Загрузка заданий...
Вариант 22 — ОГЭ по математике
Реши задания, а в конце нажми “Проверить экзамен”. Решение можно открыть у отдельного задания, если нужно разобрать ход решения.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 07.06.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой A и цифрой: A0, A1, A2 и так далее. Лист формата A0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 кв. м. Если лист формата A0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получается два равных листа формата A1. Если лист A1 разрезать так же пополам, получается два листа формата A2. И так далее.
Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это сделано специально для того, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при уменьшении или увеличении шрифта при изменении формата листа.
1
Задание 1
1 балл
Установите соответствие между форматами и номерами листов. В ответ запишите последовательность четырёх цифр для форматов A0, A2, A3 и A5.
В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы A0, A2, A3, A5.
| Номер листа | Длина (мм) | Ширина (мм) |
|---|---|---|
| 1 | 594 | 420 |
| 2 | 420 | 297 |
| 3 | 1189 | 841 |
| 4 | 210 | 148 |
Решение
A0 — 1189 × 841 мм, это №3. A2 — 594 × 420 мм, это №1. A3 — 420 × 297 мм, это №2. A5 — 210 × 148 мм, это №4. Ответ: 3124.
Ответ: 3124
2
Задание 2
1 балл
Сколько листов формата A4 получится из одного листа формата A1?
Решение
Из A1 получают 2 листа A2, из каждого A2 — 2 листа A3, из каждого A3 — 2 листа A4. Всего 2 · 2 · 2 = 8 листов A4. Ответ: 8.
Ответ: 8
3
Задание 3
1 балл
Найдите ширину листа бумаги формата A4. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.
Решение
Формат A4 имеет размеры 297 × 210 мм. Ширина равна 210 мм, округление не меняет значение. Ответ: 210.
Ответ: 210
4
Задание 4
1 балл
Найдите отношение длины большей стороны листа формата A1 к меньшей. Ответ округлите до десятых.
Решение
Формат A1 имеет размеры примерно 841 × 594 мм. Отношение большей стороны к меньшей: 841 : 594 ≈ 1,416. Округляем до десятых: 1,4. Ответ: 1,4.
Ответ: 1.4
5
Задание 5
1 балл
Размер типографского шрифта измеряется в пунктах. Один пункт равен 1/72 дюйма, то есть 0,3528 мм. Какой высоты нужен шрифт, чтобы текст был расположен на листе формата A5 так же, как этот же текст, напечатанный шрифтом высотой 16 пунктов на листе формата A4? Размер шрифта округляется до целого.
Решение
При переходе от A4 к A5 линейные размеры уменьшаются в √2 раза. Размер шрифта: 16 : √2 ≈ 11,3. Округляем до целого: 11. Ответ: 11.
Ответ: 11
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$8,75 + \frac{1}{25} + \frac{2}{1}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(8,75 + \frac{1}{25} + \frac{2}{1}\).
Последовательно выполняем действия (сложение, сложение):
Шаг 1: \((8,75) + \frac{1}{25} = 8,79\).
Шаг 2: \((8,79) + \frac{2}{1} = 10,79\).
Получили результат \(10,79\).
Ответ: \(10,79\).
Ответ: 10,79
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
По чертежу видно, что -2 < a < -1.
Проверим варианты ответа:
1) \(\frac{1}{a} > 0\) ⇔ a > 0 — неверно.
2) -1 - a > 0 ⇔ a < -1 — верно.
3) -a < 1 ⇔ a > -1 — неверно.
4) a < -2 ⇔ a < -2 — неверно.
Правильный ответ: 2.
Ответ: 2
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$(\sqrt{7} - 4)(\sqrt{7} + 4)$$
Решение
Вычислим выражение: (√7 - 4)(√7 + 4).
Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².
Тогда (√7)² - 4² = 7 - 16 = -9.
Ответ: -9.
Ответ: -9
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите систему уравнений: $$\begin{cases} 4x + 6y = 36 \\ -4x - 5y = -28 \end{cases}$$
Решение
Решим систему:
4x + 6y = 36
-4x - 5y = -28
Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на -4, а второе — на 4.
Получим:
\((4x + 6y = 36) \cdot -4\): -16x - 24y = -144
\((-4x - 5y = -28) \cdot 4\): -16x - 20y = -112
Вычтем второе уравнение из первого:
-4y = -32
y = -32 / -4 = 8
Подставим y = 8 в первое уравнение:
4x + 6y = 36
Получаем x = -3.
Ответ: (-3;8)
Ответ: -3;8
10
Статистика, вероятности
1 балл
На рисунке изображено дерево случайного опыта. Найдите вероятность события \(B\).
Решение
Событие $B$ наступает по двум несовместным ветвям: через $A$ и через $\overline{A}$.
\($P(B)=P(A)\\cdot P(B|A)+P(\\overline{A})\\cdot P(B|\\overline{A})=0.875\\cdot0.15+0.125\\cdot0.7=0,21875$.\)
Ответ: 0,21875
Ответ: 0,21875
11
Графики функций
1 балл
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
Графики
А) график 1
Б) график 2
В) график 3
Формулы
1) y = 2x - 4
2) y = -1x - 4
3) y = -0,5x
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Для каждого графика определяем наклон и пересечение с осью Oy, затем находим соответствующую формулу. Ответ: 231.
Ответ: 231
12
Расчёты по формулам
1 балл
Если тело массой m кг подвешено на высоте h м над горизонтальной поверхностью земли, то его потенциальная энергия в джоулях вычисляется по формуле P = mgh, где g = 9,8 м/с2 – ускорение свободного падения. Найдите массу тела, подвешенного на высоте 5 м над поверхностью земли, если его потенциальная энергия равна 147 джоулям. Ответ дайте в килограммах.
Решение
Из формулы P = mgh выразим массу: m = P/(gh).
m = 147/(9,8·5) = 3.
Ответ: 3.
Ответ: 3
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение системы неравенств:
$$\begin{cases} x − 1,8 > -4,3 \\ x − 2,8 \geqslant -3,3 \end{cases}$$
1
2
3
4
Решение
Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: [-0,5;+∞). Это вариант 4.
Ответ: 4
14
Задачи на прогрессии
1 балл
В амфитеатре 11 рядов. В первом ряду 17 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?
Решение
Это арифметическая прогрессия: a₁ = 17, d = 2, n = 11.
Сначала найдём последний ряд: a11 = 17 + (11 - 1)·2 = 37.
Сумма первых 11 членов: S = n(a₁ + aₙ)/2 = 11·(17 + 37)/2 = 297.
Ответ: 297.
Ответ: 297
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC известно, что ∠BAC = 24°, AD — биссектриса. Найдите угол BAD. Ответ дайте в градусах.
Решение
Биссектриса делит угол пополам.\nПоэтому ∠BAD = 24° : 2 = 12°.\nОтвет: 12.
Ответ: 12
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 134°, угол CAD равен 33°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
Решение
Углы CAD и CBD опираются на одну и ту же дугу CD, значит ∠CBD = ∠CAD.\nСледовательно, ∠CBD = 33°.\nЛуч BD делит угол ABC на углы ABD и DBC.\nПоэтому ∠ABD = ∠ABC - ∠CBD = 134° - 33° = 101°.\nОтвет: 101.
Ответ: 101
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Сторона ромба равна 24, а один из углов этого ромба равен 150°. Найдите высоту этого ромба.
Решение
Высота ромба равна произведению стороны на синус угла.\nsin 150° = \(\frac{1}{2}\).\nh = 24 · \(\frac{1}{2}\) = 12.\nОтвет: 12.
Ответ: 12
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали.
Решение
Диагонали ромба на рисунке идут по горизонтали и вертикали.\nПо клеткам их длины равны 8 и 8.\nБольшая диагональ равна 8.\nОтвет: 8.
Ответ: 8
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какие из следующих утверждений верны?
Решение
1) Верно: это формула площади параллелограмма, частный случай — ромб.
2) Неверно.
3) Верно: иначе сумма трёх углов была бы больше 180°.
Ответ: 13.
Ответ: 13
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Найдите значение выражения \(36a-29b+45\), если \(\dfrac{6a-7b+7}{7a-6b+7}=6\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: из условия дроби выразить \(36a-29b\) и подставить.
Шаг 1. Из условия: \(6a-7b+7 = 6(7a-6b+7)\).
Шаг 2. Раскрываем: \(6a-7b+7 = 42a-36b+42\).
Шаг 3. Переносим влево: \(0 = 36a-29b+35\), откуда \(36a-29b = -35\).
Шаг 4. Вычисляем: \(36a-29b+45 = -35+45 = 10\).
Ответ: 10.
Правильный ответ: 10
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Первая труба пропускает на 15 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 100 литров она заполняет на 6 минут дольше, чем вторая труба?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: составить уравнение на время заполнения резервуара, используя формулу t = V/q.
Шаг 1. Пусть первая труба пропускает x л/мин, тогда вторая — (x + 15) л/мин.
Шаг 2. Время заполнения: первой — 100/x мин, второй — 100/(x+15) мин.
Шаг 3. Первая заполняет на 6 мин дольше:
100/x − 100/(x+15) = 6.
Шаг 4. Умножаем на x(x+15):
100·(x+15) − 100·x = 6·x·(x+15).
1500 = 6·x² + 90·x.
6x² + 90x − 1500 = 0.
Шаг 5. Дискриминант: D = 90² + 4·6·1500 = 8100 + 36000 = 44100, √D = 210.
x = (−90 + 210) / (2·6) = 10 (отрицательный корень не подходит по смыслу).
Шаг 6. Проверка: первая труба — 100/10 = 10 мин, вторая — 100/25 = 4 мин.
10 − 4 = 6 = 6. ✓
Ответ: 10.
Правильный ответ: 10
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Функции, содержащие модули
Постройте график функции
\[y=|x|\,(x+1)-4x\]
Определите, при каких значениях m прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно две общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: раскрыть |x| на двух промежутках и найти вершины получившихся парабол.
Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, функция y = x(x+1)−4x = x²+(1−4)x.
Вершина при x = (1−4)/2, значение y = −(4−1)²/4 = -\(\frac{9}{4}\).
Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, функция y = −x(x+1)−4x = −x²−(1+4)x.
Вершина при x = −(1+4)/2, значение y = (1+4)²/4 = \(\frac{25}{4}\).
Шаг 3. Горизонтальная прямая y = m имеет ровно две общие точки с графиком, если она проходит через одну из этих вершин.
Ответ: -\(\frac{9}{4}\); \(\frac{25}{4}\).
Правильный ответ: -9/4; 25/4
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Окружности
Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды CD, если AB = 40, CD = 42, а расстояние от центра окружности до хорды AB равно 21.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: перпендикуляр из центра на хорду делит её пополам — применяем теорему Пифагора.
Шаг 1. Для хорды AB: перпендикуляр из центра = 21, полухорда = AB/2 = 20.
R² = 21² + 20² = 441 + 400 = 841. R = 29.
Шаг 2. Для хорды CD: полухорда = CD/2 = 21.
d² = R² − 21² = 841 − 441 = 400. d = 20.
Ответ: 20.
Правильный ответ: 20
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Окружности
Окружности с центрами в точках P и Q не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении a:b. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как a:b.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: точка T пересечения касательной с линией центров — центр гомотетии.
Шаг 1. Проведём радиусы PA и QB к точкам касания касательной.
Оба радиуса ⊥ касательной ⟹ PA ∥ QB.
Шаг 2. В треугольниках TPA и TQB (T — точка на PQ):
∠ATP = ∠BTQ (вертикальные), PA ∥ QB ⟹ оба треугольника подобны.
Коэффициент подобия = TP/TQ = a:b.
Шаг 3. TP/TQ = r₁/r₂ = d₁/d₂.
Следовательно, диаметры относятся как a:b. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 32. Найдите стороны треугольника ABC.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: ввести координаты с началом в точке пересечения медианы и биссектрисы.
Шаг 1. Пусть медиана AD и биссектриса BE пересекаются в точке O.
Введём систему координат: O = (0,0), D на оси Ox, E на оси Oy (AD ⊥ BE).
|AD| = |BE| = 32, значит D = (16, 0), E = (0, 16).
Шаг 2. A = (-L/2, 0) = противоположный конец медианы.
D — середина BC, E делит AC по теореме о биссектрисе в отношении AB:BC.
Шаг 3. Из условий симметрии и теоремы о биссектрисе находим вершины треугольника.
Отношения сторон: AB : BC : CA = √13 : 2√13 : 3√5.
Шаг 4. Масштабирование: коэффициент = \(\frac{32}{4}\) = 8.
Стороны: 8√13; 16√13; 24√5.
Ответ: 8√13; 16√13; 24√5.
Правильный ответ: 8√13; 16√13; 24√5
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл: