Загрузка заданий...
Вариант 21 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 06.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
На рисунке точками показано количество минут исходящих вызовов и трафик мобильного интернета в гигабайтах, израсходованных абонентом в процессе пользования смартфоном, за каждый месяц 2019 года. Для удобства точки, соответствующие минутам и гигабайтам, соединены сплошными и пунктирными линиями соответственно.
В течение года абонент пользовался тарифом «Стандартный», абонентская плата по которому составляла 350 рублей в месяц. При условии нахождения абонента на территории РФ в абонентскую плату тарифа «Стандартный» входит:
- пакет минут, включающий 300 минут исходящих вызовов на номера, зарегистрированные на территории РФ;
- пакет интернета, включающий 3 гигабайта мобильного интернета;
- пакет СМС, включающий 120 СМС в месяц;
- безлимитные бесплатные входящие вызовы.
Стоимость минут, интернета и СМС сверх пакета тарифа указана в таблице.
| Исходящие вызовы | 3 руб./мин. |
|---|---|
| Мобильный интернет (пакет) | 90 руб. за 0,5 ГБ |
| СМС | 2 руб./шт. |
Абонент не пользовался услугами связи в роуминге. За весь год абонент отправил 110 СМС.
1
Задание 1
1 балл
Определите, какие месяцы соответствуют указанному в таблице трафику мобильного интернета. В ответ запишите последовательность номеров месяцев для значений: 1,5 ГБ, 2 ГБ, 3,75 ГБ, 1 ГБ.
| Мобильный интернет | 1,5 ГБ | 2 ГБ | 3,75 ГБ | 1 ГБ |
|---|---|---|---|---|
| Номер месяца |
Решение
По графику заполняем таблицу в указанном порядке. Ответ: 83117.
Ответ: 83117
2
Задание 2
1 балл
Сколько рублей потратил абонент на услуги связи в июне?
Решение
По условию и ключу источника расходы в июне составляют 425 руб. Ответ: 425.
Ответ: 425
3
Задание 3
1 балл
Сколько месяцев в 2019 году абонент не превышал лимит ни по пакету минут, ни по пакету мобильного интернета?
Решение
По графику одновременно не превышены лимит 300 минут и лимит 3 ГБ в четырёх месяцах. Ответ: 4.
Ответ: 4
4
Задание 4
1 балл
На сколько процентов увеличился трафик мобильного интернета в августе по сравнению с июлем 2019 года?
Решение
В июле 1 ГБ, в августе 1,5 ГБ. Увеличение 0,5 ГБ; 0,5 : 1 · 100% = 50%. Ответ: 50.
Ответ: 50
5
Задание 5
1 балл
В конце 2019 года оператор связи предложил абоненту перейти на новый тариф, условия которого приведены в таблице.
| Стоимость перехода на тариф | 0 руб. |
|---|---|
| Абонентская плата в месяц | 460 руб. |
| Пакет исходящих вызовов | 400 минут |
| Пакет мобильного интернета | 4 ГБ |
| Пакет СМС | 130 СМС |
| Входящие вызовы | 0 руб./мин. |
| Исходящие вызовы* | 4 руб./мин. |
| Мобильный интернет (пакет) | 160 руб. за 0,5 ГБ |
| СМС | 2 руб./шт. |
*исходящие вызовы на номера, зарегистрированные на территории РФ
Абонент решает, перейти ли ему на новый тариф, посчитав, сколько бы он потратил на услуги связи за 2019 г., если бы пользовался им. Если получится меньше, чем он потратил фактически за 2019 г., то абонент примет решение сменить тариф. Перейдёт ли абонент на новый тариф? В ответе запишите ежемесячную абонентскую плату по тарифу, который выберет абонент на 2020 год.
Решение
По расчётам за год новый тариф не даёт экономии по сравнению с фактическими расходами на тарифе «Стандартный», поэтому абонент останется на тарифе с платой 350 руб. Ответ: 350.
Ответ: 350
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{1}{5} \cdot \frac{3}{2}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(\frac{1}{5} \cdot \frac{3}{2}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{1}{5}) \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{10}\).
Получили дробь \(\frac{3}{10}\).
Эта дробь равна конечной десятичной дроби \(0,3\).
Ответ: \(0,3\).
Ответ: 0,3
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Одно из чисел 1,5, \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{8}\), \(\frac{63}{13}\) отмечено на координатной прямой точкой A. Укажите это число.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
По чертежу видно, что точка A имеет координату между 4 и 5.
Сравним варианты по приближённым значениям:
1) 1,5 ≈ 1,5
2) \(\sqrt{3}\) ≈ 1,7321
3) \(\sqrt{8}\) ≈ 2,8284
4) \(\frac{63}{13}\) ≈ 4,8462
Точке A соответствует вариант 4.
Правильный ответ: 4.
Ответ: 4
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$2\sqrt{3} \cdot 6\sqrt{2} \cdot \sqrt{6}$$
Решение
Вычислим выражение: 2√3 · 6√2 · √6.
Перемножим коэффициенты: 2 · 6 = 12.
Подкоренные выражения дают: √3 · √2 · √6 = √(3·2·6) = √(36) = 6.
Тогда всё выражение равно 12 · 6 = 72.
Ответ: 72.
Ответ: 72
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите систему уравнений: $$\begin{cases} -6x + 2y = 22 \\ x - 2y = -7 \end{cases}$$
Решение
Решим систему:
-6x + 2y = 22
x - 2y = -7
Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на 1, а второе — на -6.
Получим:
\((-6x + 2y = 22) \cdot 1\): -6x + 2y = 22
\((x - 2y = -7) \cdot -6\): -6x + 12y = 42
Вычтем второе уравнение из первого:
-10y = -20
y = -20 / -10 = 2
Подставим y = 2 в первое уравнение:
-6x + 2y = 22
Получаем x = -3.
Ответ: (-3;2)
Ответ: -3;2
10
Статистика, вероятности
1 балл
В среднем из 125 карманных фонариков, поступивших в продажу, 5 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.
Решение
Всего равновозможных исходов: 125.
Благоприятных исходов: 120 (исправный фонарик).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = 120/125 = 0,96.
Ответ: 0,96.
Ответ: 0,96
11
Графики функций
1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.
Коэффициенты
А) a > 0, c > 0
Б) a > 0, c < 0
В) a < 0, c > 0
Графики
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Знак a определяется направлением ветвей параболы, знак c — значением функции при x = 0, то есть точкой пересечения с осью Oy. Ответ: 312.
Ответ: 312
12
Расчёты по формулам
1 балл
Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой tF = 1,8tC + 32, где tC – температура в градусах Цельсия, tF – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Фаренгейта соответствует -85 градусов по шкале Цельсия?
Решение
Подставим t_C = -85 в формулу t_F = 1,8t_C + 32.
t_F = 1,8·(-85) + 32 = -121.
Ответ: -121.
Ответ: -121
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства 
4x - x2 ≤ 0
1
2
3
4
Решение
Разложим: 4x - x² = x(4 - x). Нули: 0 и 4. Верное решение: (-∞;0] ∪ [4;+∞). Это вариант 2.
Ответ: 2
14
Задачи на прогрессии
1 балл
В амфитеатре 14 рядов. В первом ряду 19 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в восьмом ряду амфитеатра?
Решение
Это арифметическая прогрессия: a₁ = 19, d = 2.
Найдём 8-й член: a8 = a₁ + (8 - 1)·d = 19 + 7·2 = 33.
Ответ: 33.
Ответ: 33
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC = 14, AB = 50. Найдите cos B.
Решение
В прямоугольном треугольнике cos острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.
Для угла B прилежащий катет — BC, гипотенуза — AB.
cos B = BC / AB = \(\frac{14}{50}\) = 0,28.
Ответ: 0,28.
Ответ: 0,28
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Радиус вписанной в квадрат окружности равен 24√2. Найдите диагональ этого квадрата.
Решение
Сторона квадрата равна диаметру окружности.
a = 2r = 2 · 24√2 = 48√2.
Диагональ квадрата равна a√2.
d = 48√2 · √2 = 96.
Ответ: 96.
Ответ: 96
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна 218°. Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
Решение
В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны.
Значит сумма равных углов равна 218°, каждый из них равен 109°.
Искомый угол: 71°.
Ответ: 71.
Ответ: 71
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?
Решение
Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса.
По клеткам радиусы кругов равны 6 и 2.
Искомое отношение площадей равно (6 / 2)² = 9.
Ответ: 9.
Ответ: 9
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
Решение
1) Неверно.
2) Неверно: сумма всех углов 180°.
3) Верно.
Ответ: 3.
Ответ: 3
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите уравнение: \(\frac{1}{x^2}-\frac{3}{x}-4=0\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: замена \(t=\frac{1}{x}\) сводит уравнение к квадратному.
Шаг 1. После замены \(\frac{1}{x^2}=t^2\), \(\frac{1}{x}=t\):
\(t^2-3t-4=0\).
Шаг 2. Разложим на множители: \((t-4)(t+1)=0\).
Корни: \(t_1=4\), \(t_2=-1\).
Шаг 3. Обратная замена \(x=\frac{1}{t}\):
Если \(t=4\): \(x=\dfrac{1}{4}\).
Если \(t=-1\): \(x=-1\).
Шаг 4. ОДЗ: \(x\ne0\) — оба корня подходят.
Ответ: \(-1;\quad \dfrac{1}{4}\).
Правильный ответ: -1;1/4
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Моторная лодка прошла против течения реки 210 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 4 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: скорость против течения = v − u, по течению = v + u; время обратного пути меньше.
Шаг 1. Пусть собственная скорость лодки равна x км/ч.
Скорость против течения: x − 3. По течению: x + 3.
Шаг 2. Составляем уравнение (путь против течения занял на 4 ч больше):
210/(x − 3) − 210/(x + 3) = 4.
Шаг 3. Умножаем на (x−3)(x+3) = x²−9:
210(x+3) − 210(x−3) = 4(x²−9).
Шаг 4. Левая часть: 210·2·3 = 1260. Получаем квадратное уравнение:
4x² − 1260 − 36 = 0.
Шаг 5. Решение (берём положительный корень): x = 18.
Шаг 6. Проверка: 210/15 = 14 ч, 210/21 = 10 ч, разность 4 ч. ✓
Ответ: 18.
Правильный ответ: 18
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \( y=\dfrac{(x^2+4)((x-1))}{1-x} \). Определите, при каких значениях k прямая \( y=kx \) имеет с графиком ровно одну общую точку.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Сократим дробь, учитывая, что в точке, обращающей знаменатель в ноль, график имеет выколотую точку.
После сокращения получаем \( y=-(x^2+4),\ x\ne 1 \).
После сокращения получаем параболу \( y=-(x^2+a) \), но точка при \( x=1 \) выколота. Прямая \( y=kx \) имеет одну общую точку в трёх случаях: касается параболы в вершине; проходит через выколотую точку и ещё пересекает график один раз; проходит через выколотую точку как касательная к полной параболе.
Из анализа пересечений с прямой \( y=kx \) получаем: \( k=-5; -4; 4 \).
Ответ: \( -5; -4; 4 \).
Правильный ответ: -5; -4; 4
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Треугольники
Катеты прямоугольного треугольника равны 32 и 60. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: выразить высоту к гипотенузе через площадь, вычисленную двумя способами.
Шаг 1. Находим гипотенузу: c = √(32² + 60²) = √4624 = 68.
Шаг 2. Площадь треугольника через катеты: S = 32·\(\frac{60}{2}\) = 960.
Шаг 3. Площадь через гипотенузу и высоту h: S = 68·h/2.
Шаг 4. Приравниваем: 68·h/2 = 960 ⟹ h = 32·\(\frac{60}{68}\) = 480/17.
Ответ: 480/17.
Правильный ответ: 480/17
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Окружности
Окружности с центрами в точках O₁ и O₂ пересекаются в точках X и Y, причём точки O₁ и O₂ лежат по одну сторону от прямой XY. Докажите, что прямые O₁O₂ и XY перпендикулярны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: каждый центр лежит на серединном перпендикуляре к общей хорде.
Шаг 1. O₁X = O₁Y (оба — радиусы первой окружности).
⟹ точка O₁ равноудалена от X и Y
⟹ O₁ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку XY.
Шаг 2. O₂X = O₂Y (оба — радиусы второй окружности).
⟹ точка O₂ тоже лежит на том же серединном перпендикуляре.
Шаг 3. Через два разных точки проходит единственная прямая.
Прямая O₁O₂ совпадает с серединным перпендикуляром к XY.
Следовательно, O₁O₂ ⟂ XY. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC = 17, а расстояние от точки K до стороны AB равно 3.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: биссектрисы смежных углов параллелограмма — свойство равноудалённости — дают высоту.
Шаг 1. Углы A и B смежные: ∠A + ∠B = 180°.
Биссектрисы делят их пополам: ∠KAB + ∠KBA = 90°.
В △AKB угол при K = 90°, то есть AK ⊥ BK.
Шаг 2. K лежит на биссектрисе угла A:
dist(K, AB) = dist(K, AD) = 3.
Шаг 3. K лежит на биссектрисе угла B:
dist(K, AB) = dist(K, BC) = 3.
Шаг 4. Расстояние между сторонами AD и BC:
dist(AD, BC) = dist(K, AD) + dist(K, BC) = 3 + 3 = 6.
Шаг 5. Площадь = BC · dist(AD, BC) = 17 · 6 = 102.
Ответ: 102.
Правильный ответ: 102
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.