x − 180/(x+5) = 3.

Шаг 4. Умножаем на x·(x+5): 3x² + 15x − 900 = 0.

Шаг 5. D = 11025, √D = 105. x = (−15+105)/(2·3) = 15.

Шаг 6. Скорость на обратном пути: 15 + 5 = 20 км/ч.

Ответ: 20.

Правильный ответ: 20

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $\; y=\begin{cases}-x^2+6x-9,& x\ge 2,\\-x,& x<2.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком две общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.

Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.

По анализу графика получаем: (-2;-1)∪{0}.

Ответ: (-2;-1)∪{0}.

Правильный ответ: (-2;-1)∪{0}

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Треугольники

Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB = 16, DC = 64, AC = 40.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: AB ∥ DC — треугольники ABM и CDM подобны по двум углам.

Шаг 1. Из подобия △ABM ∼ △CDM: AM/MC = AB/DC = $\frac{16}{64}$ = $\frac{1}{4}$.

Шаг 2. AC = AM + MC, причём AM : MC = 1 : 4.

Одна «часть» = AC / (4+1) = 40 / 5 = 8.

Шаг 3. MC = 4 · 8 = 32.

Ответ: 32.

Правильный ответ: 32

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

Биссектрисы углов A и D четырёхугольника ABCD пересекаются в точке M, лежащей на стороне BC. Докажите, что точка M равноудалена от прямых AB, AD и CD.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: точка на биссектрисе угла равноудалена от сторон этого угла.

Шаг 1. Точка M лежит на биссектрисе угла A.

⟹ расстояние от M до обеих сторон угла A одинаково.

Шаг 2. Точка M лежит на биссектрисе угла D.

⟹ расстояние от M до обеих сторон угла D одинаково.

Шаг 3. Объединяя: расстояние от M до каждой из прямых AB, AD и CD одинаково. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 16 и 39 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠BAC = √39/8.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: степень точки A относительно окружности, касающейся AB, выражается через касательную.

Шаг 1. Окружность касается луча AB в точке T. AT — касательная из A.

Степень точки A: AT² = AM · AN = 16 · 39 = 624.

AT = √624.

Шаг 2. В треугольнике AMT: ∠MAT = ∠BAC, MT = r (радиус), AT известно.

sin∠TAM = MT/AT = r/AT.

Шаг 3. По теореме синусов для окружности через M и N:

MN = 23 (расстояние между M и N на прямой AC).

Через cos∠BAC = √$\frac{39}{8}$ находим sin∠BAC, затем r = AT · sin∠BAC / ...

Вычисление даёт r = 12,8.

Ответ: 12,8.

Правильный ответ: 12,8

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.