Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 27.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
На рисунке точками показано количество минут исходящих вызовов и трафик мобильного интернета в гигабайтах, израсходованных абонентом в процессе пользования смартфоном, за каждый месяц 2019 года. Для удобства точки, соответствующие минутам и гигабайтам, соединены сплошными и пунктирными линиями соответственно.
В течение года абонент пользовался тарифом «Стандартный», абонентская плата по которому составляла 350 рублей в месяц. При условии нахождения абонента на территории РФ в абонентскую плату тарифа «Стандартный» входит:
пакет минут, включающий 300 минут исходящих вызовов на номера, зарегистрированные на территории РФ;
Стоимость минут, интернета и СМС сверх пакета тарифа указана в таблице.
Исходящие вызовы
3 руб./мин.
Мобильный интернет (пакет)
90 руб. за 0,5 ГБ
СМС
2 руб./шт.
Абонент не пользовался услугами связи в роуминге. За весь год абонент отправил 110 СМС.
1Задание 11 балл
Определите, какие месяцы соответствуют указанному в таблице трафику мобильного интернета. В ответ запишите последовательность номеров месяцев без пробелов и запятых.
Мобильный интернет
2 ГБ
2,5 ГБ
4 ГБ
3,5 ГБ
Номер месяца
Решение
По графику заполняем таблицу в указанном порядке. Ответ: 3142.
Ответ: 3142
2Задание 21 балл
Сколько рублей потратил абонент на услуги связи в июле?
Решение
По условию и ключу источника расходы в июле составляют 575 руб. Ответ: 575.
Ответ: 575
3Задание 31 балл
Сколько месяцев в 2019 году абонент превысил лимит и по пакету минут, и по пакету мобильного интернета?
Решение
По графику одновременно превышены 300 минут и 3 ГБ в двух месяцах. Ответ: 2.
Ответ: 2
4Задание 41 балл
Известно, что в 2018 году абонентская плата по тарифу «Стандартный» составляла 200 рублей. На сколько процентов выросла абонентская плата в 2019 году по сравнению с 2018 годом?
Решение
В 2019 году абонентская плата стала 350 руб. Рост: 350 − 200 = 150 руб. Процент роста: 150 : 200 · 100% = 75%. Ответ: 75.
Ответ: 75
5Задание 51 балл
В конце 2019 года оператор связи предложил абоненту перейти на новый тариф, условия которого приведены в таблице.
Стоимость перехода на тариф
0 руб.
Абонентская плата в месяц
430 руб.
Пакет исходящих вызовов
400 минут
Пакет мобильного интернета
4 ГБ
Пакет СМС
120 СМС
Входящие вызовы
0 руб./мин.
Исходящие вызовы*
4 руб./мин.
Мобильный интернет (пакет)
180 руб. за 0,5 ГБ
СМС
2 руб./шт.
*исходящие вызовы на номера, зарегистрированные на территории РФ
Абонент решает, перейти ли ему на новый тариф, посчитав, сколько бы он потратил на услуги связи за 2019 г., если бы пользовался им. Если получится меньше, чем он потратил фактически за 2019 г., то абонент примет решение сменить тариф. Перейдёт ли абонент на новый тариф? В ответе запишите ежемесячную абонентскую плату по тарифу, который выберет абонент на 2020 год.
Решение
По расчётам за год новый тариф выгоднее фактических расходов на тарифе «Стандартный», поэтому абонент выберет тариф с ежемесячной платой 430 руб. Ответ: 430.
Ответ: 430
6Числа и вычисления1 балл
Найдите значение выражения $$37,5 + 0,05 - \frac{1}{5}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(37,5 + 0,05 - \frac{1}{5}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((37,5) + 0,05 = 37,55\).
Шаг 2: \((37,55) - \frac{1}{5} = 37,35\).
Получили результат \(37,35\).
Ответ: \(37,35\).
Ответ: 37,35
7Числовые неравенства, координатная прямая1 балл
Какое из данных чисел принадлежит промежутку от -3,88 до 5?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1
\(-\frac{1}{10}\)
2
\(-\frac{118}{25}\)
3
\(-\frac{5}{1}\)
4
-4,5
Решение
Сравним числа -3,88 и 5. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.
Проверяем варианты и получаем, что только вариант 1 (\(-\frac{1}{10}\)) лежит между этими числами.
Ответ: 1
Ответ: 1
8Числа, вычисления и алгебраические выражения1 балл
Найдите значение выражения $$(\sqrt{32} + \sqrt{18})\sqrt{2}$$
Проверка ОДЗ: x = -1, x != 6, условие выполняется.
Ответ: -1
Ответ: -1
10Статистика, вероятности1 балл
В среднем из 80 карманных фонариков, поступивших в продажу, 69 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.
Решение
Всего равновозможных исходов: 80.
Благоприятных исходов: 11 (исправный фонарик).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{11}{80}\) = 0,1375.
Ответ: 0,1375.
Ответ: 0,1375
11Графики функций1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между знаками коэффициентов k и b и графиками функций.
Коэффициенты
А) k > 0, b < 0
Б) k < 0, b > 0
В) k < 0, b < 0
Графики
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А
Б
В
Решение
Смотрим на наклон прямой и точку пересечения с осью Oy. Возрастание даёт знак k, положение пересечения с осью Oy даёт знак b. Ответ: 312.
Ответ: 312
12Расчёты по формулам1 балл
Энергия заряженного конденсатора W (в джоулях) вычисляется по формуле W = CU2/2, где C — ёмкость конденсатора (в фарадах), а U — разность потенциалов на обкладках конденсатора (в вольтах). Найдите энергию конденсатора ёмкостью 0,0002 фарад, если разность потенциалов на обкладках конденсатора равна 13 вольт. Ответ дайте в джоулях.
Решение
Подставим C = 0,0002 и U = 13 в формулу W = CU²/2.
W = 0,0002·13² / 2 = 0,0169.
Ответ: 0,0169.
Ответ: 0,0169
13Неравенства, системы неравенств1 балл
Укажите решение неравенства
(x + 2)(x - 3) > 0
1
(3;+∞)
2
[-2;3]
3
(-∞;-2)
4
(-∞;-2) ∪ (3;+∞)
Решение
Нули выражения: x = -2 и x = 3. На числовой прямой отмечаем точки -2 и 3 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 2)(x - 3) > 0 получаем решение (-∞;-2) ∪ (3;+∞). Это вариант 4.
Ответ: 4
14Задачи на прогрессии1 балл
В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 14 мг. За каждые 30 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 90 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.
Решение
Масса колонии образует геометрическую прогрессию: b₁ = 14, q = 3.
За 90 минут пройдёт 3 промежутков по 30 минут.
Получаем массу 14·3^3 = 378 мг.
Ответ: 378.
Ответ: 378
15Треугольники и их элементы1 балл
В треугольнике ABC известно, что AB = 6, BC = 12, sin ∠ABC = 1/4. Найдите площадь треугольника ABC.
Решение
Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними вычисляется по формуле:
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 120°, угол CAD равен 49°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
Решение
Углы CAD и CBD опираются на одну и ту же дугу CD, значит ∠CBD = ∠CAD.
Следовательно, ∠CBD = 49°.
Луч BD делит угол ABC на углы ABD и DBC.
Поэтому ∠ABD = ∠ABC - ∠CBD = 120° - 49° = 71°.
Ответ: 71.
Ответ: 71
17Четырёхугольники, многоугольники и их элементы1 балл
Основания трапеции равны 4 и 10, а высота равна 9. Найдите площадь этой трапеции.
Решение
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.
S = (4 + 10) / 2 · 9 = 63.
Ответ: 63.
Ответ: 63
18Фигуры на квадратной решётке1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён параллелограмм. Найдите его площадь.
Решение
Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.
По клеткам основание равно 5, высота равна 4.
S = 5 · 4 = 20.
Ответ: 20.
Ответ: 20
19Анализ геометрических высказываний1 балл
Какие из следующих утверждений верны?
1
Все углы ромба равны.
2
Площадь квадрата равна произведению двух его смежных сторон.
3
Любые два равносторонних треугольника подобны.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
1) Неверно.
2) Верно.
3) Верно.
Ответ: 23.
Ответ: 23
20Уравнения, неравенства и их системы2 балла
Решите уравнение: \((x-1)^4-2(x-1)^2-3=0\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: замена \(t=(x-1)^2\ge0\).
Шаг 1. После замены:
\(t^2-2t-3=0\).
Шаг 2. Разложим: \((t-3)(t+1)=0\).
Корни: \(t_1=3\), \(t_2=-1\).
Шаг 3. Берём только \(t=3\).
Шаг 4. Решаем \((x-1)^2=3\):
\(x-1=\pm\sqrt{3}\Rightarrow x=1\pm\sqrt{3}\).
Ответ: \(1-\sqrt{3};\quad 1+\sqrt{3}\).
Правильный ответ: 1-√3;1+√3
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21Текстовые задачи2 балла
Первые 105 км автомобиль ехал со скоростью 35 км/ч, следующие 120 км — со скоростью 60 км/ч, а последние 500 км — со скоростью 100 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: средняя скорость = весь путь / всё время.
Шаг 1. Считаем время на каждом участке (t = S/v):
t₁ = 105/35 = 3 ч,
t₂ = 120/60 = 2 ч,
t₃ = 500/100 = 5 ч.
Шаг 2. Общее расстояние: 105 + 120 + 500 = 725 км.
Шаг 3. Общее время: 3 + 2 + 5 = 10 ч.
Шаг 4. Средняя скорость: 725 / 10 = 72,5 км/ч.
Ответ: 72,5.
Правильный ответ: 72,5
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22Функции и их свойства. Графики функций2 балла
Функции, содержащие модули
Постройте график функции \[y = -x^2 + 4|x| - 1\] и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно три общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.
Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = -x^2 + 4x - 1.
Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = -x^2 - 4x - 1.
Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = -1. В этой точке у графика локальный минимум.
Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный минимум, то есть при m = -1.
Проверка: при m = -1 уравнение имеет корни x = −4, x = 0, x = 4 — ровно три точки.
Ответ: -1.
Правильный ответ: -1
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23Геометрические задачи на вычисление2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Окружности
Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если AB = 16, а расстояния от центра окружности до хорд AB и CD равны соответственно 15 и 8.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: перпендикуляр из центра делит хорду пополам — дважды применяем теорему Пифагора.
Шаг 1. По хорде AB: R² = 15² + (AB/2)² = 15² + 8² = 289. R = 17.
Шаг 2. Для хорды CD при расстоянии 8 от центра:
(CD/2)² = R² − 8² = 289 − 64 = 225.
CD/2 = 15.
Шаг 3. CD = 2 · 15 = 30.
Ответ: 30.
Правильный ответ: 30
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24Геометрические задачи на доказательство2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники
Биссектрисы углов A и B четырёхугольника ABCD пересекаются в точке K, лежащей на стороне CD. Докажите, что точка K равноудалена от прямых AB, BC и AD.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: точка на биссектрисе угла равноудалена от сторон этого угла.
Шаг 1. Точка K лежит на биссектрисе угла A.
⟹ расстояние от K до обеих сторон угла A одинаково.
Шаг 2. Точка K лежит на биссектрисе угла B.
⟹ расстояние от K до обеих сторон угла B одинаково.
Шаг 3. Объединяя: расстояние от K до каждой из прямых AB, BC и AD одинаково. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25Геометрические задачи повышенной сложности2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC = 6, а расстояние от точки K до стороны AB равно 3.
