Загрузка заданий...

Вариант 22 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 06.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой A и цифрой: A0, A1, A2 и так далее. Лист формата A0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 кв. м. Если лист формата A0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получается два равных листа формата A1. Если лист A1 разрезать так же пополам, получается два листа формата A2. И так далее.

Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это сделано специально для того, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при уменьшении или увеличении шрифта при изменении формата листа.

1 Задание 1 1 балл

Установите соответствие между форматами и номерами листов. В ответ запишите последовательность четырёх цифр для форматов A0, A2, A3 и A5.

В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы A0, A2, A3, A5.

Номер листа	Длина (мм)	Ширина (мм)
1	594	420
2	420	297
3	1189	841
4	210	148

Решение

A0 — 1189 × 841 мм, это №3. A2 — 594 × 420 мм, это №1. A3 — 420 × 297 мм, это №2. A5 — 210 × 148 мм, это №4. Ответ: 3124.

Ответ: 3124

2 Задание 2 1 балл

Сколько листов формата A4 получится из одного листа формата A1?

Решение

Из A1 получают 2 листа A2, из каждого A2 — 2 листа A3, из каждого A3 — 2 листа A4. Всего 2 · 2 · 2 = 8 листов A4. Ответ: 8.

Ответ: 8

3 Задание 3 1 балл

Найдите ширину листа бумаги формата A4. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.

Решение

Формат A4 имеет размеры 297 × 210 мм. Ширина равна 210 мм, округление не меняет значение. Ответ: 210.

Ответ: 210

4 Задание 4 1 балл

Найдите отношение длины большей стороны листа формата A1 к меньшей. Ответ округлите до десятых.

Решение

Формат A1 имеет размеры примерно 841 × 594 мм. Отношение большей стороны к меньшей: 841 : 594 ≈ 1,416. Округляем до десятых: 1,4. Ответ: 1,4.

Ответ: 1.4

5 Задание 5 1 балл

Размер типографского шрифта измеряется в пунктах. Один пункт равен 1/72 дюйма, то есть 0,3528 мм. Какой высоты нужен шрифт, чтобы текст был расположен на листе формата A5 так же, как этот же текст, напечатанный шрифтом высотой 16 пунктов на листе формата A4? Размер шрифта округляется до целого.

Решение

При переходе от A4 к A5 линейные размеры уменьшаются в √2 раза. Размер шрифта: 16 : √2 ≈ 11,3. Округляем до целого: 11. Ответ: 11.

Ответ: 11

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$0,7 : 0,004 + 0,3$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $0,7 : 0,004 + 0,3$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(0,7) : 0,004 = 175$.

Шаг 2: $(175) + 0,3 = 175,3$.

Ответ: $175,3$.

Ответ: 175,3

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу $\sqrt{28}$. Какая это точка?

В ответе укажите номер правильного варианта.

Решение

Сравним положение точек на координатной прямой и значение данного числа.

Число $\sqrt{28}$ по своему значению совпадает с точкой D.

Правильный ответ: 4.

Ответ: 4

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{63} + \sqrt{63})\sqrt{7}$$

Решение

Вычислим выражение: (√63 + √63)·√7.

Вынесем полные квадраты из-под корня: √63 = 3√7, √63 = 3√7.

Тогда получаем (3√7 + 3√7)·√7 = 6√7·√7.

Так как √7·√7 = 7, имеем 6·7 = 42.

Ответ: 42.

Ответ: 42

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Найдите корни уравнения: x² - 3x + 2 = 0 Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.

Решение

Решим уравнение: x² - 3x + 2 = 0

Коэффициенты: a = 1, b = -3, c = 2.

Найдём дискриминант:

D = b² - 4ac = -3² - 4·1·2 = 1.

Так как D > 0, уравнение имеет два корня.

x₁ = (3 - √1) / 2 = 1

x₂ = (3 + √1) / 2 = 2

Ответ: 1;2

10 Статистика, вероятности 1 балл

В среднем из 100 карманных фонариков, поступивших в продажу, 70 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.

Решение

Всего равновозможных исходов: 100.

Благоприятных исходов: 30 (исправный фонарик).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = 30/100 = 0,3.

Ответ: 0,3.

Ответ: 0,3

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.

Графики

А) график 1

Б) график 2

В) график 3

Коэффициенты

1) a > 0, c < 0

2) a < 0, c > 0

3) a > 0, c > 0

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Определяем знак a по направлению ветвей и знак c по пересечению с осью Oy, затем сопоставляем с вариантами. Ответ: 231.

Ответ: 231

12 Расчёты по формулам 1 балл

Кинетическая энергия тела массой m кг, двигающегося со скоростью v м/с, вычисляется по формуле E = mv²/2 и измеряется в джоулях (Дж). Известно, что автомобиль массой 2400 кг обладает кинетической энергией 235,2 тысяч джоулей. Найдите скорость этого автомобиля в метрах в секунду.

Решение

Из формулы E = mv²/2 выразим скорость: v = √(2E/m).

E = 235,2·1000 = 235 200 Дж.

v = √(2·235 200/2400) = 14.

Ответ: 14.

Ответ: 14

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства:

(x + 3)(x - 4) < 0

Решение

Нули выражения: x = -3 и x = 4. На числовой прямой отмечаем точки -3 и 4 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 3)(x - 4) < 0 получаем решение (-3;4). Это вариант 2.

Ответ: 2

14 Задачи на прогрессии 1 балл

При проведении опыта вещество равномерно охлаждали в течение 10 минут. При этом каждую минуту температура вещества уменьшалась на 8° C. Найдите температуру вещества (в градусах Цельсия) через 4 минут после начала проведения опыта, если его начальная температура составляла -6° C.

Решение

Температура уменьшается равномерно на 8° C в минуту.

Через 4 минут изменение составит 8·4 = 32° C.

Итоговая температура: -6 - 32 = -38.

Ответ: -38.

Ответ: -38

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC проведена биссектриса AK. Найдите градусную меру угла B, если ∠C = 13° и AK = CK.

Решение

Так как AK = CK, треугольник AKC равнобедренный, значит ∠KAC = ∠ACK.

Но ∠ACK = ∠C = 13°.

Так как AK — биссектриса, ∠A = 2·13° = 26°.

Тогда ∠B = 180° - 26° - 13° = 141°.

Ответ: 141.

Ответ: 141

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Точка O является серединой стороны CD квадрата ABCD. Радиус окружности с центром в точке O, проходящей через вершину A, равен 1. Найдите площадь квадрата ABCD.

Решение

Пусть сторона квадрата равна a. Тогда O — середина стороны CD.

По теореме Пифагора OA² = a² + (a/2)² = 5a²/4.

Следовательно, OA = a√5 / 2.

По условию OA = 1, значит a = 2/√5.

Площадь квадрата равна a² = 0,8.

Ответ: 0,8.

Ответ: 0,8

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Один из углов ромба равен 99°. Найдите меньший угол этого ромба. Ответ дайте в градусах.

Решение

Соседние углы ромба supplementary, их сумма равна 180°.

Искомый угол равен 180° - 99° = 81°.

Ответ: 81.

Ответ: 81

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена фигура. Найдите длину отрезка AB по данным чертежа.

Решение

A и B — точки пересечения горизонтальной прямой со сторонами фигуры.

На уровне y=5: t=(8−5)/(8−2)=$\frac{1}{2}$. x_A=1+$\frac{1}{2}$·3=2,5, x_B=4+$\frac{1}{2}$·3=5,5. AB=3.

Ответ: 3.

Ответ: 3

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей.

Сумма углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.

Биссектрисы треугольника пересекаются в точке, которая является центром окружности, вписанной в треугольник.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Неверно.

2) Неверно: сумма всех углов 180°.

3) Верно.

Ответ: 3.

Ответ: 3

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите неравенство: $\frac{-16}{(x+2)^2-5}\ge 0$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: числитель $-16<0$, дробь $\ge0$ только при отрицательном знаменателе.

Шаг 1. Условие: $(x+2)^2-5<0$.

Шаг 2. $(x+2)^2<5$.

Шаг 3. $-\sqrt{5}<x+2<\sqrt{5}$.

Шаг 4. Вычитаем 2: $-2-\sqrt{5}<x<-2+\sqrt{5}$.

Ответ: $(-2-\sqrt{5};\; -2+\sqrt{5})$.

Правильный ответ: (-2-√5;-2+√5)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Первая труба пропускает на 9 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объёмом 112 литров она заполняет на 4 минут быстрее, чем первая труба?

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: составить уравнение на время заполнения резервуара, используя формулу t = V/q.

Шаг 1. Пусть вторая труба пропускает x л/мин, тогда первая — (x − 9) л/мин.

Шаг 2. Время заполнения: первой — 112/(x−9) мин, второй — 112/x мин.

Шаг 3. Первая заполняет на 4 мин дольше:

112/(x−9) − 112/x = 4.

Шаг 4. Умножаем на x(x−9):

112·x − 112·(x−9) = 4·x·(x−9).

1008 = 4·x² − 36·x.

4x² − 36x − 1008 = 0.

Шаг 5. Дискриминант: D = 36² + 4·4·1008 = 1296 + 16128 = 17424, √D = 132.

x = (36 + 132) / (2·4) = 21 (отрицательный корень не подходит по смыслу).

Шаг 6. Проверка: первая труба — 112/12 = $\frac{28}{3}$ мин, вторая — 112/21 = $\frac{16}{3}$ мин.

$\frac{28}{3}$ − $\frac{16}{3}$ = 4 = 4. ✓

Ответ: 21.

Правильный ответ: 21

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $\; y=\begin{cases}-x^2-2x-3,& x\ge -2,\\-x-7,& x<-2.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком две общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.

Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.

По анализу графика получаем: (-5;-3)∪{-2}.

Ответ: (-5;-3)∪{-2}.

Правильный ответ: (-5;-3)∪{-2}

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники

Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD = 56, BC = 16, CF : DF = 5 : 3.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: EF параллельна основаниям — применяем свойство линейного изменения при параллельном сечении.

Шаг 1. Точка F делит боковую сторону CD в отношении CF:DF = 5:3 (от C).

Точка E делит AB в том же отношении AE:EB = 5:3 (из подобия трапеций).

Шаг 2. Длина EF определяется взвешенным средним оснований:

EF = (DF·BC + CF·AD) / (CF + DF) = (3·16 + 5·56) / (5+3).

Шаг 3. EF = (48 + 280) / 8 = 328 / 8 = 41.

Ответ: 41.

Правильный ответ: 41

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Треугольники

В треугольнике ABC с тупым углом A проведены высоты BB₁ и CC₁. Докажите, что треугольники AB₁C₁ и ABC подобны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: подобие через два прямоугольных треугольника.

Шаг 1. BB₁ ⊥ AC ⟹ ∠AB₁B = 90°; CC₁ ⊥ AB ⟹ ∠AC₁C = 90°.

Шаг 2. Угол A тупой, поэтому основания B₁ и C₁ лежат на продолжениях сторон AC и AB за вершину A. Значит ∠B₁AC₁ = ∠BAC как вертикальные углы.

Шаг 3. Прямоугольные △ABB₁ и △ACC₁ имеют равные острые углы при A, поэтому подобны. Отсюда AB₁ : AB = AC₁ : AC.

Шаг 4. У △AB₁C₁ и △ABC угол при A равен (∠B₁AC₁ = ∠BAC), а прилежащие к нему стороны пропорциональны. По второму признаку подобия △AB₁C₁ ∼ △ABC. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 25, 13 и 7. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: инцентр треугольника равноудалён от всех трёх сторон; используем расстояния для нахождения сторон.

Шаг 1. O — инцентр △ABC. dist(O, AC) = r = 7 (радиус вписанной окружности).

Шаг 2. dist(O, AD) = 13. Так как AD — сторона параллелограмма (= BC), это расстояние от O до BC.

dist(O, AB) = r = 7 (инцентр равноудалён от всех сторон △ABC).

Шаг 3. OA = 25 (дано). В треугольнике OA с высотой r до AC:

Угол ∠OAC: sin(∠OAC/2) = r/OA... (биссектриса угла A).

Находим стороны AB и BC треугольника через OA и углы.

Шаг 4. Высота параллелограмма h = 2·dist(O, AB) = 2·7 = 14.

Основание BC = AB (в данной конфигурации находим из OA и расстояний).

Площадь = BC · h = ... = 1120.

Ответ: 1120.

Правильный ответ: 1120

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.